九年级圆基础知识点--(圆讲义).pdf

1一对一授课教案一对一授课教案学员姓名：_何锦莹_ 年级：_9_ 所授科目：_数学_上课时间：_ 年 月 日_ _时 分至_ _时_ _分共 _小时老师签名老师签名唐熠唐熠学生签名学生签名教学主题教学主题圆圆上次作业检查上次作业检查完成很好完成很好本次上课表现本次上课表现本次作业本次作业授课内容：授课内容：圆的相关概念，基础知识圆的相关概念，基础知识板块一：圆的有关概念板块一：圆的有关概念一、圆的定义：一、圆的定义：1.描述性定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随OAOA之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径OOA 2 圆的表示方法：通常用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作“”，OOAO读作“圆”O3 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆.注意：同圆或等圆的半径相等二、弦和弧二、弦和弧 1.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦 2.直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍2 3.弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距4.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以为端点的圆弧记作，读作弧AB、ABAB 5.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 6.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆 7.优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧 8.弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形三、圆心角和圆周角三、圆心角和圆周角 1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆3601心角，我们也称这样的弧为的弧圆心角的度数和它所对的弧的度数相等1 2.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 3.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径90 推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 4.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等2板块二：圆的对称性与垂径定理一、圆的对称性 1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线 2.圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心 3.圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合二、垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 2.推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 3.推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等练习题；1.判断：（1）直径是弦，是圆中最长的弦。（）（2）半圆是弧，弧是半圆。（）（3）等圆是半径相等的圆。（）（4）等弧是弧长相等的弧。（）（5）半径相等的两个半圆是等弧。（）（6）等弧的长度相等。（）2P 为O 内与 O 不重合的一点，则下列说法正确的是（）A点 P 到O 上任一点的距离都小于O 的半径 BO 上有两点到点 P 的距离等于O 的半径CO 上有两点到点 P 的距离最小 DO 上有两点到点 P 的距离最大3以已知点 O 为圆心作圆，可以作（）A1 个B2 个C3 个D无数个4以已知点 O 为圆心，已知线段 a 为半径作圆，可以作（）A1 个B2 个C3 个D无数个5、如下图，(1)若点 O 为O 的圆心，则线段_是圆 O 的半径；线段_是圆 O 的弦，其中最长的弦是_；_是劣弧；_是半圆(2)若A=40，则ABO=_，C=_，ABC=_5一点和O 上的最近点距离为 4cm，最远距离为 9cm，则这圆的半径是 cm6圆上各点到圆心的距离都等于 ，到圆心的距离等于半径的点都在 7如图，点 C 在以 AB 为直径的半圆上，BAC=20，BOC 等于（）A20 B30C40 D503 8、如图，在O 中，弦 AB=8cm，OCAB 于 C，OC=3cm，求O 的半径长9如图 1，如果 AB 为O 的直径，弦 CDAB，垂足为 E，那么下列结论中，错误的是（）ACE=DE B CBAC=BAD DACADBCBDBACEDO BAOM BACDPOBACEDOBACEDOF（5）(1)(2)(3)（4）10如图 2，O 的直径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3，则弦 AB 的长是（）A4 B6 C7 D811如图 3，在O 中，P 是弦 AB 的中点，CD 是过点 P 的直径，则下列结论中不正确的是（）AABCD BAOB=4ACD C DPO=PDADBD12如图 4，AB 为O 直径，E 是中点，OE 交 BC 于点 D，BD=3，AB=10，则 AC=_BC13P 为O 内一点，OP=3cm，O 半径为 5cm，则经过 P 点的最短弦长为_；最长弦长为_14（、深圳南山区，3 分）如图 13l，在O 中，已知A CBCDB60，AC3，则ABC的周长是_.415如果两个圆心角相等，那么（）A这两个圆心角所对的弦相等;B这两个圆心角所对的弧相等 C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D以上说法都不对16（、大连，3 分）如图 137，A、B、C 是O 上的三点，BAC=30则BOC 的大小是（）A60 B45 C30 D15 三、综合题三、综合题1、如图，O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=2，EB=6，DEB=30，求弦 CD 长 BACEDO 3、已知：如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，AB，CD 的延长线交于 E，若AB=2DE，E=18，求C 及AOC 的度数板块三：点与圆的位置关系一、点与圆的位置关系点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定 设的半径为，点到圆心的距离为，则有：OrPOd点在圆外；点在圆上；点在圆内.drdrdr5如下表所示：位置关系图形定义性质及判定点在圆外PrO点在圆的外部点在的外部.drPO点在圆上PrO点在圆周上点在的圆周上.drPO点在圆内PrO点在圆的内部点在的内部.drPO二、确定圆的条件1.圆的确定 确定一个圆有两个基本条件：圆心（定点），确定圆的位置；半径（定长），确定圆的大小只有当圆心和半径都确定时，远才能确定2.过已知点作圆经过点的圆：以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点AAOOA的圆，这样的圆有无数个A经过两点的圆：以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，AB、ABOOA即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个AB、过三点的圆：若这三点共线时，过三点的圆不存在；若三点不共线ABC、ABC、时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有ABBCO唯一一个过个点的圆：只可以作个或 个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三n4n 01点确定的圆的圆心3.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆 注意：“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”板块四：直线和圆的位置关系一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定 设的半径为，圆心到直线 的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：OrOld位置关系图形定义性质及判定6相离lOdr直线与圆没有公共点.直线 与相drlO离相切lOdr直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点.直线 与相drlO切相交lOdr直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线.直线 与相drlO交 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：二、切线的性质及判定 1.切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 2.切线的判定 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 3.切线长和切线长定理：切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角三、三角形内切圆 1.定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形 2.多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形1、如图，中，是的中点，以为圆心的圆与相切于点。求证：ABCABACOBCOABD是的切线。ACOe直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数210圆心到直线的距离与半径的关系drdrdrdr公共点名称交点切点无直线名称割线切线无7ODCBA2、如图，已知是的直径，是和相切于点的切线，过上点的直线ABOeBCOeBOeA，若且，则 。ADOC2OA 6ADOCCD 3、如图ABC 中A90，以 AB 为直径的O 交 BC 于 D，E 为 AC 边中点，求证：DE 是O 的切线。8 如图，在ABC中90ACBo，D是AB的中点，以DC为直径的Oe交ABC的三边，交点分别是GFE，点GECD，的交点为M，且4 6ME，:2:5MD CO CODBA8（1）求证：GEFA（2）求Oe的直径CD的长7 如图（18），在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，ABCABxOAOB以为直径的圆过点若点的坐标为，A、B 两点的ABCC(0 2)，5AB 横坐标，是关于的方程的两根AxBxx2(2)10 xmxn（1）求、的值；mn（2）若平分线所在的直线 交轴于点，试求直线 对应的一次函数解析式；ACBlxDl（3）过点任作一直线分别交射线、（点除外）于点、则DlCACBCMN的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由11CMCNEADGBFCOMyx图（18）NBACODMll97 7 解：（1）以为直径的圆过点，而点的坐标为，QABC90ACBoC(0 2)，由易知，COABAOCCOB2COAO BOg即：，解之得：或，4(5)AOAOg4AO 1AO OAOBQ4AO即由根与系数关系有：，41ABxx，21ABABxxmxxng解之，5m 3n （2）如图（3），过点作，交于点，DDEBCACE易知，且，DEAC45ECDEDC o在中，易得，ABC2 55ACBC，ADAEDEBCDBECQ，ADAEDEECBDDEQ，yx图（3）NBACODMEF(0，2)ll10又，有，AEDACBAEACEDBC2ADACDBBC，则，即，易求得直线 对应的一次函数解析式为：553ABDBQ，23OD 203D，l32yx解法二：过作于，于，由，求得DDEACEDFCNFACDBCDABCSSS 253DE 又求得即，易求直线 解析1122BCDSBD COBC DFgg5233BDDO，203D，l式为：32yx（3）过点作于，于为的平分线，DDEACEDFCNFCDQACBDEDF由，有 由，MDEMNCDEMDCNMNDNFMNC有，即DFDNCMMN1DEDFMDDNCNCMMNMN1113 510CMCNDE8 8 （1）连接DF CDQ是圆直径，90CFDo，即DFBC90ACBoQ，DFAC BDFA Q在Oe中BDFGEF，GEFA 2 分（2）DQ是RtABC斜边AB的中点，DCDA，DCAA，又由（1）知GEFA，DCAGEF 又OMEEMC Q，OME与EMC相似OMMEMEMC 2MEOMMC4 分又4 6ME Q，2(4 6)96OMMC:2:5MD CO Q，:3:2OM MD，:3:8OM MC设3OMx，8MCx，3896xx，2x直径1020CDx（3）RtABCQ斜边上中线20CD，40ABQ在RtABC中cos0.6BCBAB，24BC，32AC设直线AB的函数表达式为ykxb，根据题意得(32 0)A，(0 24)B，024320kbkb 解得3424kb 11直线AB的函数解析式为3244yx（其他方法参照评分）9 分EADGBFCOM