高一函数单调性判定方法.doc

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高一函数单调性基础知识总结
一、 单调函数的定义
设函数的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量
当时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数，I称为的单调增区间
当时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数，I称为的单调减区间
如果函数在区间I上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数在区间I上具有单调性。单调增区间和单调减区间统称为单调区间。
对函数单调性德理解应把握以下几个方面：
（1） 函数的单调性是函数在某个区间上的整体性质
① 这个区间可以是整个定义域
如：y=2x在整个定义域﹙﹣∞，﹢∞﹚上是单调增函数＝﹣2x在整个定义域﹙﹣∞，﹢∞﹚上是单调减函数。
② 这个区间也可以是定义域的真子集
如：y＝在定义域﹙﹣∞，﹢∞﹚上不具有单调性，但﹙﹣∞，0]上市单调减函数，在[0，﹢∞]上是单调增函数。
（2） 并不是所有的函数都具有单调性，有的函数不具有单调性
如：y=2是常数函数且定义域为R，函数值不随x的变化而变化，因此不具有单调性。
（3） 区间端点的写法
对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，包括端点可以，不包括端点也可以，但对于某些无意义时单调区间就不包括这些点
（4） 函数单调性定义中的必须满足任意性，不可以随便选两个特殊值
（5） 单调性的讨论必须在一个区间上
如：当﹙﹣∞，0﹚时，是单调减函数，当﹙0，﹢∞﹚时，也是单调减函数。担当﹙﹣∞，0﹚∪﹙0，﹢∞﹚时，就不具有单调性。
（6） 注意一些与单调性的定义类似的结论：若是定义域的任意两值，且，则在其定义域内位单调增函数；若，则在其定义域内为单调减函数
（7） 函数单调性的几何意义：
单调增函数：在定义区间上图像从左到右上升
单调减函数：在定义区间上图像从左到右下降

二、 判定函数单调性的常用方法
（1） 定义法：
若要证明在[a，b]上是单调递增的，就必须证明对于区间[a，b]上任意的，两个自变量的值，当时都有成立。
若要证明在[a，b]上不是单调递增的，只需举出一个反例就足够了，即只要找到两个特殊的，满足a≤≤b，而≥即可
用定义证明函数单调性的一般步骤：
①取值：即设是该区间内的任意两个值，且.
②作差：即，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。
③定号：根据给定的区间和符号，确定差的符号。
④判断：根据定义得出结论。
（2）运算性质法
①函数与a，当a﹥0时有相同的单调性。当a﹤0时有相反的单调性
②当函数恒为正或恒为负时，与具有相反的单调性
③若≥0，则与具有相同的单调性
④如、的单调性相同，则+的单调性与、的单调性相同
⑤如、的单调性相同反，则—的单调性与的单调性相同
（3） 图像法：根据函数的图像判断函数在某区间上的单调性
（4） 复合函数的单调性的判断：
①定义：
设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为 y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)
②复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：
函数 单调性
增 增 减 减
增 减 增 减
增 减 减 增
这种规律简称为“同增异减”