平面向量的基本概念及线性运算.pdf

平面向量1向量的概念与线性运算 考点要求 1.了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义.2.掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理；了解向量的线性运算性质及其几何意义.3.会用向量的几何表示及其代数运算、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题.知识与方法梳理 一、基础知识A.向量的基本概念1.向量的概念：既有 又有 的量，注意向量和数量的区别.向量常用 来表示.举例 1 （1）已知，则把向量按向量平移后得到的向量是_.(1,2)A(4,2)BABu u u r(1,3)a r（2）向量就是有向线段，这种说法对吗？为什么？2.向量的长度（模）：向量的 叫做向量的模.3.零向量：长度为 的向量叫零向量，记作：.规定：零向量的方向 .4.单位向量：长度为 的向量叫做单位向量.注：与共线的单位向量有 .ABu u u r5.相等向量：且 的两个向量叫相等向量，向量的相等关系是否可传递？注：（1）所有零向量 .（2）两不相等的向量，是否能比较大小？向量的模是否可以比较大小？6.平行向量（也叫共线向量）：的非零向量、叫做平行向量，记作：.arbrarbr注：（1）平行向量也叫自由向量：一组平行向量，只要不改变 都可以移到 用有向线段表示向量时，有向线段的起点是否可以任意选取？（2）向量的“平行”与直线（线段）的“平行”的区别：向量平行时 而直线平行关系是指 .（3）规定：零向量与 平行.（4）“相等向量”与“共线向量”具有什么关系？（5）向量的平行关系是否可递？为什么？；（6）“三点共线”与“向量共线”具有什么关系？ABC、AB ACu u u r u u u r7.相反向量：长度 且方向 的向量叫做相反向量.的相反向量记作 .ar注：是否存在这样的向量，它的相反向量也是它本身？举例 2 给出如下列命题：（1）若，则.（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.|abrrabrr（3）若，则是平行四边形.（4）若是平行四边形，则.（5）若，则.ABDCu u u ru u u u rABCDABCDABDCu u u ru u u u rabrrbcrracrr（6）若，则.其中正确的是 ./abrr/bcrr/acrr结果：（4）（5）B.向量的表示方法1.几何表示：用 表示向量，如，注意，书写时起点和终点哪一个在前面？ABu u u r2.符号表示：用 表示，如，等；arbrcr3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量为基xy,ijr r底，则平面内的任一向量可表示为 =，则称 为向量的坐标，ara rar叫做向量的 .(,)ax yrar思考：当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量的终点坐标是否相同？为什么？C.实数与向量的积平面向量2实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：arar（1）模：.（2）方向：.思考：式子有道理吗？0arD.向量共线定理向量与向量平行(共线)的充要条件：存在唯一实数，使 .br(0)a a rr r注：向量共线的其它条件：.221212/()(|)0abbaa ba bx yy xrrrrrrrr推论 若为边上的中线，则.ADABCBC1()2ADABACuuu ruuu ruuu rE、向量的线性运算1.向量的线性运算共包括：（1）向量的加法运算；（2）向量的减法运算；（3）向量的数乘运算.2.向量线性运算的几种形式：（）代数形式设、为非零向量：在平面内任取一点，作，则向量 叫做与的arbrAABauuu rrBCbuuu rrarbr和，记作，即 .abrr对于零向量与任一向量，规定 =.ar0a rr求两个向量 的运算，叫做向量的加法.（2）向量的减法差向量的定义：.向量的减法定义：.（3）向量的数乘规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向arar规定见前面内容.（）几何形式（1）向量加法运算法则：；.运算形式：若，则向量叫做与的和，即；ABauuu rrBCbuuu rrACuuu rarbrabABBCACuuu ruuu ruuu rrr作图：已知向量，用平行四边形法则、三角形法则求作.arbrabrr 、.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.（2）向量的减法运算法则：.运算形式：若，则，即由减向量的终点指向被减向量的ABauuu rrACbuuu rrabABACCAuuu ruuu ruu u rrr终点.作图：已知向量，用三角形法则求作.arbrabrr .注：减向量与被减向量的起点相同.举例 7 （1）化简：；.结果：；ABBCCDu u u ru u u ru u u rABADDCu u u ru u u ru u u u r()()ABCDACBDu u u ru u u ru u u ru u u rADu u u r平面向量3；CBu u u r0r（2）若正方形的边长为 1，则 .结果：；ABCDABau u u rrBCbu u u rrACcu u u rr|abcrrr2 2（3）若是所在平面内一点，且满足，则的形状为.结果：直角三角形；OABC2OBOCOBOCOAu u u ru u u ru u u ru u u ru u u rABC（4）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为 .DABCBCABCP0PABPCPu u u ru u u ru u u rr|APPDu u u ru u u r结果：2；（5）若点是的外心，且，则的内角为 .结果：.OABC0OAOBCOu u u ru u u ru u u rrABCC120o（3）向量的数乘遵循加减法法则.（）坐标形式设，则有11(,)ax yr22(,)bxyr（1）向量加减法 ，.abrrabrr推论：若，则 .11(,)A x y22(,)B xyAB uuu r举例 8 （1）已知点，若，则当_时，点在第一、三象限的角平分线上.(2,3)A(5,4)B(7,10)C()APABACRu u u ru u u ru u u rP结果：；12（2）已知，且，则 .结果：或；(2,3)A(1,4)B1(sin,cos)2ABxyu u u r,(,)2 2x y xy62（3）已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是 .结果：.(1,1)A1(3,4)F u u r2(2,5)F u u r3(3,1)F u u r123FFFFu u ru u ru u ru u r(9,1)（2）数乘运算.1111(,)(,)ax yxyr举例 9 设，且，则的坐标分别是_.结果：.(2,3)A(1,5)B 13ACABu u u ru u u r3ADABu u u ru u u r,C D11(1,),(7,9)33.向量的运算律（1）交换律：，；abbarrrr()()aa rra bb arrrr（2）结合律：，；()abcabcrrrrrr()abcabcrrrrrr()()()a ba babrrrrrr（3）分配律：，.()aaarrr()ababrrrr()abca cb crrrrr rr举例 13 给出下列命题：；()abca ba crrrrrr r()()ab ca bcrrrrrr222()|2|abaa bbrrrrrr 若，则或；若则；.0a brr0a rr0b rra bc brrrracrr22|aarr2a bbaarrrrr222()a babrrrr222()2abaa bbrrrrrr其中正确的是 .结果：.说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？()()ab ca bcrrrrrrF、向量的线性运算中常用结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：.（1）右边等号成立条件：；（2）左边等号成立条件：；（3）当且仅当不共线时，有 .a brr、|abrr|abrr|abrr3.点分有向线段所成的比 P12PPuuuu r设点分有向线段所成的比为，则有：P12PPuuuu r（1）定比分点公式（）坐标形式：.平面向量4（）向量形式：若为平面内的任一点，则.M121MPMPMPu u u u ru u u u ru u u r推论 中，若点分有向线段所成的比为，则.ABCDBC111ADABACuuu ruuu ruuu r证明：分有向线段所成的比为，.DBCu u u rBDDCu u u ru u u u r()ADABACADu u u ru u u ru u u ru u u r111ADABACu u u ru u u ru u u r（2）线段中点公式（）坐标形式：.（）向量形式：为有向线段的中点.P12PPuuuu r122MPMPMPu u u u ru u u u ru u u r（3）三角形的重心（）坐标形式：若三个顶点坐标为，则ABC11(,)A x y22(,)B xy33(,)C x y重心坐标为 .ABCG（）向量形式：设为平面内任一点，则P为重心.GABC10()3GAGBGCPGPAPBPCuuu ruuu ruuu rruuu ruu u ruuu ruuu r提示：当为重心时，设与边交于点，则.延长至，使得，则得平行四边形，GABCAGBCD2AGGDu u u ru u u rGDEGEGDBGCE，又，即.GBGCGEu u u ru u u ru u u rGEAGu u u ru u u rGBGCAGu u u ru u u ru u u r0GAGBGCu u u ru u u ru u u rr反之，当时，将上述过程反过来，即得点为重心.0GAGBGCu u u ru u u ru u u rrGABC举例 19 若的三边的中点分别为、，则的重心的坐标为 .结果：.ABC(2,1)A(3,4)B(1,1)C ABC2 4,3 3 题型示例 例 1 如图，是圆上的八个等分点，则在以128,A AALO128,A AAL及圆心九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量O有多少个？模等于半径的倍的向量有多少个？2结果：各有 16 个.例 2 在平行四边形中，分别是，的中点，为和的交点，若ABCD,E FBCDCGBFDE，试以表示，.ABauuu rrADbuuu rr,a brrDEu u u rBFu u u rCGuuu r结果：，.12DEabu u u rrr12BFbau u u rrr1()3CGab u u u rrr例 3 设是两个不共线的向量，已知，.若12,e er r122ABekeuuu rrr123CBeeuuu rrr122CDeeuuu rrr三点共线，求的值.,A B Dk结果：.8k 例 4 设是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足O,A B CP8A7A5A4AO2A6A3A1A平面向量5.求点的轨迹，并判断点的轨迹通过下述哪一个定点：,0,)|ABACOPOAABACu u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u rPP的外心；的内心；的重心；的垂心.ABCABCABCABC解：记，则，都是单位向量，则四边形是菱形.|ABAMABu u u ru u u u ru u u r|ACANACu u u ru u u ru u u rAMu u u u rANu u u r|AMANu u u u ru u u rAQAMANu u u ru u u u ru u u rAMQN平分，而由条件知，点的轨迹是射线，且通过AQBACOPOAAPu u u ru u u ru u u rOPOAAQu u u ru u u ru u u r(0,)APAQu u u ru u u rPAQAQ的内心.ABC 巩固训练 判断：（1）有向线段就是向量.（2）向量与向量长度相等.ABu u u rBAu u u r（3）00r（4）四边形是平行四边形，则，反之也成立.ABCDABCDuuu ruuu r（5），、不一定平行；，不一定等于.|abrrarbr/abrr|ar|br（6）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.（7）向量与是共线向量，则四点、必在同一直线上.ABu u u rCDuuu rABCD（8）单位向量都相等.（9）任意向量与它的相反向量不相等.（10）如果一个向量的方向不确定，则这个向量一定是零向量.（11）若，则.（12）若，则./abrrabrr|abrrabrr（13）若，.（14）若，则.|abrr/abrrabrr|abrr（15）.ABCDuuu ruuu r（16）向量的模是一个正实数.（17）若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等.（18）单位向量都平行.（19）有两个公共起点且共线的向量，其终点必相同.（20）模为 0 的向量的方向不确定.一、定理理解题1判断：平面向量6（1）若，则与共线结果：错，当时，与可以不共线barrbrar0brar（2）当两个非零向量，共线时，一定有，反之也成立brarbarr（3）若与共线，则存在唯一实数，使brarRbarr结果：错，与都是零向量时，值由无数个brar（4）零向量与任一向量共线（5）只有当两个向量在同一条直线上时，才叫做共线向量（6）共线向量的方向相同或相反结果：错，其中一个为零向量时，方向不确定2下列说法不正确的是（）A方向相同或相反的非零向量是平行向量B长度相等且方向相同的向量叫做相等向量C有公共起点的向量叫做共线向量D零向量与任意向量共线3平面向量，共线的充要条件是（）arbrA，方向相同 B，两向量中至少有一个为零向量arbrarbrC，D存在不全为零的实数，R barr12120 a brrr二、应用之一：证明三点共线【方法梳理】三点共线性质定理：1若平面上三点共线，则,A B CABBCuuu ruuu r2设，是有公共起点的平面向量，且，则共线OAuu u rOBuuu rOCuuu rOCOAOBuuu ruu u ruuu r,A B C1【巩固与应用】1平行四边形中，点是的中点，点在上，且，求证：ABCDMABNBD13BNBD三点共线,M N C 2设是两个不共线向量，若，,a br rOAauu u rr平面向量7，则当实数 为和值时，三点共线OBtbuuu rr1()3OCabuuu rrrt,A B C3已知向量，且，则一定共线的三点是,a br r2ABabuuu rrr56BCab uuu rrr72CDabuuu rrr（）A B C D,A B D,A B C,B C D,A C D三、应用之二：由向量的共线关系求待定系数（非坐标形式形式下）例 1设，是平面内不共线的两向量，已知，1eu r2eu u r122AeeBku ruuu ru r123BeeCu ruu u ru r，若三点共线，求实数的值结果：122eeCDuuruu ru r,A B Ck8k 1，是平面内不共线的两向量，已知，1eu r2eu u r12BekeAu ruuu ru r122eeCBuuruu ru r，若三点共线，则的值是123CDeeu ruuu ru u r,A B Ck1.已知的面积为 1,则的面积为AOB1255OPOAOBuuu ruuu ruuu rAPBA.B.C.D.1 52 53 54 52.已知点是的重心.过作直线与、两条边分别交于、，且，GABCGABACMNAMxABuuuu ruuu r，试求的值 ANyACuuu ruuu r11xy解 令，则，ABbuuu rrACcuuu rrAMxbuuuu rrANycuuu rr1()3AGbcuuu rrr，由与共线，知11()33MGAGAMx bcuuu u ruuu ruuuu rrr11()33GNANAGbyc uuu ruuu ruuu rrrMGuuu u rGNuuu r，从而1111()()()3333xy 113xy解二 、，即11 1111()()3333AGbcAMANAMANxyxyuuu rrruuuu ruuu ruuuu ruuu rMGN11133xy113xy2是的边的中点，则向量（）DABCABCD uuu rA B C D12BCBAuuu ruu u r12BCBAuuu ruu u r12BCBAuuu ruu u r12BCBAuuu ruu u r平面向量83已知点是所在平面内一点，为边中点，且，那么（）OABCDBC20OAOBOCuuu ruuu ruuu rrA B C DAOODuuu ruuu r2AOODuuu ruuu r3AOODuuu ruuu r2AOODuuu ruuu r4已知中，点在边上，且，则的值是 ABCDBC2CDDBuuu ruuu rCDrABsACuuu ruuu ruuu rrs5正方形中，是的中点，且，则 （结果用ABCDEDCABauuu rrADbuuu rrBE uuu r表示）,a br r6在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与ABCDACBDOEODAE交于点，若，则（）CDFACauuu rrBDbuuu rrAF uuu rA B C D1142abrr2133abrr1124abrr1233abrr题型五：向量法证明平面几何知识（）【方法梳理】向量具有代数形式和几何形式，是数与形的结合，结合向量相等，向量共线的意义，可以用向量知识一些平面几何知识 【巩固与应用】例 11中，点是边中点，点在编上，且，与相交于ABCMBCNAC2ANNCAMBN点，求的值P:AP PM2已知点是所在平面内一点，且满足，求证：点是GABC0GAGBGCuu u ruuu ruuu rrG的重心ABC向量的基本题型2某些平面图形的判定等腰三角形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，三角形的重心、垂心、外心、内心的判定3平面几何中平行于垂直关系的证明（坐标与非坐标形式）4向量模的不等关系及应用5中点坐标、定比分点坐标公式的向量形式（坐标与非坐标形式）6待定系数法求参数、坐标8求模（坐标与非坐标形式）9求夹角（坐标与非坐标形式）平面向量910求两个表达式的数量积向量的概念与线性运算 考点要求 1.了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义.2.掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理；了解向量的线性运算性质及其几何意义.3.会用向量的几何表示及其代数运算、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题.知识与方法梳理 一、基础知识A.向量的基本概念1.向量的概念：既有 又有 的量，注意向量和数量的区别.向量常用 来表示.举例 1 （1）已知，则把向量按向量平移后得到的向量是_.(1,2)A(4,2)BABu u u r(1,3)a r（2）向量就是有向线段，这种说法对吗？为什么？答案：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.举例 1 （1）已知，则把向量按向量平移后得到的向量是_.结果：(1,2)A(4,2)BABu u u r(1,3)a r(3,0)（2）向量就是有向线段，这种说法对吗？为什么？提示：不对，向量可以平移.2.向量的长度（模）：向量的 叫做向量的模.答案：向量的大小，叫做向量的长度（模）.3.零向量：长度为 的向量叫零向量，记作：.规定：零向量的方向 .答案：长度为 0 的向量叫零向量，记作：.0r规定：零向量的方向是任意的；4.单位向量：长度为 的向量叫做单位向量.注：与共线的单位向量有 .ABu u u r答案：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量；注：与共线的单位向量有.ABu u u r|ABABu u u ru u u r5.相等向量：且 的两个向量叫相等向量，向量的相等关系是否可传递？注：（1）所有零向量 .（2）两不相等的向量，是否能比较大小？向量的模是否可以比较大小？答案：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，向量的相等关系有传递性；注：（1）所有零向量都相等.（2）两向量不相等时，不能比较大小，但向量的模可以比较大小.6.平行向量（也叫共线向量）：的非零向量、叫做平行向量，记作：.arbrarbr注：（1）平行向量也叫自由向量：一组平行向量，只要不改变 都可以移到 用有向线段表示向量时，有向线段的起点是否可以任意选取？（2）向量的“平行”与直线（线段）的“平行”的区别：向量平行时 而直线平行关系是指 .（3）规定：零向量与 平行.（4）“相等向量”与“共线向量”具有什么关系？（5）向量的平行关系是否可递？为什么？；（6）“三点共线”与“向量共线”具有什么关系？ABC、AB ACu u u r u u u r答案：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：.arbr/abrr注：（1）平行向量也叫自由向量：一组平行向量，只要不改变大小和方向都可以移到同一条直线上用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点.（2）向量的“平行”与直线（线段）的“平行”的区别：向量平行时可在同一直线上而直线平行关系是指共面且不相交.（3）规定：零向量与任意向量平行.（4）相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；（5）平行向量无传递性！（因为有)；0r（6）三点共线共线.ABC、AB ACu u u r u u u r、7.相反向量：长度 且方向 的向量叫做相反向量.的相反向量记作 .ar注：是否存在这样的向量，它的相反向量也是它本身？平面向量10答案：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量记作.arar注：相反向量也是它本身的向量是存在的，为零向量.举例 2 给出如下列命题：（1）若，则.（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.|abrrabrr（3）若，则是平行四边形.（4）若是平行四边形，则.（5）若，则.ABDCu u u ru u u u rABCDABCDABDCu u u ru u u u rabrrbcrracrr（6）若，则.其中正确的是 ./abrr/bcrr/acrr结果：（4）（5）B.向量的表示方法1.几何表示：用 表示向量，如，注意，书写时起点和终点哪一个在前面？ABu u u r2.符号表示：用 表示，如，等；arbrcr3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量为基xy,ijr r底，则平面内的任一向量可表示为 =，则称 为向量的坐标，ara rar叫做向量的 .(,)ax yrar思考：当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量的终点坐标是否相同？为什么？答案：1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；ABu u u r2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如等；,a b crrr3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量为基底，则平面内的任一向量可表示为xy,ijr rar，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示.(,)axiyjx yrrr(,)x yar(,)ax yrar结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.C.实数与向量的积实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：arar（1）模：.（2）方向：.思考：有道理吗？0ar答案：（1）模：；（2）方向：当时，的方向与的方向相同，当时，的方向与的方向相反，当|aarr0arar0arar时，.00arr思考：对吗？为向量，而 0 为实数，两者不能混淆.0ararD.向量共线定理向量与向量平行(共线)的充要条件：存在唯一实数，使.br(0)a a rr rbarr注：向量共线的其它条件：.221212/()(|)0abbaa ba bx yy xrrrrrrrr推论 若为边上的中线，则.ADABCBC1()2ADABACuuu ruuu ruuu rE、向量的线性运算1.向量的线性运算共包括：（1）向量的加法运算；（2）向量的减法运算；（3）向量的数乘运算.2.向量线性运算的几种形式：（）代数形式设、为非零向量：在平面内任取一点，作，则向量 叫做与的arbrAABauuu rrBCbuuu rrarbr和，记作，即 .abrr对于零向量与任一向量，规定 =.ar0a rr求两个向量 的运算，叫做向量的加法.（2）向量的减法差向量的定义：.向量的减法定义：.答案：（1）向量的加法向量叫做与的和，记作，即.ACu u u rarbrabrrabABBCACu u u ru u u ru u u rrr00aaarrrrr求两个向量和的运算，叫做向量的加法.（2）向量的减法.求两个向量差的运算叫做减法运算.()abab rrrr（3）向量的数乘平面向量11规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向arar规定见前面内容.（）几何形式（1）向量加法运算法则：；.运算形式：若，则向量叫做与的和，即；ABauuu rrBCbuuu rrACuuu rarbrabABBCACuuu ruuu ruuu rrr作图：已知向量，用平行四边形法则、三角形法则求作.arbrabrr 、.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.（2）向量的减法运算法则：.运算形式：若，则，即由减向量的终点指向被减向量的ABauuu rrACbuuu rrabABACCAuuu ruuu ruu u rrr终点.作图：已知向量，用三角形法则求作.arbrabrr .注：减向量与被减向量的起点相同.举例 7 （1）化简：；.结果：；ABBCCDu u u ru u u ru u u rABADDCu u u ru u u ru u u u r()()ABCDACBDu u u ru u u ru u u ru u u rADu u u r；CBu u u r0r（2）若正方形的边长为 1，则 .结果：；ABCDABau u u rrBCbu u u rrACcu u u rr|abcrrr2 2（3）若是所在平面内一点，且满足，则的形状为.结果：直角三角形；OABC2OBOCOBOCOAu u u ru u u ru u u ru u u ru u u rABC（4）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为 .DABCBCABCP0PABPCPu u u ru u u ru u u rr|APPDu u u ru u u r结果：2；（5）若点是的外心，且，则的内角为 .结果：.OABC0OAOBCOu u u ru u u ru u u rrABCC120o（3）向量的数乘遵循加减法法则.（）坐标形式设，则有11(,)ax yr22(,)bxyr（1）向量加减法 ，.abrrabrr推论：若，则 .11(,)A x y22(,)B xyAB uuu r举例 8 （1）已知点，若，则当_时，点在第一、三象限的角平分线上.(2,3)A(5,4)B(7,10)C()APABACRu u u ru u u ru u u rP结果：；12（2）已知，且，则 .结果：或；(2,3)A(1,4)B1(sin,cos)2ABxyu u u r,(,)2 2x y xy62（3）已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是 .结果：.(1,1)A1(3,4)F u u r2(2,5)F u u r3(3,1)F u u r123FFFFu u ru u ru u ru u r(9,1)（2）数乘运算.1111(,)(,)ax yxyr举例 9 设，且，则的坐标分别是_.结果：.(2,3)A(1,5)B 13ACABu u u ru u u r3ADABu u u ru u u r,C D11(1,),(7,9)33.向量的运算律平面向量12（1）交换律：，；abbarrrr()()aa rra bb arrrr（2）结合律：，；()abcabcrrrrrr()abcabcrrrrrr()()()a ba babrrrrrr（3）分配律：，.()aaarrr()ababrrrr()abca cb crrrrr rr举例 13 给出下列命题：；()abca ba crrrrrr r()()ab ca bcrrrrrr222()|2|abaa bbrrrrrr 若，则或；若则；.0a brr0a rr0b rra bc brrrracrr22|aarr2a bbaarrrrr222()a babrrrr222()2abaa bbrrrrrr其中正确的是 .结果：.说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？()()ab ca bcrrrrrrF、向量的线性运算中常用结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：.（1）右边等号成立条件：；（2）左边等号成立条件：；（3）当且仅当不共线时，有 .a brr、|abrr|abrr|abrr答案：.|abababrrrrrr（1）右边等号成立条件：同向或中有；、a brr、a brr0r|ababrrrr（2）左边等号成立条件：反向或中有；、a brr、a brr0r|ababrrrr（3）当不共线.、a brr|abababrrrrrr3.点分有向线段所成的比 P12PPuuuu r设点分有向线段所成的比为，则有：P12PPuuuu r（1）定比分点公式（）坐标形式：.（）向量形式：若为平面内的任一点，则.M121MPMPMPu u u u ru u u u ru u u r推论 中，若点分有向线段所成的比为，则.ABCDBC111ADABACuuu ruuu ruuu r证明：分有向线段所成的比为，.DBCu u u rBDDCu u u ru u u u r()ADABACADu u u ru u u ru u u ru u u r111ADABACu u u ru u u ru u u r（2）线段中点公式（）坐标形式：.（）向量形式：为有向线段的中点.P12PPuuuu r122MPMPMPu u u u ru u u u ru u u r（3）三角形的重心（）坐标形式：若三个顶点坐标为，则ABC11(,)A x y22(,)B xy33(,)C x y重心坐标为 .ABCG（）向量形式：设为平面内任一点，则P为重心.GABC10()3GAGBGCPGPAPBPCuuu ruuu ruuu rruuu ruu u ruuu ruuu r提示：当为重心时，设与边交于点，则.延长至，使得，则得平行四边形，GABCAGBCD2AGGDu u u ru u u rGDEGEGDBGCE平面向量13，又，即.GBGCGEu u u ru u u ru u u rGEAGu u u ru u u rGBGCAGu u u ru u u ru u u r0GAGBGCu u u ru u u ru u u rr反之，当时，将上述过程反过来，即得点为重心.0GAGBGCu u u ru u u ru u u rrGABC举例 19 若的三边的中点分别为、，则的重心的坐标为 .结果：.ABC(2,1)A(3,4)B(1,1)C ABC2 4,3 34.有关三点共线的结论向量中三终点共线存在实数，使得且.,PA PB PCuu u r uuu r uuu r,A B C,PAPBPCuu u ruuu ruuu r1充分性：若终点共线，则，令，所以有,A B C/()(1)CACBCACBPAPCPBPCPAPBPCu u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u r1，并且.PAPBPCu u u ru u u ru u u r1必要性：若，并且，则，所以终点PAPBPCu u u ru u u ru u u r1(1)/PAPBPCPAPCPBPCCACBCACBu u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u r共线.,A B C举例 20 平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足,其中且,O(3,1)A(1,3)B C12OCOAOBu u u ru u u ru u u r12,R121则点的轨迹是 .结果：直线.CAB二、思想方法待定系数法求向量表达式示例 （1）已知，求证：三点共线的充要条件是.PAPBPCuu u ruu u ruuu r,A B C1（2）如图，若，则.OMOAuuuu ruuu rONOBuuu ruuu r(1)(1)11OPOAOBuuu ruuu ruuu r（1）证明：充分性：若终点共线，则，令，所以有,A B C/()(1)CACBCACBPAPCPBPCPAPBPCu u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u r1，并且.PAPBPCu u u ru u u ru u u r1必要性：若，并且，则，所以终点PAPBPCu u u ru u u ru u u r1(1)/PAPBPCPAPCPBPCCACBCACBu u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u r共线.,A B C（2）解：设，由，得，代入，得.OPmOAnOBu u u ru u u ru u u rONOBu u u ru u u r1OBONu u u ru u u rOPmOAnOBu u u ru u u ru u u rnOPmOAONu u u ru u u ru u u r三点共线，根据（1）得.同理.联立、，解得,P A M1nm1mn(1),1(1).1mn.(1)(1)11OPOAOBu u u ru u u ru u u r推论 若为重心，则.GABC1()3AGABACuuu ruuu ruuu r 题型示例 例 1 如图，是圆上的八个等分点，则在以128,A AALO128,A AAL及圆心九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量O有多少个？模等于半径的倍的向量有多少个？2结果：各有 16 个.例 2 在平行四边形中，分别是，的中点，为和的交点，若ABCD,E FBCDCGBFDE，试以表示，ABauuu rrADbuuu rr,a brrDEu u u rBFu u u r.CGuuu r8A7A5A4AO2A6A3A1ABNMPAO平面向量14结果：，.12DEabu u u rrr12BFbau u u rrr1()3CGab u u u rrr例 3 设是两个不共线的向量，已知，.若12,e er r122ABekeuuu rrr123CBeeuuu rrr122CDeeuuu rrr三点共线，求的值.,A B Dk结果：.8k 例 4 设是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足O,A B CP.求点的轨迹，并判断点的轨迹通过下述哪一个定点：,0,)|ABACOPOAABACu u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u rPP的外心；的内心；的重心；的垂心.ABCABCABCABC解：记，则，都是单位向量，则四边形是菱形.|ABAMABu u u