平面向量的概念及线性运算讲义.pdf

平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算1向量的有关概念名称定义备注向量既有_又有_的量；向量的大小叫做向量的_(或称_)平面向量是自由向量零向量长度为_的向量；其方向是任意的记作_单位向量长度等于_的向量非零向量 a 的单位向量为a|a|平行向量方向_或_的非零向量共线向量_的非零向量又叫做共线向量0 与任一向量_或共线相等向量长度_且方向_的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度_且方向_的向量0 的相反向量为 02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：ab_.(2)结合律：(ab)c_.减法求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算叫做 a 与 b 的差_法则aba(b)数乘求实数 与向量 a的积的运算(1)|a|_；(2)当 0 时，a 的方向与 a 的方向_；当|b|，则 ab；(2)若|a|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反；(3)若|a|b|，且 a 与 b 方向相同，则 ab；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 的方向相同或相反；(6)若向量与向量是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上；AB CD(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等题型二向量的线性运算例 2 如图，在ABC 中，D、E 分别为 BC、AC 边上的中点，G 为 BE 上一点，且 GB2GE，设a，b，试用 a，AB AC b 表示，.AD AG 探究提高(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果如图，在ABC 中，E、F 分别为 AC、AB 的中点，BE 与 CF 相交于 G 点，设a，b，试用 a，AB AC b 表示.AG 题型三平面向量的共线问题例 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A、B、D 三点共线；AB BC CD(2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线探究提高(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量 a、b 共线是指存在不全为零的实数 1，2，使 1a2b0 成立，若1a2b0，当且仅当 120 时成立，则向量 a、b 不共线 如图所示，ABC 中，在 AC 上取一点 N，使得 AN AC，13在 AB 上取一点 M，使得 AM AB，在 BN 的延长线上取点 P，使得13NP BN，在 CM 的延长线上取点 Q，使得时，试确定 的值12MQ CM AP QA 11.用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题：(13 分)如图所示，在ABO 中，OC 14OA OD 12OB AD 与 BC 相交于点 M，设a，b.试用 a 和 b 表示向量.OA OB OM 审题视角(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去(2)既然能用 a、b 表示，那我们不妨设出manb.OM OM(3)利用共线定理建立方程，用方程的思想求解规范解答解设manb，OM 则manba(m1)anb.AM OM OA a b.3 分AD OD OA 12OB OA 12又A、M、D 三点共线，与共线AM AD 存在实数 t，使得t，AM AD 即(m1)anbt.5 分(a12b)(m1)anbta tb.12Error!Error!，消去 t 得，m12n，即 m2n1.7 分又manb aanb，CM OM OC 14(m14)b a ab.CB OB OC 1414又C、M、B 三点共线，与共线10 分CM CB 存在实数 t1，使得t1，CM CB anbt1，(m14)(14ab)Error!Error!，消去 t1得，4mn1.12 分由得 m，n，a b.13 分1737OM 1737批阅笔记(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度(2)学生的易错点是，找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧如本题学生易忽视 A、M、D 共线和 B、M、C 共线这个几何特征(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会方法与技巧1将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础2可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题如且 AB 与 CD 不共线，则AB CD ABCD；若，则 A、B、C 三点共线AB BC 失误与防范1解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误课时规范训练(时间：60 分钟)A 组专项基础训练题组一、选择题1给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；a0(为实数)，则 必为零；，为实数，若 ab，则 a 与 b 共线其中错误命题的个数为()A1B2C3D42设 P 是ABC 所在平面内的一点，2，则()BC BA BP A.0 B.0PA PB PC PA C.0 D.0PB PC PA PB PC 3已知向量 a，b 不共线，ckab(kR)，dab.如果 cd，那么()Ak1 且 c 与 d 同向Bk1 且 c 与 d 反向Ck1 且 c 与 d 同向Dk1 且 c 与 d 反向二、填空题4设 a、b 是两个不共线向量，2apb，ab，a2b，若 A、B、D 三点AB BC CD 共线，则实数 p 的值为_5在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若，其AC AE AF 中，R，则 _.6.如图，在ABC 中，P 是 BN 上的一点，若mAN 13NC AP AB，则实数 m 的值为_211AC 三、解答题7.如图，以向量a，b 为边作OADB，OA OB BM 13BC CN 13CD 用 a、b 表示、.OM ON MN 8若 a，b 是两个不共线的非零向量，a 与 b 起点相同，则当 t 为何值时，a，tb，(ab)13三向量的终点在同一条直线上？B 组专项能力提升题组一、选择题1已知 P 是ABC 所在平面内的一点，若，其中 R，则点 P 一定在()CB PA PB AABC 的内部 BAC 边所在直线上CAB 边所在直线上 DBC 边所在直线上2已知ABC 和点 M 满足0，若存在实数 m 使得m成立，MA MB MC AB AC AM 则 m 等于()A2 B3 C4 D53O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足：OP OA ，0，)，则 P 的轨迹一定通过ABC 的()(AB|AB|AC|AC|)A外心 B内心 C重心 D垂心二、填空题4已知向量 a，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使 a、b 共线的条件是_(将正确的序号填在横线上)2a3b4e，且 a2b3e；存在相异实数、，使 ab0；xayb0(实数 x，y 满足 xy0)；若四边形 ABCD 是梯形，则与共线AB CD 5.如图所示，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N，若m，n，则AB AM AC AN mn 的值为_6在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若2，AD DB CD 13CA CB 则 _.7已知直线 xya 与圆 x2y24 交于 A、B 两点，且|，其中 OOA OB OA OB 为坐标原点，则实数 a 的值为_三、解答题8已知点 G 是ABO 的重心，M 是 AB 边的中点(1)求；GA GB GO(2)若PQ过ABO的重心G，且a a，b b，ma a，nb b，求证：3.OA OB OP OQ 1m1n答案要点梳理1大小方向长度模零01 个单位相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反2三角形平行四边形(1)ba(2)a(bc)三角形(1)|a|(2)相同相反0aaaab基础自测1.2.b a3.4.25.AOS 12题型分类深度剖析例 1 变式训练 1解(1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关(3)正确(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的(6)不正确，因为与AB 共线，而 AB 与 CD 可以不共线即 ABCD.(7)正确(8)不正确，因为零向量可以与它CD 的相反向量相等例 2 解()a b；AD 12AB AC 1212AG AB BG AB 23BE ()AB 13BA BC ()23AB 13AC AB a b.13AB 13AC 1313变式训练 2解AG AB BG ()AB BE AB 2BA BC ()(12)AB 2AC AB(1)(1)a b.AB 2AC 2又mAG AC CG AC CF ()AC m2CA CB(1m)a(1m)b，AC m2AB m2Error!Error!，解得 m，23 a b.AG 1313例 3(1)证明ab，2a8b，3(ab)，AB BC CD 2a8b3(ab)BD BC CD 2a8b3a3b5(ab)5.AB、共线，又它们有公共点 B，AB BD A、B、D 三点共线(2)解kab 与 akb 共线，存在实数，使 kab(akb)，即 kabakb.(k)a(k1)b.a、b 是不共线的两个非零向量，kk10，k210.k1.变式训练 312课时规范训练A 组1C2.B3.D4.15.436.3117.a b，a b，a bOM 1656ON 2323MN 12168解设a，tb，(ab)，OA OB OC 13 a b，AC OC OA 2313tba.AB OB OA 要使 A、B、C 三点共线，只需.AC AB 即 a btba.2313有Error!Error!Error!Error!当 t 时，三向量终点在同一直线上12B 组1B2B3B4 52 6.23728(1)解2，GA GB GM 又 2，GM GO 0.GA GB GO GO GO(2)证明显然(ab)OM 12因为 G 是ABO 的重心，所以(ab)OG 23OM 13由 P、G、Q 三点共线，得，PG GQ 所以，有且只有一个实数，使.PG GQ 而(ab)maPG OG OP 13a b，(13m)13nb(ab)GQ OQ OG 13 ab，13(n13)所以a b(13m)13.13a(n13)b又因为 a、b 不共线，所以Error!Error!，消去，整理得 3mnmn，故 3.1m1n