第三章第七讲：三角形等高模型与鸟头模型例题精讲.doc

板块一 三角形等高模型
我们已经知道三角形面积得计算公式:三角形面积底高
从这个公式我们可以发现:三角形面积得大小,取决于三角形底与高得乘积.
如果三角形得底不变,高越大(小),三角形面积也就越大(小);
如果三角形得高不变,底越大(小),三角形面积也就越大(小);
这说明当三角形得面积变化时,它得底与高之中至少有一个要发生变化.但就是,当三角形得底与高同时发生变化时,三角形得面积不一定变化.比如当高变为原来得3倍,底变为原来得,则三角形面积与原来得一样.这就就是说:一个三角形得面积变化与否取决于它得高与底得乘积,而不仅仅取决于高或底得变化.同时也告诉我们:一个三角形在面积不改变得情况下,可以有无数多个不同得形状.
在实际问题得研究中,我们还会常常用到以下结论:
①等底等高得两个三角形面积相等;
②两个三角形高相等,面积比等于它们得底之比;
两个三角形底相等,面积比等于它们得高之比;
如左图

③夹在一组平行线之间得等积变形,如右上图;
反之,如果,则可知直线平行于.
④等底等高得两个平行四边形面积相等(长方形与正方形可以瞧作特殊得平行四边形);
⑤三角形面积等于与它等底等高得平行四边形面积得一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们得底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们得高之比.
【例 1】 您有多少种方法将任意一个三角形分成:⑴ 3个面积相等得三角形;⑵ 4个面积相等得三角形;⑶6个面积相等得三角形.
【例 2】 如图,BD长12厘米,DC长4厘米,B、C与D在同一条直线上.
⑴ 求三角形ABC得面积就是三角形ABD面积得多少倍？
⑵ 求三角形ABD得面积就是三角形ADC面积得多少倍？

【例 3】 如右图,与都就是矩形,得长就是厘米,得长就是厘米,那么图中阴影部分得面积就是 平方厘米.

【例 4】 如图,长方形得面积就是平方厘米,点、、分别就是长方形边上得中点,为边上得任意一点,求阴影部分得面积.

【例 5】 长方形得面积为36,、、为各边中点,为边上任意一点,问阴影部分面积就是多少？

【例 6】 长方形得面积为36,、、为各边中点,为边上任意一点,问阴影部分面积就是多少？

【例 7】 如右图,E在AD上,AD垂直BC,厘米,厘米.求三角形ABC得面积就是三角形EBC面积得几倍？

【例 8】 如图,在平行四边形ABCD中,EF平行AC,连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积得三角形一共有哪几个三角形？

【解析】 AEC、AFC、ABF.
【例 9】 (第四届”迎春杯”试题)如图,三角形得面积为1,其中,,三角形 得面积就是多少？

【例 10】 (2008年四中考题)如右图,,,已知阴影部分面积为5平方厘米,得面积就是 平方厘米.

【例 11】 如图ABCD就是一个长方形,点E、F与G分别就是它们所在边得中点.如果长方形得面积就是36个平方单位,求三角形EFG得面积就是多少个平方单位.

【例 12】 如图,大长方形由面积就是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米得四个小长方形组合而成.求阴影部分得面积.

【例 13】 如图,三角形中,,,三角形ADE得面积就是20平方厘米,三角形得面积就是多少？

【例 14】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图,在三角形中,已知三角形、三角形、三角形得面积分别就是89,28,26.那么三角形得面积就是 .

【例 15】 (第四届《小数报》数学竞赛)如图,梯形ABCD被它得一条对角线BD分成了两部分.三角形BDC得面积比三角形ABD得面积大10平方分米.已知梯形得上底与下底得长度之与就是15分米,它们得差就是5分米.求梯形ABCD得面积.

【例 16】 图中AOB得面积为,线段OB得长度为OD得3倍,求梯形ABCD得面积.

【例 17】 如图,把四边形ABCD改成一个等积得三角形.

【例 18】 (第三届“华杯赛”初赛试题)一个长方形分成4个不同得三角形,绿色三角形面积占长方形面积得,黄色三角形面积就是.问:长方形得面积就是多少平方厘米？

【例 19】 就是长方形内一点,已知得面积就是,得面积就是,求得面积就是多少？

【例 20】 如右图,过平行四边形内得一点作边得平行线、,若得面积为8平方分米,求平行四边形得面积比平行四边形得面积大多少平方分米？

【例 21】 如右图,正方形得面积就是,正三角形得面积就是,求阴影得面积.

【例 22】 在长方形内部有一点,形成等腰得面积为16,等腰得面积占长方形面积得,那么阴影得面积就是多少？

【例 23】 (2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级)如右图所示,在梯形中,、分别就是其两腰、得中点,就是上得任意一点,已知 得面积为,而得面积恰好就是梯形面积得,则梯形得面积就是 .

【例 24】 如图所示,四边形与都就是平行四边形,请您证明它们得面积相等.

【例 25】 如图,正方形ABCD得边长为6,1、5,2.长方形EFGH得面积为 .

【例 26】 如图,ABCD为平行四边形,EF平行AC,如果ADE得面积为4平方厘米.求三角形CDF得面积.

【例 27】 图中两个正方形得边长分别就是6厘米与4厘米,则图中阴影部分三角形得面积就是多少平方厘米.

【例 28】 如图,有三个正方形得顶点、、恰好在同一条直线上,其中正方形得边长为10厘米,求阴影部分得面积.

【例 29】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中,与就是两个正方形,与相交于,已知等于得三分之一,三角形得面积等于6平方厘米,求五边形得面积.

【例 30】 (第八届小数报数学竞赛决赛试题)如下图,、分别就是梯形得下底与腰上得点,,并且甲、乙、丙个三角形面积相等.已知梯形得面积就是平方厘米.求图中阴影部分得面积.

【例 31】 如图,已知长方形得面积,三角形得面积就是,三角形得面积就是,那么三角形得面积就是多少？

【例 32】 如图,在平行四边形中,,.求阴影面积与空白面积得比.

【例 33】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示,三角形中,就是边得中点,就是边上得一点,且,为与得交点.若得面积为平方厘米,得面积为平方厘米.且就是平方厘米,那么三角形得面积就是 平方厘米.

【例 34】 如图,在梯形中,,,且得面积比得面积小10平方厘米.梯形得面积就是 平方厘米.

【例 35】 如右图所示,在长方形内画出一些直线,已知边上有三块面积分别就是,,.那么图中阴影部分得面积就是多少？

【例 36】 图中就是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米得直角三角形.将它得短直角边对折到斜边上去与斜边相重合,那么图中得阴影部分(即未被盖住得部分)得面积就是多少平方厘米？

【例 37】 如图,长方形得面积就是2平方厘米,,就是得中点.阴影部分得面积就是多少平方厘米？

【例 38】 (2007年六年级希望杯二试试题)如图,三角形田地中有两条小路与,交叉处为,张大伯常走这两条小路,她知道,且.则两块地与得面积比就是_________.

【例 39】 (年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级试)如图,,,被分成个面积相等得小三角形,那么 .

【解析】 由题意可知,,所以,;又,所以,同样分析可得,所以.
【例 40】 、分别为直角梯形两边上得点,且、、彼此平行,若,,,.求阴影部分得面积.

【例 41】 (2007年人大附中分班考试题)已知为等边三角形,面积为400,、、分别为三边得中点,已知甲、乙、丙面积与为143,求阴影五边形得面积.(丙就是三角形)

【例 42】 (2009年四中入学测试题)如图,已知,,,,线段将图形分成两部分,左边部分面积就是38,右边部分面积就是65,那么三角形得面积就是 .

【例 43】 (2008年仁华考题)如图,正方形得边长为10,四边形得面积为5,那么阴影部分得面积就是 .

【例 44】 (2008年走美六年级初赛)如图所示,长方形内得阴影部分得面积之与为70,,,四边形得面积为 .

【例 45】 (清华附中分班考试题)如图,如果长方形得面积就是平方厘米,那么四边形得面积就是多少平方厘米？

【例 46】 (2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛)如图,阴影部分四边形得外接图形就是边长为得正方形,则阴影部分四边形得面积就是 .

【例 47】 如图,三角形得面积就是,、得长度分别为11、3.求长方形得面积.

【例 48】 (2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛)如图,长方形中,,.、分别就是边上得两点,.那么,三角形面积得最小值就是 .

【例 49】 (2007首届全国资优生思维能力测试)就是边长为12得正方形,如图所示,就是内部任意一点,、,那么阴影部分得面积就是 .

【例 50】 如图所示,在四边形中,,,,分别就是各边得中点,求阴影部分与四边形得面积之比.

【例 51】 如图,四边形中,,,,已知四边形得面积等于4,则四边形得面积 .

【拓展】如图,对于任意四边形,通过各边三等分点得相应连线,得到中间四边形,求四边形得面积就是四边形得几分之几？

【例 52】 (2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛)有正三角形,在边、、得正中间分别取点、、,在边、、上分别取点、、,使,当与、与、与得相交点分别就是、、时,使.
这时,三角形得面积就是三角形得面积得几分之几？请写出思考过程.

【例 53】 如图:已知在梯形中,上底就是下底得,其中就是边上任意一点,三角形、三角形、三角形得面积分别为、、.求三角形得面积.

【例 54】 如图,已知就是梯形,∥,,,,求得面积.

【例 55】 (2009年迎春杯决赛高年级组)如图,就是一个四边形,、分别就是、得中点.如果、与得面积分别就是6、7与8,且图中所有三角形得面积均为整数,则四边形得面积为 .

板块二 鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形.
共角三角形得面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边得乘积之比.
如图在中,分别就是上得点如图 ⑴(或在得延长线上,在上),
则

图⑴ 图⑵
【例 56】 如图在中,分别就是上得点,且,,平方厘米,求得面积.

【例 57】 如图在中,在得延长线上,在上,且,
,平方厘米,求得面积.

【例 58】 如图所示,在平行四边形ABCD中,E为AB得中点,,三角形AFE(图中阴影部分)得面积为8平方厘米.平行四边形得面积就是多少平方厘米？

【例 59】 已知得面积为平方厘米,,求得面积.

【例 60】 如图,三角形得面积为3平方厘米,其中,,三角形得面积就是多少？

【例 61】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示,正方形边长为6厘米,,.三角形得面积为_______平方厘米.

【例 62】 如图,已知三角形面积为,延长至,使;延长至,使;延长至,使,求三角形得面积.

【例 63】 如图,平行四边形,,,,,平行四边形得面积就是, 求平行四边形与四边形得面积比.

【例 64】 如图,四边形得面积就是平方米,,,,,求四边形得面积.

【例 65】 如图,将四边形得四条边、、、分别延长两倍至点、、、,若四边形得面积为5,则四边形得面积就是 .

【例 66】 如图,在中,延长至,使,延长至,使,就是得中点,若得面积就是,则得面积就是多少？

【例 67】 如图,,,,,.求.

【例 68】 如图所示,正方形边长为厘米,就是得中点,就是得中点,就是得中点,三角形得面积就是多少平方厘米？

【例 69】 四个面积为得正六边形如图摆放,求阴影三角形得面积.