高中绝对值不等式.doc

<p>绝对值不等式
绝对值不等式，
基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5
所以函数的最小值是5，没有最大值
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5
由|y|≤5得-5≤y≤5
即函数的最小值是-5，最大值是5
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之差，当x≤-2时，取最小值-5，当x≥3时，取最大值5

［变题1］解下列不等式：(1)|+1|&gt;2－；(2)|－2－6|&lt;3
［思路］利用｜f(x)｜&lt;g(x) -g(x)</p><f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) f(x)&gt;g(x)或f(x)&lt;-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。 1=&quot;&quot;&gt;2－或+1&lt;－(2－)&gt;或无解，所以原不等式的解集是{|&gt;}
(2)原不等式等价于－3&lt;－2－6&lt;3
即
2&lt;&lt;6
所以原不等式的解集是{|2&lt;&lt;6}&gt;x2-3x-4；（2）≤1
解：（1）分析一 &nbsp;可按解不等式的方法来解.
原不等式等价于：
x-x2-2&gt;x2-3x-4 ①
或x-x2-2&lt;-(x2-3x-4) ②
解①得：1-<x<1+ x="">-3
故原不等式解集为｛x｜x&gt;-3｝
分析二 &nbsp;∵｜x-x2-2｜＝｜x2-x+2｜
而x2-x+2＝(x-)2+&gt;0
所以｜x-x2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.
故原不等式等价于x2-x+2&gt;x2-3x-4
解得：x&gt;-3
∴ &nbsp;原不等式解集为｛x&gt;-3｝
（2）分析 &nbsp;不等式可转化为-1≤≤1求解，但过程较繁，由于不等式≤1两边均为正，所以可平方后求解.
原不等式等价于≤1
9x2≤(x2-4)2 &nbsp;(x≠±2)
x4-17x2+16≥0
x2≤1或x2≥16
-1≤x≤1或x≥4或x≤-4
注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.

第2变 &nbsp;含两个绝对值的不等式
［变题2］解不等式（1）|－1|&lt;|+|；（2）｜x-2｜+｜x+3｜&gt;5.
［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜f2(x)〈g2(x)两边平方去掉绝对值符号。
（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。
［解题］（1）由于|－1|≥0，|+|≥0，所以两边平方后有：
|－1|&lt;|+|
即有－2+1&lt;+2+，整理得(2+2)&gt;1－
当2+2&gt;0即&gt;－1时，不等式的解为&gt;(1－)；
当2+2=0即=－1时，不等式无解；
当2+2&lt;0即&lt;－1时，不等式的解为&lt;&gt;5.
解：当x≤-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)&gt;5-2x&gt;6x&lt;-3.
当-3<x<2时，原不等式为(2-x)+(x+3)>55&gt;5无解.
当x≥2时，原不等式为(x-2)+(x+3)&gt;52x&gt;4x&gt;2.
综合得：原不等式解集为｛x｜x&gt;2或x&lt;-3｝. 1=&quot;&quot;&gt;0且≠1)
解析：易知－1&lt;&lt;1，换成常用对数得：
∴
于是
∴
∴
∵－1&lt;&lt;1
∴0&lt;1－&lt;1
∴(1－)&lt;0
∴&lt;0
∴
解得0&lt;&lt;1
2．不等式|x+3|-|2x-1|&lt;+1的解集为 x=&quot;&quot;&gt;2
&nbsp; &nbsp; 当-3<x<时4x+2<+1 x="">2
故填。
3．求不等式的解集.
解：因为对数必须有意义，即解不等式组
，解得
又原不等式可化为
(1)当时，不等式化为即
∴ &nbsp; ∴ &nbsp; &nbsp;综合前提得：。
(2)当1<x≤2时，即. 6="" -6="" r="">0时，进一步化为，依题意有，此时无解。
当=0时，显然不满足题意。
当&lt;0时，，依题意有
综上，=－2。

第4变 &nbsp;含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题
［变题4］若不等式|－4|+|3－|&lt;的解集为空集，求的取值范围。&gt;0时，先求不等式|－4|+|3－|&lt;有解时的取值范围。
令－4=0得=4，令3－=0得=3
① 当≥4时，原不等式化为－4+－3&lt;，即2－7&lt;&gt;1
② 当3&lt;&lt;4时，原不等式化为4－+－3&lt;得&gt;1
③ 当≤3时，原不等式化为4－+3－&lt;即7－2&lt;&gt;1
综合①②③可知，当&gt;1时，原不等式有解，从而当0&lt;≤1时，原不等式解集为空集。 1=&quot;&quot;&gt;1时，|－4|+|3－|&lt;有解&gt;|－4|+|3－|≥|－4+3－|=1
∴当&gt;1时，|－4|+|3－|&lt;有解&gt;恒成立，求的取值范围。
思维点拨：要使|+1|－|－2|&gt;对任意实数恒成立，只要|+1|－|－2|的最小值大于。因|+1|的几何意义为数轴上点到－1的距离，|－2|的几何意义为数轴上点到2的距离，|+1|－|－2|的几何意义为数轴上点到－1与2的距离的差，其最小值可求。
此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察的取值范围。
解法一 根据绝对值的几何意义，设数，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式即求|PA|－|PB|&gt;成立
∵|AB|=3，即|+1|－|－2|≥－3
故当&lt;－3时，原不等式恒成立 3=&quot;&quot; o=&quot;&quot; -3=&quot;&quot;&gt;恒成立，从图象中可以看出，只要&lt;－3即可。
故&lt;－3满足题意。&gt;a恒成立，求实数a的取值范围。
分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a应比最小值小。
解： 由绝对值不等式：|x+1|+|x-2||(x+1)-(x-2)|=3，当且仅当(x+1)(x-2)0, 即
时取等号。故a&lt;3 a=&quot;&quot;&gt;0,不等式|x-4|+|x-3|&lt;a在实数集R上的解集不是空集，求a的取值范围
分析（一）|x-4|+|x-3||x-4—(x-3)|=1
&nbsp; &nbsp; 当|x-4|+|x-3|<a在实数r上非空时，a须大于|x-4|+|x-3|的最小值，即a>1
（二）如图，实数x、3、4在数轴上的对应点分别为P、A、B则有：
y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|
|PA|+|PB|1 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;恒有y1
数按题意只须a&gt;1 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;A &nbsp;B &nbsp; &nbsp;P
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;0 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 3 &nbsp;4 &nbsp; &nbsp; x
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
（四）考虑|z-4|+|z-3|<a(zc)的几何意义 .="" a="">1.
变题：
1、若不等式|x-4|+|x-3|&gt;a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围
2、若不等式|x-4|-|x-3|<a的解集在r上不是空集，求a的取值范围>a在R上恒成立，求a的取值范围

第5变 &nbsp;绝对值三角不等式问题
［变题5］已知函数，当时，求证：
；
，则当时，求证：。
［思路］本题中所给条件并不足以确定参数，的值，但应该注意到：所要求的结论不是的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用 、、来表示,。因为由已知条件得，，。
［解题］证明：(1)由，从而有

(2)由
从而 &nbsp; &nbsp;
将以上三式代入，并整理得
［请你试试4—5］
1．已知函数f(x)=，a,bR，且，求证|f(a)-f(b)|&lt;|a-b|。 o=&quot;&quot; y=&quot;&quot; x=&quot;&quot;&gt;”“=”合成的，故不等式可转化为 或。
&nbsp; &nbsp;解得：原不等式的解集为

2、.
解：
+
，用根轴法（零点分段法）画图如下：

&nbsp;原不等式的解集为。

3、
解：原式等价于
&nbsp; &nbsp; ，即 注：此为关键
原不等式等价于不等式组解得：

4、
解：当时，原不等式化为，得；
&nbsp; &nbsp;当时，原不等式化为，得；
&nbsp; &nbsp;当时，原不等式化为，得；
&nbsp; &nbsp;当时，原不等式化为，得；
&nbsp; &nbsp;当时，原不等式化为，得
&nbsp; &nbsp;综合上面各式，得原不等式的解集为：

5、关于的不等式的解集为，求的解集。
解：由题意得：，且
&nbsp; &nbsp;则不等式与不等式组同解
&nbsp; &nbsp;得所求解集为

6、已知且，关于的不等式的解集是，解关于的不等式的解集。
解：关于的不等式的解集是，，
或
&nbsp;原不等式的解集是。

三、证明题

2、设,为偶数,证明 &nbsp;
证： &nbsp;.
&nbsp;①当时, ,0 ,
&nbsp;∴0 ,故 ;
&nbsp;②当有一个负值时,不妨设,且,即 .
&nbsp;∵为偶数时,∴0 ,且
∴0 ,故 .
&nbsp; &nbsp; 综合①②可知,原不等式成立
&nbsp; &nbsp; 注：必须要考虑到已知条件，分类讨论，否则不能直接得出0

3、求证： &nbsp; &nbsp;
证：设向量 ,由 ,得

注意：当∥时，即，，，、方向相同，取等号。
当利用公式证明时，会得：
的错误结论，因为这里取等号
的条件是∥，且、方向相反，根据题设条件，∥时，方向相同，故取不到等号，
计算的结果也使不等式范围缩小了。

4、求证： （）
证一：（）

原不等式成立，证毕。
证二：当时，原不等式为：，显然成立；
&nbsp; &nbsp; &nbsp;假设当取-1时，原不等式成立，即成立，则
&nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp; ，即取时原不等式也成立。
&nbsp; &nbsp; &nbsp;综上，对于任意（）原不等式成立，证毕。 &nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp;注意：此类证明方法称为数学归纳法
&nbsp; &nbsp;
5、设，实数满足，求证：
证：
=
当，
‚当，
ƒ当，
综合‚ƒ式情况，原不等式成立。证毕
注：‚ƒ式的最后一步省略了对的详细分析，正式解题时不能省。分析过程用
&nbsp; 同号
&nbsp; 异号

6、已知：，求证：
证：由已知得：，即
&nbsp; &nbsp;，及基本不等式，代入式得：
&nbsp; &nbsp; &nbsp;解得；
&nbsp; &nbsp; &nbsp;，由式得，
&nbsp; &nbsp; &nbsp;综上得：。 证毕。

7、已知,证明：
证：， &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ，（）同理得：
&nbsp; &nbsp; &nbsp;‚，ƒ
‚ƒ式两边相加，得

所以原不等式成立，证毕。
注：“”的来由：不等式当且仅当时取等号，得。

<!--|a-b|。--></a的解集在r上不是空集，求a的取值范围></a(zc)的几何意义></a在实数r上非空时，a须大于|x-4|+|x-3|的最小值，即a><!--3--><!--－3满足题意。--><!--－3时，原不等式恒成立--><!--有解--><!--有解--><!--≤1时，原不等式解集为空集。--><!--即7－2<--><!--<4时，原不等式化为4－+－3<得--><!--，即2－7<--><!--的解集为空集，求的取值范围。--></x≤2时，即.></x<时4x+2<+1><!--+1的解集为--><!---3｝.--></x<2时，原不等式为(2-x)+(x+3)><!--0即<－1时，不等式的解为<--><!--+2+，整理得(2+2)--><!--|+|；（2）｜x-2｜+｜x+3｜--></x<1+><!--<6}--><!--－(2－)--><!---g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。--></f(x)<g(x)和｜f(x)｜>