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第一章 集合与常用逻辑用语

第1-2课时　集合的概念

考情分析
考点新知
了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的数学对象或数学问题；了解集合之间包含与相等的含义；能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．

学会区分集合与元素，集合与集合之间的关系.
学会自然语言、图形语言、集合语言之间的互化.
集合含义中掌握集合的三要素.
④ 不要求证明集合相等关系和包含关系.

1. (必修1P10第5题改编)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m＝________．
答案：－
解析：因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不合题意，舍去；当2m2＋m＝3时，解得m＝－或m＝1(舍去)，此时当m＝－时，m＋2＝≠3满足题意．所以m＝－.
2. (必修1P7第4题改编)已知集合{a|0≤a<4，a∈N}，用列举法可以表示为________．
答案：
解析：因为a∈N，且0≤a<4，由此可知实数a的取值为0，1，2，3.
3. (必修1P17第6题改编)已知集合A＝[1，4)，B＝(－∞，a)，AB，则a∈________．
答案：[4，＋∞)
解析：在数轴上画出A、B集合，根据图象可知．
4. (原创)设集合A＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则A、B的关系是________．
答案：A＝B
解析：化简得A＝{x|x≥1}，B＝{y|y≥1}，所以A＝B.
5. (必修1P17第8题改编)满足条件{1}M{1，2，3}的集合M的个数是________．
答案：4个
解析：满足条件{1}M{1，2，3}的集合M有{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，共4个．

1. 集合的含义及其表示
(1) 集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素．
(2) 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．
(3) 集合的常用表示方法：列举法、描述法、Venn图法．
(4) 集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类可分为点集、数集等．应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形．
(5) 常用数集及其记法：自然数集记作N；正整数集记作N或N＋；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R；复数集记作C．
2. 两类关系
(1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系．
(2) 集合与集合之间的关系
① 包含关系：如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记为AB或BA，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．
② 真包含关系：如果AB，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，读作“集合A真包含于集合B”或“集合B真包含集合A”．
③ 相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A中的元素都是B中的元素且B中的元素都是A中的元素，则称这两个集合相等．
(3) 含有n个元素的集合的子集共有2n个，真子集共有2n－1个，非空子集共有2n－1个，非空真子集有2n－2个.

题型1　正确理解和运用集合概念
例1　已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．
(1) 若A是空集，求a的取值范围；
(2) 若A中只有一个元素，求a的值，并将这个元素写出来；
(3) 若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
解： (1) 若A是空集，则Δ＝9－8a＜0，解得a＞.
(2) 若A中只有一个元素，则Δ＝9－8a＝0或a＝0，解得a＝或a＝0；当a＝时这个元素是；当a＝0时，这个元素是.
(3) 由(1)(2)知，当A中至多有一个元素时，a的取值范围是a≥或a＝0.

已知a≤1时，集合[a，2－a]中有且只有3个整数，则a的取值范围是________．
答案：－1<a≤0
解析：因为a≤1，所以2－a≥1，所以1必在集合中．若区间端点均为整数，则a＝0，集合中有0，1，2三个整数，所以a＝0适合题意；若区间端点不为整数，则区间长度2<2－2a<4，解得－1<a<0，此时，集合中有0，1，2三个整数，－1<a<0适合题意．综上，a的取值范围是－1<a≤0.

设集合M＝，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则M________N.
答案：真包含于
题型2　集合元素的互异性
例2　已知a、b∈R，集合A＝{a，a＋b，1}，B＝，且AB，BA，求a－b的值．
解：∵ AB，BA，∴ A＝B.
∵ a≠0，∴ a＋b＝0，即a＝－b，∴ ＝－1，
∴ b＝1，a＝－1，∴ a－b＝－2.

已知集合A＝{a，a＋b, a＋2b}，B＝{a，ac, ac2}．若A＝B，则c＝________．
答案：－
解析：分两种情况进行讨论．
① 若a＋b＝ac且a＋2b＝ac2，消去b得a＋ac2－2ac＝0.
当a＝0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0.∴ c2－2c＋1＝0，即c＝1.但c＝1时，B中的三元素又相同，此时无解．
② 若a＋b＝ac2且a＋2b＝ac，消去b得2ac2－ac－a＝0.
∵ a≠0，∴ 2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0.
又c≠1，故c＝－.

集合A＝，集合B＝{a2，a＋b，0}，若A＝B，求a2 013＋b2 014的值．
解：由于a≠0，由＝0，得b＝0，则A＝{a，0，1}，B＝{a2，a，0}．
由A＝B，可得a2＝1.又a2≠a，则a≠1，则a＝－1.
所以a2 013＋b2 014＝－1.
题型3　根据集合的含义求参数范围
例3　集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．　
(1) 若BA，求实数m的取值范围；
(2) 当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
解：(1) 当m＋1＞2m－1即m＜2时，B＝满足BA；
当m＋1≤2m－1即m≥2时，要使BA成立，则解得2≤m≤3.
综上所述，当m≤3时有BA.
(2) 因为x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，则
① 若B＝，即m＋1＞2m－1，得m＜2时满足条件；
② 若B≠，则要满足条件解得m＞4.
或无解．
综上所述，实数m的取值范围为m＜2或m＞4.

已知集合A＝{y|y＝－2x，x∈[2，3]}，B＝{x|x2＋3x－a2－3a>0}．若AB，求实数a的取值范围．
解：由题意有A＝[－8，－4]，B＝{x|(x－a)(x＋a＋3)>0}．
① 当a＝－时，B＝，所以AB恒成立；
② 当a<－时，B＝{x|x<a或x>－a－3}．因为AB，所以a>－4或－a－3<－8，解得a>－4或a>5(舍去)，所以－4<a<－；
③ 当a>－时，B＝{x|x<－a－3或x>a}．因为AB，所以－a－3>－4或a<－8(舍去)，解得－<a<1.
综上，当AB时，实数a的取值范围是(－4，1)．

1. 设集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜a}，且满足A真包含于B，则实数a的取值范围是____________．
答案：(2，＋∞)
解析：利用数轴可得实数a的取值范围是(2，＋∞)．
2. 已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中元素的个数为________．
答案：10
解析：B中所含元素有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)．
3. 若x∈A，则∈A，就称A是“伙伴关系集合”，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．
答案：3
解析：具有伙伴关系的元素组是－1；，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，.
4. 已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1，2，…}的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有________个．

答案：2
解析：由题图示可以看出阴影部分表示集合M和N的交集，所以由M＝{x|－1≤x≤3}，得M∩N＝{1，3}，有2个．
5. 设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则P＋Q中元素的个数为________．
答案：8
解析：(1) ∵ P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，∴ 当a＝0时，a＋b的值为1，2，6；当a＝2时，a＋b的值为3，4，8；当a＝5时，a＋b的值为6，7，11，∴ P＋Q＝{1，2，3，4，6，7，8，11}，∴ P＋Q中有8个元素．

1. 已知A＝{x|x2－2x－3≤0}，若实数a∈A，则a的取值范围是________．
答案：[－1，3]
解析：由条件，a2－2a－3≤0，从而a∈[－1，3]．
2. 现有含三个元素的集合，既可以表示为，也可表示为{a2，a＋b，0}，则a2 013＋b2 013＝________．
答案：－1
解析：由已知得＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 013＋b2 013＝(－1)2 013＝－1.
3. 已知集合A＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]＜0}，
B＝.
(1) 当a＝2时，求A∩B；
(2) 求使B真包含于A的实数a的取值范围．
解：(1) A∩B＝{x|2＜x＜5}．
(2) B＝{x|a＜x＜a2＋1}．
①若a＝时，A＝，不存在a使BA；
②若a＞时，2≤a≤3；③若a＜时，－1≤a≤－.
故a的取值范围是∪[2，3]．
4. 已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}且1∈A，求实数a的值．
解：由题意知：a＋2＝1或(a＋1)2＝1或a2＋3a＋3＝1，
∴ a＝－1或－2或0，根据元素的互异性排除－1，－2，
∴ a＝0即为所求．

1. 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．
2. 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：AB，则需考虑A＝和A≠两种可能的情况．
3. 判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．
4. 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．

[备课札记]

第3-4课时　集合的基本运算
.

考情分析
考点新知
理解两个集合的交集与并集的含义；会求两个简单集合的交集与并集，理解给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集，会用韦恩图表示集合的关系及运算．

① 在给定集合中会求一个子集的补集，补集的含义在数学中就是对立面.
② 会求两个简单集合的交集与并集；交集的关键词是“且”，并集的关键词是“或”.
③ 会使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算；对于数集有时也可以用数轴表示.

1. (原创)集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝________．
答案：{－1，0，1}
解析：M＝{－2，－1，0，1}，N＝{－1，0，1，2，3}，所以M∩N＝{－1，0，1}．
2. (必修1P17第13题改编)A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B，且xA∩B}．若A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x}，则A×B＝________．
答案：(－∞，3)
解析：A＝(－∞，0)∪[3，＋∞)，B＝(0，＋∞)，A∪B＝R，A∩B＝[3，＋∞)．所以A×B＝(－∞，3)．
3. (必修1P10第4题改编)已知全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝，则∁UA＝________．
答案：{0}
解析：因为A＝，当n＝0时，x＝－2；当n＝1时不合题意；当n＝2时，x＝2；当n＝3时，x＝1；当n≥4时，xZ；当n＝－1时，x＝－1；当n≤－2时，xZ.故A＝{－2，2，1，－1}．又U＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁UA＝{0}．
4. (必修1P14第8题改编)设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U(A∩B)＝________ .
答案：{1，4，5}
解析：A∩B＝{2，3}，所以∁U(A∩B)＝{1，4，5}．
5. (必修1P17第6题改编)已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，则A∩B＝B时，a＝________．
答案：1或2
解析：验证a＝1时B＝满足条件；验证a＝2时B＝{1}也满足条件．

1. 集合的运算
(1) 交集：由属于A且属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．
(2) 并集：由属于A或属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
(3) 全集：如果集合S含有我们所研究的各个集合的全部元素，那么这个集合就可以看作一个全集，通常用U来表示．一切所研究的集合都是这个集合的子集．
(4) 补集：集合A是集合S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合叫做A的补集(或余集)，记作∁SA，即∁SA＝{x|x∈S，但xA}．
2. 常用运算性质及一些重要结论
(1) A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A；
(2) A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A；
(3) A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U；
(4) A∩B＝AAB，A∪B＝ABA；
(5) ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
[备课札记]

题型1　集合的运算
例1 若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，3}，N＝{1，4}，则(∁UM)∩(∁UN)＝________．
答案：{5，6}
解析：∵ M∪N＝{1，2，3，4}，
∴ (∁UM)∩(∁UN)＝∁U(M∪N)＝{5，6}．

若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M∩N＝N，N＝{1，4}，试求满足条件的集合M的个数．
解：由M∩N＝N得MN.
含有2个元素的集合M有1个，含有3个元素的集合M有4个，含有4个元素的集合M有6个，含有5个元素的集合M有4个，含有6个元素的集合M有1个．
因此，满足条件的集合M有1＋4＋6＋4＋1＝16个．
题型2　求参数的范围
例2 设关于x的不等式x(x－a－1)＜0(a∈R)的解集为M，不等式x2－2x－3≤0的解集为N.
(1) 当a＝1时，求集合M；
(2) 若M∪N＝N，求实数a的取值范围．
解：(1) 当a＝1时，由已知得x(x－2)＜0，
解得0＜x＜2.所以M＝{x|0＜x＜2}．
(2) 由已知得N＝{x|－1≤x≤3}．
① 当a＜－1时，因为a＋1＜0，所以M＝{x|a＋1＜x＜0}．
由M∪N＝N，得MN，所以－1≤a＋1＜0，解得－2≤a＜－1.
② 当a＝－1时，M＝，显然有MN，所以a＝－1成立．
③ 当a＞－1时，因为a＋1＞0，所以M＝{x|0＜x＜a＋1}．
因为MN，所以0＜a＋1≤3，解得－1＜a≤2.
综上所述，实数a的取值范围是[－2，2]．

已知A＝{x|ax－1>0}，B＝{x|x2－3x＋2>0}．
(1) 若A∩B＝A，求实数a的取值范围；
(2) 若A∩∁RB≠，求实数a的取值范围．
解：(1) 由于A∩B＝A 得AB，由题意知B＝{x|x>2或x<1}．若a>0，则x>≥2，得0＜a≤；若a＝0，则A＝，成立；若a＜0，则x＜＜1，根据数轴可知均成立．综上所述，a≤.
(2) ∁RB＝{x|1≤x≤2}，若a＝0，则A＝，不成立；若a＜0，则x＜＜1，不成立；若a＞0，则x＞，由＜2得a＞.综上所述，a＞.
题型3　集合综合题
例3　已知f(x)＝x＋－3，x∈[1，2]．
(1) 当b＝2时，求f(x)的值域；
(2) 若b为正实数，f(x)的最大值为M，最小值为m，且满足M－m≥4，求b的取值范围．
解：(1) 当b＝2时，f(x)＝x＋－3，x∈[1，2]．
因为f(x)在[1，]上单调递减，在[，2]上单调递增，
所以f(x)的最小值为f()＝2－3.
又f(1)＝f(2)＝0，
所以f(x)的值域为[2－3，0]．
(2) ① 当0＜b＜2时，f(x)在[1，2]上单调递增，
则m＝b－2，M＝－1，此时M－m＝－＋1≥4，得b≤－6，与0＜b＜2矛盾，舍去；
② 当2≤b＜4时，f(x)在[1，]上单调递减，在[，2]上单调递增，所以M＝max{f(1)，f(2)}＝b－2，m＝f()＝2－3，则M－m＝b－2＋1≥4，得(－1)2≥4，解得b≥9，与2≤b＜4矛盾，舍去；
③ 当b≥4时，f(x)在[1，2]上单调递减，则M＝b－2，m＝－1，此时M－m＝－1≥4，得b≥10.综上所述，b的取值范围是[10，＋∞)．

设集合A＝{x|x2－2x＋2m＋4＝0}，B＝{x|x<0}．若A∩B≠，求实数m的取值范围．
解：(解法1)据题意知方程x2－2x＋2m＋4＝0至少有一个负实数根．
设M＝{m|关于x的方程x2－2x＋2m＋4＝0两根均为非负实数}，
则
∴ M＝.
设全集U＝{m|Δ≥0}＝，
∴ m的取值范围是∁UM＝{m|m<－2}．
(解法2)方程的小根x＝1－<0
>1－2m－3>1m<－2.
(解法3)设f(x)＝x2－2x＋4，这是开口向上的抛物线．因为其对称轴x＝1>0，则据二次函数性质知命题又等价于f(0)<0m<－2.

1. 设集合A＝{5，log2(a＋3)}，集合B＝{a，b}．若A∩B＝{2}，则A∪B＝________．
答案：{1，2，5}
解析：由题意知log2(a＋3)＝2，得a＝1，b＝2，则A∪B＝{1，2，5}．
2. 已知全集U＝(－∞，3]，A＝[－1，2)，则∁UA＝____．
答案：(－∞，－1)∪[2，3]
解析：利用数轴可得∁UA＝(－∞，－1)∪[2，3]．
3. 如图，已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A＝{2，3，4，5，6，8}，B＝{1，3，4，5，7}，C＝{2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．

答案：{2，8}
解析：阴影部分表示的集合为A∩C∩(∁UB)＝{2，8}．
4. 已知集合P＝{(x，y)|x＋y＝0}，Q＝{(x，y)|x－y＝2}，则Q∩P＝________．
答案：{(1，－1)}
解析：由解得由于两集合交集中元素只有一个点，故Q∩P＝{(1，－1)}．
5. 设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且xQ}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝________．
答案：{x|0<x≤1}
解析：由log2x<1，得0<x<2，所以P＝{x|0<x<2}；
由|x－2|<1，得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．
由题意，得P－Q＝{x|0<x≤1}．

1. 设全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5}，M∩∁UN＝{2，4}，则N＝________．
答案：{1，3，5}
解析：画出韦恩图，可知N＝{1，3，5}．
2. 设全集为R，集合A＝{x|x≤3或x≥6}，B＝{x|－2<x<9}．　
(1) 求A∪B，(∁RA)∩B；
(2) 已知C＝{x|a<x<a＋1}，若CB，求实数a的取值范围．
解：(1) A∪B＝R，∁RA＝{x|3<x<6}，
∴ (∁RA)∩B＝{x|3<x<6}．
(2) ∵ C＝{x|a<x<a＋1}，且CB,
∴
∴ 所求实数a的取值范围是－2≤a≤8.
3. 设全集I＝R，已知集合M＝，N＝{x|x2＋x－6＝0}．
(1) 求(∁IM)∩N；
(2) 记集合A＝(∁IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a的取值范围．
解：(1) ∵ M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，
N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，
∴ ∁IM＝{x|x∈R且x≠－3}，
∴ (∁IM)∩N＝{2}．
(2) A＝(∁IM)∩N＝{2}，
∵ A∪B＝A，∴ BA，∴ B＝或B＝{2}，
当B＝时，a－1>5－a，∴ a>3；
当B＝{2}时，解得a＝3.
综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．
4. 设全集U＝R，函数f(x)＝lg(|x＋1|＋a－1)(a＜1)的定义域为A，集合B＝{x|cosπx＝1}．若(∁UA)∩B恰好有2个元素，求a的取值集合．
解：|x＋1|＋a－1＞0|x＋1|＞1－a，
当a＜1时，1－a＞0，∴ x＞－a或x＜a－2，
∴ A＝(－∞，a－2)∪(－a，＋∞)．
∵ cosπx＝1，∴ πx＝2kπ，∴ x＝2k(k∈Z)，
∴ B＝{x|x＝2k，k∈Z}．
当a＜1时，∁UA＝[a－2，－a]在此区间上恰有2个偶数．
∴ .

1. 集合的运算结果仍然是集合．进行集合运算时应当注意：
(1) 勿忘对空集情形的讨论；
(2) 勿忘集合中元素的互异性；
(3) 对于集合A的补集运算，勿忘A必须是全集的子集；
(4) 对于含参数(或待定系数)的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍．
2. 在集合运算过程中应力求做到“三化”
(1) 意义化：首先明确集合的元素的意义，它是怎样的类型的对象(数集、点集，图形等)是表示函数的定义域、值域，还是表示方程或不等式的解集？
(2) 具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．
(3) 直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题．

第5-6课时　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

考情分析
考点新知
了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；理解必要条件、充分条件、充要条件的意义；了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；了解全称量词与存在量词的意义；了解含有一个量词的命题的否定的意义．

会分析四种命题的相互关系.
会判断必要条件、充分条件与充要条件.
能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容(真值表不做要求).
能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容.
⑤ 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

1. (选修11P20第4(1)题改编)命题“若a、b、c成等比数列，则ac＝b2”的逆否命题是________________________________________________________________________．
答案：若ac≠b2，则a、b、c不成等比数列
2. (选修11P20第6题改编)若命题p的否命题为q，命题q的逆否命题为r，则p与r的关系是__________．
答案：互为逆命题
3. (选修11P20第7题改编)已知p、q是r的充分条件，r是s的充分条件，q是s的必要条件，则s是p的__________条件．
答案：必要不充分
4. (原创)写出命题“若x＋y＝5，则x＝3且y＝2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
答案：逆命题：若x＝3且y＝2，则x＋y＝5.是真命题．
否命题：若x＋y≠5，则x≠3或y≠2.是真命题．
逆否命题：若x≠3或y≠2，则x＋y≠5.是假命题．
5. 下列命题中的真命题有________．(填序号)
① x∈R，x＋＝2；
② x∈R，sinx＝－1；
③ x∈R，x2>0；
④ x∈R，2x>0.
答案：①②④
解析：对于①，x＝1时，x＋＝2，正确；对于②，当x＝时，sinx＝－1，正确；对于③，x＝0时，x2＝0，错误；对于④，根据指数函数的值域，正确．
6. 命题p：有的三角形是等边三角形．命题綈p：____________________________．
答案：所有的三角形都不是等边三角形

1. 四种命题及其关系
(1) 四种命题

命题
表述形式
原命题
若p，则q
逆命题
若q，则p
否命题
若非p，则非q
逆否命题
若非q，则非p
(2) 四种命题间的逆否关系

(3) 四种命题的真假关系
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
2. 充分条件与必要条件
(1) 如果pq，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2) 如果pq，且qp，那么称p是q的充要条件，记作pq.
(3) 如果pq，qp，那么称p是q的充分不必要条件．
(4) 如果qp，pq，那么称p是q的必要不充分条件．
(5) 如果p/ q，且q/ p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．
3. 简单的逻辑联结词
(1) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．
(2) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．
(3) 对一个命题p全盘否定记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．
(4) 命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．
4. 全称量词与存在量词
(1) 全称量词与全称命题
短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“x”表示．
含有全称量词的命题，叫做全称命题．
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．
(2) 存在量词与存在性命题
短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“x”表示．
含有存在量词的命题，叫做存在性命题．
存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．
5. 含有一个量词的命题的否定

命题
命题的否定
x∈M，p(x)
x∈M， p(x)；
x∈M，p(x)
x∈M，p(x).

[备课札记]

题型1　否命题与命题否定
例1　(1) 命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为____________________________；
(2) 命题：“若x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”是____(填“真”或“假”)命题；
(3) 命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则p是____________________．
答案：(1) 若a≤b，则2a≤2b－1　(2) 真　(3) 所有三角形都不是等腰三角形
解析：(2) 很可能许多同学会认为它是假命题原因为当m＝0时显然方程有根，其实不然，由x2＋x－m＝0没实根可推得m<－，而{m|m<－}是{m|m≤0}的真子集，由m<－可推得m≤0，故原命题为真，而它的逆否命题“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”显然为真，其实用逆否命题很容易判断它是真命题．
(3) p为“对任意x∈A，有p(x)不成立”，它恰与全称性命题的否定命题相反．

把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题．
(1) 正三角形的三个内角相等；
(2) 已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.
解：(1) 原命题：若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等．
逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形．
否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等．
逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形．
(2) 原命题：已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.　
逆命题：已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b且c＝d.　
否命题：已知a、b、c、d是实数，若a与b，c与d不都相等，则a＋c≠b＋d.
逆否命题：已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d，则a与b，c与d不都相等．
题型2　充分必要条件
例2　已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：p：x2－8x－20＞0，得x＜－2或x＞10，
设A＝{x|x＜－2或x＞10}，
q：x2－2x＋1－m2＞0，得x＜1－m，或x＞1＋m，
设B＝{x|x＜1－m或x＞1＋m}．
∵ p是q的必要非充分条件，
∴ B真包含于A，即m≥9.
∴ 实数m的取值范围为m≥9.

下列四个结论正确的是________．(填序号)
① “x≠0”是“x＋|x|>0”的必要不充分条件；
② 已知a、b∈R，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是ab>0；
③ “a>0，且Δ＝b2－4ac≤0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是R”的充要条件；
④ “x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件．
答案：①③
解析：① 因为由x≠0推不出x＋|x|>0，如x＝－1，x＋|x|＝0，而x＋|x|>0x≠0，故①正确；因为a＝0时，也有|a＋b|＝|a|＋|b|，故②错误，正确的应该是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充分不必要条件是ab>0；由二次函数的图象可知③正确；x＝－1时，有x2＝1，故④错误，正确的应该是“x≠1”是“x2≠1”的必要不充分条件．
题型3　全称命题与存在性命题的否定
例3　命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是_______________________________．
答案：存在一个不能被2整除的整数不是奇数

若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”，其否定为_____________________________．
答案：所有能被2整除的整数都不是奇数
题型4　求参数范围
例4　已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．
解：由a2x2＋ax－2＝0，得
(ax＋2)(ax－1)＝0，
显然a≠0，∴ x＝－或x＝.
∵ x∈[－1，1]，故≤1或≤1，
∴ |a|≥1.
由题知命题q“只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0”，
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴ Δ＝4a2－8a＝0，∴ a＝0或a＝2，
∴ 当命题“p或q”为真命题时|a|≥1或a＝0.
∵ 命题“p或q”为假命题，
∴ a的取值范围为{a|－1<a<0或0<a<1}．

已知命题p：函数y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增；命题q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x恒成立．若p∨q是真命题，求实数a的取值范围．
解：∵ 命题p：函数y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增，∴ 0<a<1.
又命题q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x恒成立，
∴ a＝2或 即－2<a≤2.
∵ p∨q是真命题，
∴ a的取值范围是－2<a≤2.

命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是___________________________
________________________．
答案：存在一个能被2整除的数不是偶数
2. 设α、β为两个不同的平面，直线lα，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的________条件．
答案：充分不必要
解析：根据定理知由l⊥β可以推出α⊥β.反之不成立，仅当l垂直于α、β的交线时才成立．
3. “若a＋b为偶数，则a、b必定同为奇数或偶数”的逆否命题为__________________________．
答案：若a、b不同为奇数且不同为偶数，则a＋b不是偶数
4．已知命题p1：函数y＝ln(x＋)，是奇函数，p2：函数y＝x为偶函数，则下列四个命题：
① p1∨p2；② p1∧p2；③ (p1)∨p2；④ p1∧(p2)．
其中，真命题是________．(填序号)
答案：①④
解析：由函数的奇偶性可得命题p1为真命题，命题p2为假命题，再由命题的真假值表可得②③为假，①④为真．

1. 若a、b为实数，则 “0<ab<1”是“b<”的________条件．
答案：既不充分也不必要
解析：0<ab<1，a、b都是负数时，不能推出b<；同理b<也不能推出0<ab<1.
2. 在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝________．
答案：2
解析：若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0与l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则必有a1b2－a2b1＝0，但当a1b2－a2b1＝0时，直线l1与l2不一定平行，还有可能重合，因此命题p是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有2个正确命题，即f(p)＝2.
3. 设命题p：关于x的不等式2|x－2|<a的解集为；命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的值域是R.如果命题p和q有且仅有一个正确，求实数a的取值范围．
解：由不等式2|x－2|<a的解集为得a≤1.　
由函数y＝lg(ax2－x＋a)的值域是R知ax2－x＋a要取到所有正数，
故0<a≤ 或a＝0即0≤a≤.
由命题p和q有且仅有一个正确得a的取值范围是(－∞，0)∪.
4. 设数列{an}、{bn}、{cn}满足：bn＝an－an＋2，cn＝an＋2an＋1＋3an＋2(n＝1，2，3，…)，求证：{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn＋1(n＝1，2，3，…)．
证明：必要性：
设{an}是公差为d1的等差数列，则
bn＋1－b