高二圆锥曲线知识点总结与例题.doc

高二圆锥曲线知识点总结与例题分析
一、椭圆
1、椭圆概念
平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。
椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）
或（）（焦点在y轴上）。
注：①以上方程中的大小，其中；
②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。
例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。
2、椭圆的性质
①范围：
由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；
②对称性：
椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；
③四个顶点： ，，，
线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即；
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。
3、点与椭圆的关系
点和椭圆（）的关系：
（1）点在椭圆外；
（2）点在椭圆上＝1；
（3）点在椭圆内

二、双曲线
1、双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线。
注意：
① 式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；
② 当时，表示两条射线；
③ 当时，不表示任何图形；
④ 两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。

椭圆和双曲线比较：

椭 圆
双 曲 线
定义

方程

焦点

注意：
要分清焦点的位置，由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上

2、双曲线的性质
①范围：
从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。
②对称性：
坐标轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
③两个顶点：
实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。
虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。
⑤ 渐近线：，围成的矩形的两条对角线，称为双曲线的渐近线。
双曲线渐近线为。
⑤等轴双曲线：
1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；
2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直（3）离心率为。
3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为： ，当时交点在轴，当时焦点在轴上。
三、抛物线
（1）抛物线的概念
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
方程叫做抛物线的标准方程。
注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是 ；

（2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：

标准方程

图形

焦点坐标

准线方程

范围

对称性
轴
轴
轴
轴
顶点

离心率

说明：
（1）焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；
（3）注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。
四、直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：直线与椭圆相交；
直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；
直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
（2）相切：直线与椭圆相切；
直线与双曲线相切；
直线与抛物线相切；
（3）相离：直线与椭圆相离；
直线与双曲线相离；
直线与抛物线相离。
特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。
五、弦长公式
直线与圆锥曲线相交所得的弦长
直线具有斜率,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为,则它的弦长
注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为，运用韦达定理来进行计算.
当直线斜率不存在是,则.
六、圆锥曲线的中点弦问题：
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；
在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；
在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。
高二圆锥曲线例题分析
例1、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是 ．

解：. ≤
例2、 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
解：由题意，设椭圆方程为，由，得，
∴，，
，∴，
∴为所求．
例3 设双曲线上两点A、B，AB中点M（1，2），求直线AB方程；
解：方法一：
显然AB斜率存在设AB：y-2=k(x-1) 由得：(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0
当△>0时，设A（x1,y1），B（x2,y2） 则∴ k=1，满足△>0
∴ 直线AB：y=x+1
法二：设A（x1,y1），B（x2,y2）则两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)
∵ x1≠x2∴ ∴ ∴ AB：y=x+1代入得：△>0
评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件△>0是否成立。

例4. 椭圆中心是坐标原点O，焦点在x轴上，e=，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P、Q两点，|PQ|=，且OP⊥OQ，求此椭圆的方程.
解:设椭圆方程为+=1,(a>b>0)
⑴PQ⊥x轴时，F(-c,0)，|FP|=，又|FQ|=|FP|且OP⊥OQ，∴|OF|=|FP|,即c=∴ac=a2-c2,∴e2+e-1=0,∴e=与题设e=不符,所以PQ不垂直x轴.
⑵PQ∶y=k(x+c),P(x1,y1),Q(x2,y2),∵e=,∴a2=c2,b2=c2,
所以椭圆方程可化为:3x2+12y2-4c2=0,将PQ方程代入，
得(3+12k2)x2+24k2cx+12k2c2-4c2=0,∴x1+x2=,x1x2=
由|PQ|=得·=①
∵OP⊥OQ,∴·= -1即x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+k2c(x1+x2)+c2k2=0②
把，代入，解②得k2=，把代入①解得c2=3
∴a2=4,b2=1，则所求椭圆方程为+y2=1.
例5. 双曲线3x2-y2=1上是否存在关于直线y=2x对称的两点A、B?若存在，试求出A、B两点的坐标；若不存在，说明理由.
解：设AB：y=-x+m,代入双曲线方程得11x2+4mx-4(m2+1)=0,
这里△=(4m)2-4×11［-4(m2+1)］=16(2m2+11)＞0恒成立，
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则x1+x2=-，∴x0=-,y0=-x0+m=,
若A、B关于直线y=2x对称，则M必在直线y=2x上，
∴=-得m=1，由双曲线的对称性知，直线y=-x与双曲线的交点的A、B必关于直线y=2x对称.
∴存在A、B且求得A(，-)，B(-，)
例6、求椭圆上的点到直线的距离的最小值．
解：方法一：
方法二：
设椭圆上的点为，
则距离为．
当时，．
例7、设，，，求的最大值和最小值．

分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程与椭圆方程的结构一致．
设，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．

解：由，得

可见它表示一个椭圆，
其中心在点，焦点在轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．
设，则
它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为．

在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，
当圆过（0，0）点时，半径最小，即，此时；
当圆过（3，0）点时，半径最大，即，∴．
∴的最小值为0，最大值为15

例8、已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点．
求的最大值、最小值及对应的点坐标；

解：(1)如上图，，，，设是椭圆上任一点，
由，，
∴，
等号仅当时成立，此时、、共线
由，∴，
等号仅当时成立，此时、、共线．建立、的直线方程，
解方程组得两交点 、．
综上所述，点与重合时，取最小值，点与重合时，取最大值
例9、设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么A、B的坐标是方程组的解．
由ax＋by＝1，ax＋by＝1，两式相减，得
a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
因为＝－1，
所以＝，
即＝，＝＝，所以b＝a.①
再由方程组消去y得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，
由|AB|＝＝
＝＝2，
得(x1＋x2)2－4x1x2＝4，即()2－4·＝4.②
由①②解得a＝，b＝，
故所求的椭圆的方程为＋＝1.
例10、给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，记O为坐标原点．
(1)求·的值；
(2)设＝λ，当△OAB的面积S∈[2， ]时，求λ的取值范围．
解：(1)根据抛物线的方程可得焦点F(1,0)，
设直线l的方程为x＝my＋1，
将其与C的方程联立，消去x可得y2－4my－4＝0.
设A，B点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(y1>0>y2)，
则y1y2＝－4.
因为y＝4x1，y＝4x2，
所以x1x2＝yy＝1，
故·＝x1x2＋y1y2＝－3.
(2)因为＝λ，
所以(1－x1，－y1)＝λ(x2－1，y2)，
即
又y＝4x1， ③
y＝4x2， ④
由②③④消去y1，y2后，得到x1＝λ2x2，将其代入①，注意到λ>0，解得x2＝.从而可得y2＝－，y1＝2，
故△OAB的面积S＝|OF|·|y1－y2|＝＋，
因＋≥2恒成立，所以只要解＋≤即可，
解之得≤λ≤.
例11、已知O为坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴上运动，且|AB|＝8，动点P满足＝，设点P的轨迹为曲线C，定点为M(4,0)，直线PM交曲线C于另外一点Q.
(1)求曲线C的方程；
(2)求△OPQ面积的最大值．
解：(1)设A(a,0)，B(0，b)，P(x，y)，
则＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，
∵＝，∴∴a＝x，b＝y.
又|AB|＝＝8，∴＋＝1.
∴曲线C的方程为＋＝1.
(2)由(1)可知，M(4,0)为椭圆＋＝1的右焦点，
设直线PM方程为x＝my＋4，
由消去x得
(9m2＋25)y2＋72my－81＝0，
∴|yP－yQ|＝
＝.
∴S△OPQ＝|OM||yP－yQ|＝2×
＝＝＝
≤＝，
当＝，
即m＝±时，△OPQ的面积取得最大值为，此时直线方程为3x±y－12＝0.