微积分公式与定积分计算练习复习过程.doc

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微积分公式与定积分计算练习（附加三角函数公式）
一、基本导数公式
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
⑺ ⑻
⑼ ⑽ ⑾
⑿ ⒀ ⒁
⒂ ⒃⒄⒅
二、导数的四则运算法则

三、高阶导数的运算法则
（1） （2）
（3） （4）
四、基本初等函数的n阶导数公式
（1） （2） (3)
(4)(5)
(6) (7)
五、微分公式与微分运算法则
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
⑺ ⑻
⑼ ⑽ ⑾
⑿ 　⒀ ⒁
⒂ ⒃
六、微分运算法则
⑴　　　　　　　　　　　⑵
⑶　　　　　　　　　　　⑷
七、基本积分公式
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
⑺ ⑻
⑼ ⑽
⑾
八、补充积分公式

九、下列常用凑微分公式
积分型
换元公式

十、分部积分法公式
⑴形如，令，
形如令，
形如令，
⑵形如，令，
形如，令，
⑶形如，令均可。
十一、第二换元积分法中的三角换元公式
(1) (2) (3)
【特殊角的三角函数值】
（1） （2） （3） （4） （5）
（1） （2）（3） （4） （5）
（1） （2）（3）（4）不存在（5）
（1）不存在 （2）（3）（4）（5）不存在
十二、重要公式
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（7） （8） （9）
（10） （11）
（12） （系数不为0的情况）
十三、下列常用等价无穷小关系（）

十四、三角函数公式
1.两角和公式

2.二倍角公式

3.半角公式

4.和差化积公式

5.积化和差公式

6.万能公式

7.平方关系

8.倒数关系

9.商数关系

十五、几种常见的微分方程
1.可分离变量的微分方程： ，
2.齐次微分方程：

3.一阶线性非齐次微分方程： 解为：
高考定积分应用常见题型大全
　一．选择题（共21小题）
1．（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（　　）

A．

B．

C．

D．

2．（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（　　）

A．

B．

C．

D．

3．设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（　　）

A．

B．

C．

D．

4．定积分的值为（　　）

A．

B．
3+ln2
C．
3﹣ln2
D．
6+ln2

5．如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（　　）

A．
1
B．

C．

D．

6．=（　　）

A．
π
B．
2
C．
﹣π
D．
4

7．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（　　）

A．
2
B．
4
C．
5
D．
8

8．∫01exdx与∫01exdx相比有关系式（　　）

A．
∫01exdx＜∫01exdx
B．
∫01exdx＞∫01exdx

C．
（∫01exdx）2=∫01exdx
D．
∫01exdx=∫01exdx

9．若a=，b=，则a与b的关系是（　　）

A．
a＜b
B．
a＞b
C．
a=b
D．
a+b=0

10．的值是（　　）

A．

B．

C．

D．

11．若f（x）=（e为自然对数的底数），则=（　　）

A．
+e2﹣e
B．
+e
C．
﹣e2+e
D．
﹣+e2﹣e

12．已知f（x）=2﹣|x|，则（　　）

A．
3
B．
4
C．
3.5
D．
4.5

13．设f（x）=3﹣|x﹣1|，则∫﹣22f（x）dx=（　　）

A．
7
B．
8
C．
7.5
D．
6.5

14．积分=（　　）

A．

B．

C．
πa2
D．
2πa2

15．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（　　）

A．
1/2
B．
1
C．
2
D．
3/2

16．由函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积是（　　）

A．
4
B．

C．

D．
2π

17．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（　　）

A．

B．

C．

D．

18．图中，阴影部分的面积是（　　）

A．
16
B．
18
C．
20
D．
22

19．如图中阴影部分的面积是（　　）

A．

B．

C．

D．

20．曲线与坐标轴围成的面积是（　　）

A．

B．

C．

D．

21．如图，点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（　　）

A．
y=
B．
y=
C．
y=
D．
y=

高考定积分应用常见题型大全（含答案）
参考答案与试题解析

一．选择题（共21小题）
1．（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
定积分在求面积中的应用；几何概型．501974
专题：
计算题．
分析：
根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y=围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．
解答：
解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，
而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，
则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；
故选C．
点评：
本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．

2．（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
定积分在求面积中的应用．501974
专题：
计算题．
分析：
要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．
解答：
解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]
所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，
故选A．
点评：
本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积．

3．设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；定积分在求面积中的应用．501974
专题：
计算题；数形结合．
分析：
利用坐标系中作出函数图象的形状，通过定积分的公式，分别对两部分用定积分求出其面积，再把它们相加，即可求出围成的封闭区域曲边图形的面积．
解答：
解：根据题意作出函数的图象：

根据定积分，得所围成的封闭区域的面积S=
故选C
点评：
本题考查分段函数的图象和定积分的运用，考查积分与曲边图形面积的关系，属于中档题．解题关键是找出被积函数的原函数，注意运算的准确性．

4．定积分的值为（　　）

A．

B．
3+ln2
C．
3﹣ln2
D．
6+ln2

考点：
定积分；微积分基本定理；定积分的简单应用．501974
专题：
计算题．
分析：
由题设条件，求出被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可．
解答：
解：=（x2+lnx）|12=（22+ln2）﹣（12+ln1）=3+ln2
故选B．
点评：
本题考查求定积分，求解的关键是掌握住定积分的定义及相关函数的导数的求法，属于基础题．

5．如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（　　）

A．
1
B．

C．

D．

考点：
定积分；定积分的简单应用．501974
专题：
计算题．
分析：
联立由曲线y=x2和曲线y=两个解析式求出交点坐标，然后在x∈（0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可．
解答：
解：联立得，
解得 或，
设曲线与直线围成的面积为S，
则S=∫01（﹣x2）dx=
故选：C
点评：
考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力．

6．=（　　）

A．
π
B．
2
C．
﹣π
D．
4

考点：
微积分基本定理；定积分的简单应用．501974
专题：
计算题．
分析：
由于F（x）=x2+sinx为f（x）=x+cosx的一个原函数即F′（x）=f（x），根据∫abf（x）dx=F（x）|ab公式即可求出值．
解答：
解：∵（ x2++sinx）′=x+cosx，
∴（x+cosx）dx
=（ x2+sinx）
=2．
故答案为：2．
点评：
此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道基础题．

7．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（　　）

A．
2
B．
4
C．
5
D．
8

考点：
定积分的简单应用．501974
分析：
根据导函数的图象，分析原函数的性质或作出原函数的草图，找出a、b满足的条件，画出平面区域，即可求解．
解答：
解：由图可知[﹣2，0）上f′（x）＜0，
∴函数f（x）在[﹣2，0）上单调递减，（0，4]上f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（0，4]上单调递增，
故在[﹣2，4]上，f（x）的最大值为f（4）=f（﹣2）=1，
∴f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）⇒
表示的平面区域如图所示：
故选B．

点评：
本题考查了导数与函数单调性的关系，以及线性规划问题的综合应用，属于高档题．解决时要注意数形结合思想应用．

8．∫01exdx与∫01exdx相比有关系式（　　）

A．
∫01exdx＜∫01exdx
B．
∫01exdx＞∫01exdx

C．
（∫01exdx）2=∫01exdx
D．
∫01exdx=∫01exdx

考点：
定积分的简单应用；定积分．501974
专题：
计算题．
分析：
根据积分所表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=ex或y=ex在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需画出函数图象观察面积大小即可．
解答：
解：∫01exdx表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=ex在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，
∫01exdx表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=ex在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，
如图
∵当0＜x＜1时，exx＞ex，故有：∫01exdx＞∫01exdx
故选B．

点评：
本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．

9．若a=，b=，则a与b的关系是（　　）

A．
a＜b
B．
a＞b
C．
a=b
D．
a+b=0

考点：
定积分的简单应用．501974
专题：
计算题．
分析：
a==（﹣cosx）=（﹣cos2）﹣（﹣cos）=﹣cos2≈sin24.6°，b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈sin57.3°．
解答：
解：∵a==（﹣cosx）=（﹣cos2）﹣（﹣cos）=﹣cos2≈﹣cos114.6°=sin24.6°，
b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈sin57.3°，
∴b＞a．
故选A．
点评：
本题考查定积分的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

10．的值是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
定积分的简单应用．501974
专题：
计算题．
分析：
根据积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积即可．
解答：
解；积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，
故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积之差．
即=﹣=﹣=
故答案选A
点评：
本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题

11．若f（x）=（e为自然对数的底数），则=（　　）

A．
+e2﹣e
B．
+e
C．
﹣e2+e
D．
﹣+e2﹣e

考点：
定积分的简单应用．501974
专题：
计算题．
分析：
由于函数为分段函数，故将积分区间分为两部分，进而分别求出相应的积分，即可得到结论．
解答：
解：===
故选C．
点评：
本题重点考查定积分，解题的关键是将积分区间分为两部分，再分别求出相应的积分．

12．已知f（x）=2﹣|x|，则（　　）

A．
3
B．
4
C．
3.5
D．
4.5

考点：
定积分的简单应用．501974
专题：
计算题．
分析：
由题意，，由此可求定积分的值．
解答：
解：由题意，=+=2﹣+4﹣2=3.5
故选C．
点评：
本题考查定积分的计算，解题的关键是利用定积分的性质化为两个定积分的和．

13．设f（x）=3﹣|x﹣1|，则∫﹣22f（x）dx=（　　）

A．
7
B．
8
C．
7.5
D．
6.5

考点：
定积分的简单应用．501974
专题：
计算题．
分析：
∫﹣22f（x）dx=∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx，将∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx转化成∫﹣21（2+x）dx+∫12（4﹣x）dx，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可．
解答：
解：∫﹣22f（x）dx=∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx=∫﹣21（2+x）dx+∫12（4﹣x）dx=（2x+x2）|﹣21+（ 4x﹣x2）|12=7
故选A．
点评：
本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．

14．积分=（　　）

A．

B．

C．
πa2
D．
2πa2

考点：
定积分的简单应用；定积分．501974
专题：
计算题．
分析：
本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与x轴所围成的图形的面积，围成的图象是半个圆．
解答：
解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，
故==．
故选B．
点评：
本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．

15．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（　　）

A．
1/2
B．
1
C．
2
D．
3/2

考点：
定积分在求面积中的应用．501974
专题：
计算题．
分析：
根据几何图形用定积分表示出所围成的封闭图形的面积，求出函数f（x）的积分，求出所求即可．
解答：
解：由题意图象与x轴所围成图形的面积为
=（﹣）|01+sinx
=+1
=
故选D．

点评：
本题考查定积分在求面积中的应用，求解的关键是正确利用定积分的运算规则求出定积分的值，本题易因为对两个知识点不熟悉公式用错而导致错误，牢固掌握好基础知识很重要．

16．由函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积是（　　）

A．
4
B．

C．

D．
2π

考点：
定积分在求面积中的应用．501974
专题：
计算题．
分析：
由题意可知函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形可利用定积分进行计算，只要求∫0（1﹣cosx）dx即可．然后根据积分的运算公式进行求解即可．
解答：
解：由函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积，
就是：∫0（1﹣cosx）dx=（x﹣sinx）|0
=．
故选B．

点评：
本题考查余弦函数的图象，定积分，考查计算能力，解题的关键是两块封闭图形的面积之和就是上部直接积分减去下部积分．

17．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
定积分在求面积中的应用．501974
专题：
计算题．
分析：
欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．
解答：
解：∵y=x3，
∴y'=3x2，当x=1时，y'=3得切线的斜率为3，所以k=3；
所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：
y﹣1=3×（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．
令y=o得：x=，
∴切线与x轴、直线x=1所围成的三角形的面积为：
S=×（1﹣）×1=
故选B．
点评：
本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题．

18．图中，阴影部分的面积是（　　）

A．
16
B．
18
C．
20
D．
22

考点：
定积分在求面积中的应用．501974
专题：
计算题．
分析：
从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣2），（8，4）．过（2，﹣2）作x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加即可得到阴影部分的面积．
解答：
解：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣2），（8，4）．过（2，﹣2）作x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，分别求出它们的面积A1，A2：
A1=∫02[]dx=2 dx=，
A2=∫28[]dx=
所以阴影部分的面积A=A1+A2==18
故选B．
点评：
本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．考查学生利用定积分求阴影面积的方法的能力．

19．如图中阴影部分的面积是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
定积分在求面积中的应用．501974
专题：
计算题．
分析：
求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．
解答：
解：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）
抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点（﹣，0）
设阴影部分面积为s，则
=
=
所以阴影部分的面积为，
故选C．
点评：
本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．

20．曲线与坐标轴围成的面积是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
定积分在求面积中的应用．501974
专题：
计算题．
分析：
先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
解答：
解：先根据题意画出图形，
得到积分上限为，积分下限为0
曲线与坐标轴围成的面积是：
S=∫0（﹣）dx+∫dx
=
∴围成的面积是
故选D．

点评：
本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数．

21．如图，点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（　　）

A．
y=
B．
y=
C．
y=
D．
y=

考点：
定积分在求面积中的应用．501974
专题：
计算题；数形结合．
分析：
根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．
解答：
解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：
πr2=10π
解得：r=2．
∵点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点．
∴3a2=k且=r
∴a2=×（2）2=4．
∴k=3×4=12，
则反比例函数的解析式是：y=．
故选C．
点评：
本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．

只供学习与交流