常微分方程练习试卷及答案.doc
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常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程是 阶 (线性、非线性)微分方程. 2. 方程经变换,可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程满足条件的解有 个. 4. 设常系数方程的一个特解,则此方程的系数 , , . 5. 朗斯基行列式是函数组在上线性相关的 条件. 6. 方程的只与有关的积分因子为 . 7. 已知的基解矩阵为的,则 . 8. 方程组的基解矩阵为 . 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2.求解方程. 3. 求解方程 。 4.用比较系数法解方程. . 5.求方程 的通解. 6.验证微分方程是恰当方程,并求出它的通解. 7.设 , ,试求方程组的一个基解基解矩阵,求满足初始条件的解. 8. 求方程 通过点 的第二次近似解. 9.求 的通解 10.若 试求方程组的解 并求expAt 三、证明题 1. 若是的基解矩阵,求证:存在一个非奇异的常数矩阵,使得. 2. 设是积分方程 的皮卡逐步逼近函数序列在上一致收敛所得的解,而是这积分方程在上的连续解,试用逐步逼近法证明:在上. 3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明: (i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii) 和 没有共同的零点; (iii) 和 没有共同的零点. 4.试证:如果是满足初始条件的解,那么 . 答案 一.填空题。 1. 二,非线性 2., 3.无穷多 4. 5.必要 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 1, 二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 解: 设曲线方程为 , 切点为(x,y), 切点到点(1,0)的连线的斜率为 , 则由题意 可得如下初值问题: . 分离变量, 积分并整理后可得 . 代入初始条件可得 , 因此得所求曲线为 . 2.求解方程. 解:由 求得 令 则有 令,解得,积分得, 故原方程的解为 . 3. 求解方程 解 令,直接计算可得,于是原方程化为 ,故有或,积分后得,即,所以 就是原方程的通解,这里为任意常数。 4.用比较系数法解方程. . 解:特征方程为 , 特征根为 . 对应齐方程的通解为 . 设原方程的特解有形如 代如原方程可得 利用对应系数相等可得 , 故 . 原方程的通解可以表示为( 是任意常数) . 5.求方程 的通解. 解:先解得通解为, 令为原方程的解, 代入得, 即有, 积分得 , 所以 为原方程的通解. 6.验证微分方程是恰当方程,并求出它的通解. 解:由于,因为所以原方程为恰当方程. 把原方程分项组合得, 或写成, 故原方程的通解为. 7.设 , ,试求方程组的一个基解基解矩阵,求满足初始条件的解. 解:特征方程为 求得特征值,对应的特征向量分别为 可得一个基解矩阵 ,又因为 , 于是,所求的解为 8. 求方程 通过点 的第二次近似解. 解: 令,于是 9.求 的通解 解:方程可化为 , 令则有(*), (*)两边对y求导得, 即,由得,即. 将y代入(*)得, 即方程的 含参数形式的通解为:,p为参数; 又由得代入(*)得 也是方程的解 . 10.若 试求方程组的解 并求expAt 解:特征方程,解得,此时 k=1,。 , 由公式expAt= 得 三、证明题 1. 若是的基解矩阵,求证:存在一个非奇异的常数矩阵,使得. 证:是基解矩阵,故存在,令 , 则可微且,易知. 所以 而,所以, (常数矩阵),故 . 2. 设是积分方程 的皮卡逐步逼近函数序列在上一致收敛所得的解,而是这积分方程在上的连续解,试用逐步逼近法证明:在上. 证明:由题设,有 ,. 下面只就区间上讨论,对于的讨论完全一样。 因为 其中, 所以 其中, 设对正整数有,则有 , 故由归纳法,对一切正整数,有 . 而上不等式的右边是收敛的正项级数的通项,故当时,它, 因而函数序列在上一致收敛于.根据极限的唯一性, 即得 , . 3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明: (i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii) 和 没有共同的零点; (iii) 和 没有共同的零点. 证明: 和 的伏朗斯基行列式为 因 和 是基本解组, 故. 若存在 , 使得 , 则由行列式性质可得 , 矛盾. 即 最多只能有简单零点. 同理对 有同样的性质, 故(i)得证. 若存在 , 使得 , 则由行列式性质可得 , 矛盾. 即 与 无共同零点. 故(ii)得证. 若存在 , 使得 , 则同样由行列式性质可得 , 矛盾. 即 与 无共同零点. 故(iii)得证. 4.试证:如果是满足初始条件的解,那么 .证明:因为是的基本解矩阵,是其解,所以存在常向量使得:, 令,则:, 所以 , 故- 配套讲稿:
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