充分条件和必要条件教案.doc

充分条件和必要条件
【教学目标】
知识与技能：通过这节课的教学，要求学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在论证中正确地运用.
过程与方法：充要条件是重要的数学概念．它主要讨论命题的条件和结论的关系．通过对充分条件、必要条件和充要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．
情感态度与价值观：通过问题情境的引入渗透爱国主义教育。通过主动探究、合作学习、相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
【教学重点】充分条件、必要条件和充要条件的概念．
【教学难点】充分条件、必要条件和充要条件三个概念在论证中的正确运用.
【教学方法】自主、合作、探究
【教学过程】
创设情境 激发求知
（多媒体展示）
情境一
当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”. 你想一想这个时候你的妈妈还会补充说你是她的孩子吗？
情境二
播放音乐《没有共产党就没有新中国》，让学生说出其歌名.
学生活动 探究新知
判断下列命题是真命题还是假命题
（1）若 ，则 ；（2）若 ，则 ；
（3）两个全等三角形的面积相等；（4）对角线互相垂直的四边形是菱形.
（上述三个问题的设计意图为：①复习巩固上节课知识；②顺其自然，引入本节课的内容。）
生：（1）、（3）是真命题，（2）、（4）是假命题．
（对于命题“若 则 ”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假呢？看 能不能推出 ，如果 能推出 ，则原命题是真命题，否则就是假命题． 对于命题“若 则 ”，如果由 经过推理能推出 ，也就是说，如果 成立，那么 一定成立．换句话说，只要有条件 就能充分地保证结论 的成立，这时我们称条件 是 成立的充分条件，记作 ．）
模型构建 数学理论
1.充分条件与必要条件定义（板书）
一般地，如果已知，那么就说，p 是q 的充分条件(sufficient condition)，q 是p 的必要条件(necessary condition)．
师：请用充分条件与必要来叙述上述（1）的条件与结论之间的关系．（学生口答）
生：“ ”是“ ”成立的充分不必要条件，“”是“”成立的必要不充分条件.
运用理论 解决问题
例1 ．指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：
(1) p：x=y；q：x2=y2.
（2）p：三角形ABC的三条边相等；q：三角形ABC的三个角相等．
解: (1) x=y是x2=y2的充分不必要条件， x2=y2是x=y的必要不充分条件.(2) p是q的充分条件且是必要条件，q是p的充分条件且是必要条件.
(设计意图:①对所学理论直接应用;②引入充要条件的概念.)
模型构建 数学理论
2．充要条件定义（板书）
一般地，如果 是 的充分条件， 又是 的必要条件，则称 是 的充分必要条件，简称充要条件( sufficient and necessary condition)记作.
师：请大家总结出判断充分、必要条件的一个算法.
模型构建 数学理论
3．用算法表示判断充分、必要条件的基本步骤(板书)
Step1:认清条件和结论；
Step2:考察和的真假；
Step3:下结论.
运用理论 解决问题
例2.用“必要不充分”，“充分不必要”，“充要”，“既不充分也不必要”填写下表

B
A是B的什么条件
B是 的什么条件
是有理数
是实数

、 是奇数
是偶数

是4的倍数
是6的倍数

　　（学生活动，教师引导学生作出下面回答．）
　①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以 是 的充分非必要条件， 是 的必要非充分条件；
　② 一定能推出 ，而 不一定推出 ，所以 是 的充分非必要条件， 是 的必要非充分条件；
　③ 、 是奇数，那么 一定是偶数； 是偶数， 、 不一定都是奇数（可能都为偶数），所以 是 的充分非必要条件， 是 的必要非充分条件；
　④ 表示 或 ，所以 是 成立的必要非充分条件；
　⑤由交集的定义可知 且 是 成立的充要条件；
　　⑥由 知 且 ，所以 是的充分非必要条件；
　　⑦由 知 或 ，所以 是 ， 成立的必要非充分条件；
⑧易知“ 是4的倍数”是“ 是6的倍数”的既非充分又非必要条件；
(设计意图：通过对上述几个简单问题的交流、思辩，在争论中得到了正确答案，并加深了对充分条件、必要条件的认识．)
　　例3.请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空：
(1) “|x-2|<3”是“0<x<5”的 ＿＿＿＿＿＿条件；
(2)“x2≤0”是“x≥0”的 条件;
（3）“m是4的倍数”是“m是6倍数” 的 条件.
分析：(1)应首先对|x-2|<3进行化简,然后再进行判断,还可以从集合的角度加以理解;(必要不充分条件)
(2)可以直接判断,更好的方法是考察它的逆否命题;(充分不必要条件)
(3)很容易直接判断.(既不充分也不必要条件)
(设计意图：①对所学理论进一步应用;②通过解决本题让学生总结出判断充分、必要条件的一般方法和策略.)
模型构建 数学理论
4. 判别充分、必要条件方法和策略(板书)
（1）先简化命题;
（2）集合法;
（3）可将命题转化为等价的逆否命题后再判断;
(4) 否定一个命题只要举出一个反例即可.
运用理论 巩固练习
基础训练（感受、理解）
课本（苏教版选修1-1）第8页练习l、2.
（基础训练是所学知识的直接、简单应用，意在使学生理解充分条件、必要条件和充要条件的概念，由学生口答完成.）
能力训练（思考、运用）
1.用今天所学的知识解决刚开始提出的三个情境问题;
解析：①“这是我妈妈”和“我是妈妈的孩子”互为充要条件，所以不需要补充说了；
②共产党是新中国成立必须具备的条件；
2．直线和平面，的一个充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
3．在中，，，，
问:p是q的什么条件？p是m的什么条件？p是n的什么条件？
分析：第2题是立体几何中常见的题目的变形问法，是对立体几何中有关定理和性质的变相考查，稍加分析可知，本题应选C.第3题是对正弦定理、三角函数的单调性的考查.当然本题的第3个问也可以用举反例的方法加以判别.这两道题与前面所学的知识有效地进行了联系和沟通.）（师生互动，共同完成）
解：1、C；2、p是q的充要条件，p是m的充要条件，p是n的既不充分也不必要条件.
（能力训练是知识的变形应用和逆向思维训练，深化概念，发展思维，使学生能比较深刻地理解充分条件、必要条件和充要条件的本质.）
创新提高（探究、拓展）
1．是否存在实数，使得是的充分条件？
2．是否存在实数，使得是的必要条件？
（1）是否存在实数，使得是的充分条件？
（2）是否存在实数，使得是的必要条件？
解：欲使得是的充分条件，则只要或，则只要即，故存在实数时，使是的充分条件．
（2）欲使是的必要条件，则只要或，则这是不可能的，故不存在实数时，使是的必要条件．
（创新提高题有一定的难度，供部分有余力的学生做，作为选做题）
提炼小结 反思提高（教师启发学生完成，必要时给予补充）
（1）充分条件、必要条件、充要条件的概念.
（2）判断充分、必要条件的一个算法：
①认清条件和结论；
②考察和的真假；
③下结论.
（3）判别方法和策略：
① 先简化命题；
② 集合法；
③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断;
④否定一个命题只要举出一个反例即可.
布置作业

合情推理
【教学目标】
掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
【教学重点】归纳推理及方法的总结。
【教学难点】归纳推理的含义及其具体应用。
【教学方法】自主、合作、探究
【教学过程】
一.问题情境
(1)原理初探
①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”
②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？
③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？
从而引入两则小典故：（图片展示-阿基米德的灵感）
A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？
B：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？
正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。
④思考：整个过程对你有什么启发？
⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
(2)皇冠明珠
追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。
思考：其他偶数是否也有类似的规律？
③讨论：组织学生进行交流、探讨。
④检验：2和4可以吗？为什么不行？
⑤归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。
3.数学建构
●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
注:归纳推理的特点;
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
●归纳推理的一般步骤：（由学生完成）
4.师生活动
例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.
结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
例2 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……
结论：凸n 边形的内角和是（n—2）×1800。
例3

探究：上述结论都成立吗？
强调：归纳推理的结果不一定成立！ —— “ 一切皆有可能！”
5.提高巩固

①探索：先让学生独立进行思考。
②活动：“千里走单骑”　—　鼓励学生说出自己的解题思路。
③活动：“圆桌会议”　—　鼓励其他同学给予评价，对在哪里？错在哪里？还有没有更好的方法？
【设计意图】：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。
【一点心得】：在“千里走单骑”和“圆桌会议”的探究活动中，教师一定要以“鼓励和表扬”为主，面带微笑，消除学生的恐惧感，提高学生的自信心．
⑵能力培养（例2拓展）

①思考：怎么求？组织学生进行探究，寻找规律。
②归纳：由学生讨论，归纳技巧，得到技巧②和③。
技巧②:有整数和分数时,往往将整数化为分数.
技巧③:当分子分母都在变化时,往往统一分子 (或分母),再寻找另一部分的变化规律.
6.课堂小结
(1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
(2)归纳推理的一般步骤：
通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）
证明
7.布置作业

类比推理
【教学目标】
通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。
类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。
【教学重点】了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理
【教学难点】用类比进行推理，做出猜想。
【教学方法】自主、合作、探究
【教学过程】
一．问题情境
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.
他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.
我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？
二．数学活动
我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质： 猜想不等式的性质：
(1) a=bÞa+c=b+c; (1) a＞bÞa+c＞b+c;
(2) a=bÞ ac=bc; (2) a＞bÞ ac＞bc;
(3) a=bÞa2=b2;等等。 (3) a＞bÞa2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？

例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.

圆 球
弦←→截面圆
直径←→大圆
周长←→表面积
面积←→体积

圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦

球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大

圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
经过切点且垂直于切面的直线必经过球心

☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。即
观察、比较
联想、类推
猜想新结论

例3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:

试通过类比,写出在空间中的类似结论.
巩固提高
1．(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-----------------------------
2．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．

直角三角形
 3个面两两垂直的四面体
∠C＝90°
3个边的长度a，b，c
2条直角边a，b和1条斜边c
 ∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S
3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S

3．（2004北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为___________，这个数列的前n项和的计算公式为________________
课堂小结
1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
2． 类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或者一致性。
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）

演绎推理
【教学目标】
1. 了解演绎推理 的含义。
2. 能正确地运用演绎推理 进行简单的推理。
3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
【教学重点】正确地运用演绎推理 进行简单的推理
【教学难点】了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
【教学方法】自主、合作、探究
【教学过程】
一． 复习:合情推理
归纳推理 从特殊到一般
类比推理 从特殊到特殊
从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。类比――提出猜想
二． 问题情境。
观察与思考
1所有的金属都能导电
铜是金属,
所以，铜能够导电
2.一切奇数都不能被2整除,
(2100+1)是奇数，
所以， (2100+1)不能被2整除.
3.三角函数都是周期函数,
tan 是三角函数,
所以，tan 是 周期函数。
提出问题 ：像这样的推理是合情推理吗？
二．学生活动 ：
1.所有的金属都能导电 ←————大前提
铜是金属, ←-----小前提
所以，铜能够导电 ←――结论
2.一切奇数都不能被2整除 ←————大前提
(2100+1)是奇数，←――小前提
所以， (2100+1)不能被2整除. ←―――结论
3.三角函数都是周期函数, ←——大前提
tan 是三角函数, ←――小前提
所以，tan 是 周期函数。←――结论
三， 建构数学
演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．
１．演绎推理是由一般到特殊的推理；
２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括　
　⑴大前提---已知的一般原理；　　　　　　　　
⑵小前提---所研究的特殊情况；　　　　　　　
⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
三段论的基本格式
M—P（M是P） （大前提）
S—M（S是M） （小前提）
S—P（S是P） （结论）
3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:
若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.
四，数学运用

解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）

例2.已知lg2=m,计算lg0.8
解 （1） lgan=nlga(a>0)---------大前提
lg8=lg23————小前提
lg8=3lg2————结论
lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)——大前提
lg0.8=lg(8/10)——－小前提
lg0.8=lg(8/10)——结论
例3.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,
D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等
解： (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,——大前提
在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90°——-小前提
所以△ABD是直角三角形——结论
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提
因为 DM是直角三角形斜边上的中线,——小前提
所以 DM= AB——结论
同理 EM= AB
所以 DM=EM.
练习：第35页 练习第 1，2，3，4，题
五 回顾小结：
演绎推理具有如下特点:课本第33页 。
演绎推理错误的主要原因是
1．大前提不成立；2, 小前提不符合大前提的条件。

六 布置作业：

【教学目标】
【教学重点】
【教学难点】
【教学方法】自主、合作、探究
【教学过程】

【教学目标】
【教学重点】
【教学难点】
【教学方法】自主、合作、探究
【教学过程】
教学设计说明
1. 本节课通过问题情境,不仅引入本节课的内容,而且渗透了对学生的爱国主义教育,让数学的课堂不仅仅注重知识的传授,还关注学生德育的提高.
2．本节内容多、容量大，采用多媒体教学，有效地利用时间，提高了效率.
3. 本节课采用以典型例题、习题引路，归纳总结，明确要点的方式。教学上采用提问、设问等方式，尽量多给学生创设一个思维空间，适时地引导分析、点拨，达到本课的教学目标.
4.本节课在强化基础知识、基本运算的基础上，注重各部分知识的联系与沟通；注重知识应用；注重数学思想方法的渗透和对学生思维能力的培养.