39.实际问题与反比例函数(提高)知识讲解.doc
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实际问题与反比例函数(提高) 【学习目标】 1. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,并能结合图象加深对问题的理解. 2.根据条件求出函数解析式,运用学过的函数知识解决反比例函数的应用问题,体会数学与现实生活的紧密联系,增强应用意识. 【要点梳理】 要点一、利用反比例函数解决实际问题 1. 基本思路:建立函数模型,即在实际问题中求得函数解析式,然后应用函数的图象和性质等知识解决问题. 2. 一般步骤如下:(1)审清题意,根据常量、变量之间的关系,设出函数解析式,待定的 系数用字母表示. (2)由题目中的已知条件,列出方程,求出待定系数. (3)写出函数解析式,并注意解析式中变量的取值范围. (4)利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 要点二、反比例函数在其他学科中的应用 1. 当圆柱体的体积一定时,圆柱的底面积是高的反比例函数; 2. 当工程总量一定时,做工时间是做工速度的反比例函数; 3. 在使用杠杆时,如果阻力和阻力臂不变,则动力是动力臂的反比例函数; 4. 电压一定,输出功率是电路中电阻的反比例函数. 【典型例题】 类型一、反比例函数实际问题与图象 1、 一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案,如图所示.设小矩形的长、宽分别为,剪去部分的面积为,若,则与的函数图象是( ) 【答案】A; 【解析】根据题意求出函数的解析式,应该是反比例函数的一部分. 【总结升华】对于函数图象的判断题,应首先求出函数解析式,分清函数的类型,然后再选择对应的图象,同时在实际问题中应注意自变量的取值范围. 举一反三: 【变式】(2015•泉港区模拟)设从泉港到福州乘坐汽车所需的时间是t(小时),汽车的平均速度为v(千米/时),则下面大致能反映v与t的函数关系的图象是( ) A. B. C. D. 【答案】D; 提示:设从泉港到福州的路程为k千米,依题意,得vt=k, 所以v=(v>0,t>0), 则函数图象为双曲线在第一象限的部分. 故选D. 类型二、利用反比例函数解决实际问题 2、(2015•浙江模拟)心理学家研究发现,一般情况下,一节课40分钟中,学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时,学生的注意力逐步增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态,随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知,学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如下图所示(其中AB、BC分别为线段,CD为双曲线的一部分): (1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较,何时学生的注意力更集中? (2)一道数学竞赛题,需要讲19分钟,为了效果较好,要求学生的注意力指标数最低达到36,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目? 【思路点拨】(1)先用代定系数法分别求出AB和CD的函数表达式,再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数,最后比较判断; (2)分别求出注意力指数为36时的两个时间,再将两时间之差和19比较,大于19则能讲完,否则不能. 【答案与解析】 解:(1)设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20, 把B(10,40)代入得,k1=2, ∴y1=2x+20. 设C、D所在双曲线的解析式为y2=, 把C(25,40)代入得,k2=1000, ∴ 当x1=5时,y1=2×5+20=30, 当, ∴y1<y2 ∴第30分钟注意力更集中. (2)令y1=36, ∴36=2x+20, ∴x1=8 令y2=36, ∴, ∴ ∵27.8﹣8=19.8>19, ∴经过适当安排,老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目. 【总结升华】主要考查了函数的应用.解题的关键是根据实际意义列出函数关系式,从实际意义中找到对应的变量的值,利用待定系数法求出函数解析式,再根据自变量的值求算对应的函数值. 举一反三: 【变式】为了预防“非典”,某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒. 已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量(毫克)与时间(分钟)成正比例,药物燃烧完后,与成反比例(如图所示),现测得药物8分钟燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克. 请根据题中所提供的信息解答下列问题: ①药物燃烧时关于的函数关系式为__________ ___,自变量 的取值范围是____________ ___;药物燃烧后关于的函数关系式为_________________. ②研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过______分钟后,学生才能回到教室; ③研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么? 【答案】①药物燃烧时, 是的正比例函数,药物燃烧后,与成反比例, 利用待定系数法即可求出函数的解析式:,0≤≤8,,; ②当空气中每立方米的含药量等于1.6毫克时,求出所对应的时间:把=1.6代人到中,得=30,则至少经过30分钟后,学生才能回到教室; ③把=3分别代人到和中,得=4和=16, 16-4=12,12>10,所以此次消毒有效. 3、南宁市某生态示范村种植基地计划用90亩~120亩的土地种植一批葡萄,原计划总产量要达到36万斤. (1)列出原计划种植亩数(亩)与平均每亩产量(万斤)之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围; (2)为了满足市场需求,现决定改良葡萄品种.改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍,总产量比原计划增加了9万斤,种植亩数减少了20亩,原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤? 【思路点拨】(1)直接根据亩产量、亩数及总产量之间的关系得到函数关系式即可;(2)根据题意列出-=20后求解即可. 【答案与解析】 解:(1)由题意知:=36,故(≤≤) (2)根据题意得:-=20 解得:=0.3 经检验,x=0.3是原方程的解. 1.5=0.45(万斤) 答:改良前亩产0.3万斤,改良后亩产0.45万斤. 【总结升华】本题考查了反比例函数的应用,解题的关键是从复杂的实际问题中整理出反比例函数模型,并利用其解决实际问题. 4、心理学家研究发现,一般情况下,在一节40分钟的课中,学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化.开始上课时,学生的注意力逐步增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态,随后学生的注意力开始分散,经过实验分析可知,学生的注意力指数随时间(分)的变化规律如图所示(其中AB、BC分别为线段,CD为双曲线的一部分). (1)分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式,并写出自变量的取值范围; (2)开始上课后第5分钟时与第30分钟时比较,何时学生的注意力更集中? (3)一道数学竞赛题,需要讲19分钟,为了使效果更好,要求学生的注意力指数最低达到36,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?并说明理由. 【答案与解析】 解:(1)由图可知,A、B、C的坐标分别为(0,20)、(10,40)、(25,40).设线段AB的关系式为, 所以,解得. 所以线段AB的关系式为=2+20且0≤≤10, 设双曲线CD的关系式为,所以, 所以双曲线CD的关系式为且25≤≤40. (2)依题意,当=5时,=2×5+20=30; 当=30时,, 所以第30分钟时的学生的注意力更集中. (3)当0≤≤10时,≥36,即2+20≥36,此时≥8; 当10≤≤25时,=40≥36; 当25≤≤40时,≥36, 即.∴ . 综上所述:当8≤≤时,≥36. 又∵ ,∴ 老师能讲完这道题目. 【总结升华】(1)根据图中信息.用待定系数法求解;(2)把=5和=30代入对应的函数关系式,比较值的大小;(3)找出当≥36时,对应的的范围,求出对应的时间与19分钟比较.- 配套讲稿:
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- 39. 实际问题 反比例 函数 提高 知识 讲解
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