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常微分方程
一、填空题
1．微分方程的阶数是____________
答：1
2．若和在矩形区域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程有只与有关的积分因子的充要条件是 _________________________
答：
3．_________________________________________ 称为齐次方程.
答：形如的方程
4．如果 ___________________________________________ ,则存在唯一的解,定义于区间 上,连续且满足初始条件 ,其中
_______________________ .
答：在上连续且关于满足利普希兹条件
5．对于任意的 , (为某一矩形区域),若存在常数使 ______________________ ,则称在上关于满足利普希兹条件.
答：
6．方程定义在矩形区域:上 ,则经过点 的解的存在区间是 ___________________
答：
7．若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足一阶线性方程 ___________________________________
答：
8．若为齐次线性方程的一个基本解组，为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________
答：
9．若为毕卡逼近序列的极限，则有　__________________
答：
10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解　，则经过变换　___________________　，可化为伯努利方程．
答：形如的方程
11．一个不可延展解的存在区间一定是 区间．
答：开
12．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是　　 　　．
答：，（或不含x 轴的上半平面）
13．方程的所有常数解是　　 　　．
答：
14．函数组在区间I上线性无关的 条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零．
答：充分
15．二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件是 ．
答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）
16．方程的基本解组是 ．
答：
17．若在上连续，则方程的任一非零解 与轴相交．
答：不能
18．在方程中，如果，在上连续，那么它的任一非零解在平面上 与轴相切．
答：不能
19．若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点．
答：没有
20．方程的常数解是 ．
答：
21．向量函数组在其定义区间上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式，．
答：必要
22．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是　　 　　．
答： 平面
23．方程所有常数解是　　 　　．
答：
24．方程的基本解组是 ．
答：
25．一阶微分方程的通解的图像是　　 　　维空间上的一族曲线．
答：2

二、单项选择题
1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．
（A） （B）-1 （C）+1 （D）+2
2．如果，都在平面上连续，那么方程的任一解的存在区间（ D ）．
（A）必为 （B）必为
（C）必为 （D）将因解而定
3．方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ D ）．
（A）上半平面 （B）xoy平面
（C）下半平面 （D）除y轴外的全平面
4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）．
（A）不是其对应齐次微分方程组的解 （B）是非齐次微分方程组的解
（C）是其对应齐次微分方程组的解 （D）是非齐次微分方程组的通解
5. 方程过点共有（ B ）个解．
　　（A）一 （B）无数 （C）两 （D）三
6. 方程（ B ）奇解．
（A）有三个 （B）无 （C）有一个 （D） 有两个
7．阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A ）线性空间．
（A）维 （B）维 （C）维 （D）维
8．方程过点（ A ）．
（A）有无数个解 （B）只有三个解 （C）只有解 （D）只有两个解
9. 连续是保证对满足李普希兹条件的（ B ）条件．
（A）充分 （B）充分必要 （C）必要 （D）必要非充分
10．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ）．
（A）构成一个2维线性空间 （B）构成一个3维线性空间
（C）不能构成一个线性空间 （D）构成一个无限维线性空间
11．方程的奇解是（ D ）．
（A） （B） （C） （D）
12．若，是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ C ）．
（A） （B）
（C） （D）
13．连续是方程初值解唯一的（ D ）条件．
（A）必要 （B）必要非充分 （C）充分必要 （D）充分
14. 方程（ C ）奇解．
（A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个
15．方程过点(0, 0)有（ A 　）．
　　(A) 无数个解　　(B) 只有一个解 (C) 只有两个解　(D) 只有三个解

三、求下列方程的通解或通积分
1．
解：　，则　　所以　
另外　　也是方程的解　
2．求方程经过的第三次近似解
解：

3．讨论方程　，的解的存在区间　
解：
两边积分　　
所以　方程的通解为　
故　过的解为　
通过点　的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到　２，
所以解的存在区间为　
4． 求方程的奇解
解: 利用判别曲线得
消去得 即
所以方程的通解为 , 所以 是方程的奇解
5．
解: =, = , = , 所以方程是恰当方程.
得
所以
故原方程的解为
6．
解: 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为
,令 , 则方程可化为 ,
即 , 故
7．
解: 两边同除以得

所以 , 另外 也是方程的解
8．
解 当时，分离变量得

等式两端积分得

即通解为

9.
解 齐次方程的通解为

令非齐次方程的特解为

代入原方程，确定出
原方程的通解为
+
10.
解 方程两端同乘以，得

令 ，则，代入上式，得

通解为

原方程通解为

11．
解 因为，所以原方程是全微分方程．
取，原方程的通积分为

即
12．
解：当，时，分离变量取不定积分，得
通积分为

13．
解 原方程可化为

于是
积分得通积分为

14．
解：令，则，代入原方程，得

分离变量，取不定积分，得
（）
通积分为：
15．
解 令，则，代入原方程，得
，
当时，分离变量，再积分，得

即通积分为：
16．
解：齐次方程的通解为

令非齐次方程的特解为

代入原方程，确定出
原方程的通解为
+
17.
解 积分因子为

原方程的通积分为

即
18．
解：原方程为恰当导数方程，可改写为

即

分离变量得

积分得通积分

19．
解 令，则原方程的参数形式为

由基本关系式 ，有

积分得
得原方程参数形式通解为

20．
解 原方程可化为

于是
积分得通积分为

21．
解：由于，所以原方程是全微分方程．
取，原方程的通积分为

即
四、计算题
1．求方程的通解．
解 对应的齐次方程的特征方程为：

特征根为：
故齐次方程的通解为：
因为是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为

代入原方程，有 ， 可解出 ．
故原方程的通解为
2．求下列方程组的通解
．
解 方程组的特征方程为

即
特征根为 ，
对应的解为

其中是对应的特征向量的分量，满足

可解得．
同样可算出对应的特征向量分量为 ．
所以，原方程组的通解为

3．求方程的通解．
解：方程的特征根为，
齐次方程的通解为
因为不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为

代入原方程，比较系数得

确定出 ，
原方程的通解为
4．求方程的通解．
解 对应齐次方程的特征方程为，
特征根为，，
齐次方程的通解为
因为是特征根。所以，设非齐次方程的特解为

代入原方程，比较系数确定出
，，
原方程的通解为

五、证明题
1．在方程中，已知，在上连续，且．求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为．
证明:由已知条件，该方程在整个 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件．
显然 是方程的两个常数解．
任取初值，其中,．记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为．

2．设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数．
证明:如果和是二阶线性齐次方程

的解，那么由刘维尔公式有

现在，故有

3．在方程中，已知，在上连续．求证：该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切．
证明:由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是．
显然，该方程有零解．
假设该方程的任一非零解在x轴上某点处与x轴相切，即有= 0，那么由解的惟一性及该方程有零解可知，这是因为零解也满足初值条件= 0，于是由解的惟一性，有 ．这与是非零解矛盾．

4．在方程中，在上连续，求证：若恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式是上的严格单调函数．
证明: 设，是方程的基本解组，则对任意，它们朗斯基行列式在上有定义，且．又由刘维尔公式
，

由于，，于是对一切，有
或
故 是上的严格单调函数．

5．试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解
证明: 设黎卡提方程的一个特解为
令 , 又

由假设 得
此方程是一个的伯努利方程,可用初等积分法求解

6．试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程 , 当
, 在上连续时,其解存在唯一
证明: 令 : ,
, 在上连续, 则
显然在上连续 ,
因为 为上的连续函数 ,
故在上也连续且存在最大植 , 记为
即 ,
, =
因此 一阶线性方程当 , 在上连续时,其解存在唯一

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