初二分式方程的应用专题及分式方程复习讲义教师版.doc

教 学 内 容
T同步：分式方程应用题分类讲解
一、【行程中的应用性问题】
【例1】 甲、乙两个车站相距96千米，快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？
分析：

所行距离
速度
时间
快车
96千米
x千米/小时

慢车
96千米
（x-12）千米/小时

等量关系：慢车用时-快车用时= （小时）
【例2 】 甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．
解：设普通快车车的平均速度为km／h，则直达快车的平均速度为1.5km／h，依题意，得
=，解得，
经检验，

【例3 】 A、B两地相距87千米，甲骑自行车从A地出发向B地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A地驶来，两人在距离B地45千米C处相遇，求甲乙的速度。

分析：

所行距离
速度
时间
甲
（87-45）千米
x千米/小时

乙
45千米
（x+4）千米/小时

等量关系：甲用时间=乙用时间+ （小时）
【例4】 一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？
　 解： 设步行速度为x千米／时，骑车速度为2x千米／时，依题意，得：　　　

【例5】 农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度．
　 解： 设自行车的速度为x千米/小时，那么汽车的速度为3x千米/小时，
依题意，得：

【例6】 甲乙两人同时从一个地点相背而行，1小时后分别到达各自的终点A与B；若从原地出发，但是互换彼此的目的地，则甲将在乙到达A之后35分钟到达B，求甲与乙的速度之比。

分析：

等量关系：甲走OB的时间-乙走OA的时间=35分钟
解：设OA=X,OB=Y,则甲的速度为X,乙的速度为Y,依提议得

二、【工程类应用性问题】
【例1】 甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1天就完成了全部工程。已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的 倍，问甲乙单独做各需多少天？
分析：

单独做所需时间
一天的工作量
实际做时间
工作量
甲
x天

2天

1

乙

（2+1）天

等量关系：甲队单独做的工作量+乙队单独做的工作量=1

【例2 】 甲、乙两个学生分别向计算机输入1500个汉字，乙的速度是甲的3倍，因此比甲少用20分钟完成任务，他们平均每分钟输入汉字多少个？
分析：

输入汉字数
每分钟输入个数
所需时间
甲
1500个
x个/分

乙
1500个
3x个/分

等量关系：甲用时间=乙用时间+20（分钟）

【例3】 某农场原计划在若干天内收割小麦960公顷，但实际每天多收割40公顷，结果提前4天完成任务，试求原计划一天的工作量及原计划的天数。

分析1：

工作总量
一天的工作量
所需天数
原计划情况
960公顷
x公顷

实际情况
960公顷
（x+40）公顷

等量关系：原计划天数=实际天数+4（天）

分析2：

工作总量
所需天数
一天的工作量
原计划情况
960公顷

实际情况
960公顷

等量关系：原计划每天工作量=实际每天工作量-40（公顷）

【例4】 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元．
⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．
解：⑴设甲队单独做需天完成，乙队单独做需天完成，丙队单独做需天完成，依题意可得：

经检验，x = 10，y = 15，z = 30是原方程组的解．
⑵设甲队做一天厂家需付元，乙队做一天厂家需付元，丙队做一天厂家需付元，根据题意，得

由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．
此工程由甲队单独完成需花钱元；此工程由乙队单独完成需花钱元．
所以，由甲队单独完成此工程花钱最少．
【例5】 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成．现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？　
　　解： 工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x天，
　　　　　那么乙单独完成工程所需的天数就是(x＋3)天.
　　　　　设工程总量为1，甲的工作效率就是，乙的工作效率是，依题意，得
　　　　　，解得　．
　　　　　即规定日期是6天．
【例6 】 今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？
　 解： 设教师乙每分钟能输入x名学生的成绩，则教师甲每分钟能输入2x名学生的成绩，
　　　　　依题意，得：
　　　　　　， 解得 x＝11
【 例7 】 甲乙两人做某种机器零件。已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等。求甲、乙每小时各做多少个？
分析：甲每小时做x个零件，做90个零件所用的时间 小时。乙每小时做(x-6)个零件，做60个零件所用的时间是 小时。
等量关系：甲所用时间=乙所用时间

三、【营销类应用性问题】
【例1】 某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少3元，比乙种原料每千克多1元，问混合后的单价每千克是多少元？

总价值
价格
数量
甲
2000元

乙
4800元

混合

X元

解：设混合后的单价为每千克 元，则甲种原料的单价为每千克元，混合后的总价值为(2000＋4800)元，混合后的重量为斤，甲种原料的重量为，乙种原料的重量为，依题意，得：
＋=，解得，
经检验，是原方程的根，所以．

【例2】 A、B两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同．其中，采购员A每次购买1000千克，采购员B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？
　　解： 两次购买的饲料单价分别为每1千克m元和n元(m>0,n>0,m≠n)，依题意，得：
　　　　 采购员A两次购买饲料的平均单价为(元／千克)，　
　　　　采购员B两次购买饲料的平均单价为(元／千克)．
　　　　而＞0．
【例3】 某商场销售某种商品，一月份销售了若干件，共获得利润30000元;二月份把这种商品的单价降低了 0.4元，但是销售量比一月份增加了5000件，从而获得利润比一月份多2000元，调价前每件商品的利润为多少元？
解：设调价前每件商品的利润为x元，二月份商品单价为（x-0.4）元，二月份获得利润32000元，一月份销售量为件，二月份销售量为件，依题意得：

路程
速度
时间
顺流
48千米
(x+4)千米/小时

逆流
48千米
(x-4)千米/小时

四、【轮船顺逆水应用问题】
【例1】 轮船顺流、逆流各走48千米，共需5小时，如果水流速度是4千米/小时，求轮船在静水中的速度。

等量关系：顺流用时+逆流用时=5（小时）

【例2】 轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度。
解： 设船在静水中速度为千米／时，则顺水航行速度为千米／时，逆水航行速度为千米／时，依题意，得
=，解得．
五、【其他应用性问题】
【例1】 要在15%的盐水40千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为20%．
分析：设加入盐千克．浓度问题的基本关系是：=浓度．

溶液
溶质
浓度
加盐前
40
40×15%
15%
加盐后
40＋
40×15%＋
20%
解：设应加入盐千克，依题意，得=．解得．
经检验，是所列方程的根，即加入盐2.5千克．
【例2】甲容器中有15%的盐水30升，乙容器中有18%的盐水20升，如果向两个容器各加入等量的水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多少升？
解：设加入的水位x升，依题意得：

《分式方程》-复习专题训练

一、选择题
1．方程＝的解为(　　)
A．x＝　　　　　　　　　B．x＝－ C．x＝－2　　 D．无解
2．以下是方程－＝1去分母后的结果，其中正确的是(　　)
A．2－1－x＝1 B．2－1＋x＝1
C．2－1＋x＝2x D．2－1－x＝2x
3．已知方程＝3－有增根，则a的值为(　　)
A．5　　　　 B．－5 C．6　　　　 D．4
4．解方程＝的结果是(　　)
A．x＝－2 B．x＝2 C．x＝4 D．无解
5．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用的时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是(　　)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
6．某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套．在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为(　　)
A.＋＝18 B.＋＝18
C.＋＝18 D.＋＝18
7．(2011中考预测题)用换元法解方程x2－2x＋＝8，若设x2－2x＝y，则原方程化为关于y的整式方程是(　　)
A．y2＋8y－7＝0 B．y2－8y－7＝0
C．y2＋8y＋7＝0 D．y2－8y＋7＝0

8．解分式方程－＝时产生增根，则m的值是(　　)
A．－1或－2 B．－1或2 C．1或2 D．1或－2
9.分式方程＝的解为(　　)
A．x＝1　 　B．x＝－1　 　C．x＝3　 　D．x＝－3
10.若解分式方程＝－1时产生增根，则m的值是(　　)
A．0 B．1 C．－1 D．±1
11．方程＝的解是(　　)
A．x＝1　　B．x＝2　　C．x＝3　　D．x＝4
二、填空题
12．方程－＝0的解为________．
13．若分式与1互为相反数，则x的值是________．
14. ．当x＝________时，分式的值等于2.
15．某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m的污水排放管道．铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务，求原计划每天铺设管理的长度．如果设原计划每天铺设x m管道，那么根据题意，可得方程____________．
16．甲计划用若干天完成某项工作，在甲独立工作两天后，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前两天完成任务．设甲计划完成此项工作的天数是x天，则x的值是________．
17．已知x＋＝3，则代数式x2＋的值为__________．
18．在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛．当时洪水流速为10千米/时，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水以最大速度顺流航行2千米所用的时间，与以最大速度逆流航行1.2千米所用的时间相等，请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为__________．
19．关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是

三、解答题
20．解方程．
(1)＝； (2)＋1＝；

(3)＝； (4)－－2＝0.

(5)＋1＝； (6)－－1＝0.

21某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程．
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
(2)若甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作________天(用含a的代数式表示)可完成此项工程；
(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？

22去年入秋以来，云南省发生了百年一遇的旱灾，连续8个多月无有效降水．为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3 600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务，问原计划每天修水渠多少米？

23．去冬今春，我国西南地区遭遇历史上罕见的旱灾，解放军某部接到了限期打30口水井的作业任务，部队官兵到达灾区后，目睹灾情心急如焚，他们增派机械车辆，争分夺秒，每天比原计划多打3口井，结果提前5天完成任务，求原计划每天打多少口井？

附：参考答案
一．选择题
1. 【解析】＝，3(x＋1)＝x＋2,3x＋3＝x＋2，2x＝－1，x＝－，经检验x＝－是原方程的根．
【答案】B
2. 【解析】等号两边同乘以2x，去分母后为2－1＋x＝2x.
【答案】C
3【解析】原式去分母后得x＝3(x－5)－a，把增根x＝5代入得a＝－5.
【答案】B
4【解析】＝，8＝2(2＋x)，8＝4＋2x，x＝2　当x＝2时，4－x2＝0，∴x＝2是原方程的增根，∴原方程无解．
【答案】D
5. 【解析】由题意知小车的速度为(x＋20)千米/时，根据货车行驶25千米与小车行驶35千米所用的时间相同，得＝.
【答案】C
6. 【解析】采用新技术后的工作效率为(1＋20%)x，前160套所用时间为，后来的(400－160)套，所用时间为，可列方程为＋＝18.
【答案】B
7【解析】由题意可得，y＋＝8，则y2－8y＋7＝0.
【答案】D
8【解析】方程两边同乘以x(x＋1)得2x2－(m＋1)＝(x＋1)2.
∵方程有增根，∴x＝0或－1.
当x＝0时，2×02－(m＋1)＝(0＋1)2，∴m＝－2.
当x＝－1时，2×(－1)2－(m＋1)＝(－1＋1)2，∴m＝1，故m＝1或－2.
【答案】D
9【解析】题方程两边同时乘以(x－3)(x－1)，约去分母得x(x－1)＝(x－3)(x＋1)，解得x＝－3.
经检验：x＝－3是原方程的根．
∴分式方程的解为x＝－3.
【答案】D
10题使分母为零的未知数的值即为增根，增根一定是分式方程转化为整式方程后的这个整式方程的根．
∵＝－1有增根，∴x－1＝0，∴x＝1，∴mx＋1＝－x＋1.当x＝1时，解得m＝－1.
【答案】C
11. 【答案】C
二、填空题
12 【解析】－＝0,2(x－2)－(x＋1)＝0，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的根．
【答案】x＝5
13 【解析】＋1＝0,2＋(x－1)＝0，∴x＝－1，经检验x＝－1是原方程的根．
【答案】－1
14 【解析】＝2，x＋3＝2(x－1)，x＋3＝2x－2，x＝5，经检验x＝5是原方程的根．
【答案】5
15 【解析】题目中的等量关系为：原计划铺设120 m用的天数＋后来180 m新工效所用的天数＝30.
【答案】＋＝30
16 【解析】由题意得＋＝1，解得x＝6.
【答案】6
17【解析】x2＋＝(x＋)2－2＝32－2＝9－2＝7.
【答案】7
18 【解析】解：设该冲锋舟在静水中的最大航速为x千米/时，则＝，解得x＝40，经检验，x＝40是原方程的根，即该冲锋舟在静水中的最大航速为40千米/时．
【答案】40千米/时
19【答案】 a<－1.
三、解答题(共40分)
20. 解：(1)＝，方程两边同乘以x(x＋3)，得2(x＋3)＝3x，整理得2x＋6＝3x，x＝6，经检验x＝6是原方程的解，∴原方程的解是x＝6.
(2)＋1＝，方程两边同乘以(x－2)，得(x－3)＋(x－2)＝－3，去括号，得x－3＋x－2＝－3，合并同类项，得2x－5＝－3,2x＝2，∴x＝1，经检验x＝1是原方程的解，∴原方程的解为x＝1.
(3)＝，方程两边同乘以x(3x－2)得3x－2＝x2，即x2－3x＋2＝0，∴(x－2)(x－1)＝0，∴x1＝2，x2＝1，经检验x1＝2，x2＝1都是原方程的解，∴原方程的解为x1＝2，x2＝1.
(4)解法一：去分母，得(x－1)2－x(x－1)－2x2＝0，
化简，得2x2＋x－1＝0，解得x1＝－1，x2＝.
经检验x1＝－1，x2＝是原方程的解．
∴原方程的解为x1＝－1，x2＝.
解法二：令＝t，原方程可化为：t2－t－2＝0，
解得t1＝2，t2＝－1.
当t＝2时，＝2，解得x＝－1，
当t＝－1时，＝－1，解得x＝.
经检验，x＝－1，x＝是原方程的解．
∴原方程的解为x1＝－1，x2＝.
(5)方程两边同时乘以x(x＋1)，约去分母，得
x2＋x(x＋1)＝(2x＋1)(x＋1)．解得x＝－.
经检验，x＝－是原方程的根．
所以，原方程的解为x＝－.
(6)方程两边同时乘以x(x－1)，约去分母，得
x2－(2x－2)(x－1)－x(x－1)＝0
解得x＝或x＝2.
经检验，x＝或x＝2都是原方程的根．
所以原方程的解为x＝或x＝2.
21. 【解析】列分式方程解决实际问题，要特别注意解的合理性，需检验求出的未知数的值是否是原方程的根以及是否符合题意．
解(1)设乙单独做x天完成此项工程，则甲单独做(x＋30)天完成此项工程，由题意，得20(＋)＝1.
整理，得x2－10x－600＝0.
解得x1＝30，x2＝－20.
经检验，x1＝30，x2＝－20都是分式方程的解，但x2＝－20不符合题意，舍去．
当x＝30时，x＋30＝60.
答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天、30天．
(2)合作(20－)天
(3)由题意，得1×a＋(1＋2.5)(20－)≤64.
解得a≥36.
即甲工程队至少单独施工36天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元．
22解：设原计划每天修水渠x米，
根据题意得：－＝20，解得x＝80.
经检验，x＝80是原分式方程的解．
23解：设原计划每天打x口井，由题意可列方程－＝5，
去分母，得30(x＋3)－30x＝5x(x＋3)．
整理，得x2＋3x－18＝0.
解得x1＝3，x2＝－6(不合题意，舍去)．
经检验，x1＝3是方程的根．