应用数学数学专业调查报告.doc

大学数学中的数形结合思想Several of the middle school Mathematics form bining ideas 姓 名： 张晓锐 学 号： 51505111012 学 院： 蚌埠学院 专 业： 数学与应用数学 指导老师： 冯海亮 完成时间： 2017年2月23日 大学数学中的数形结合思想 【摘要】数形结合的思想，是通过数形间的对应与互助来研究并解决问题的思想，是最基本的数学思想之一。它可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。正如我国著名数学家华罗庚对数形结合思想的精辟论述:“数以形而直观，形以数而入微”。我将从以下几个方面来探讨数形结合思想在大学数学中的应用：（1）在二重积分上的应用（2）在三重积分上的应用。通过分析、比较和归纳充分展现数形结合思想在解题中的特点和优越性，从而在实际教学中要将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生加强数形结合思想的意识【关键词】大学数学 数形结合 应用 思想方法Several of the university school Mathematics form bining ideas【Abstract】 In the uiversity school mathematics has lots of mathematical methods, including several form bining ideas middle school mathematics is one of the most important methods, it will algebra and geometry, and the bination of using several shape transformation between, be helpful for analysis problem of the relation between the quantity, rich imagination, change numerous hard things simple, easy, on the one hand, graphic nature of many of the abstract will math concepts and visual and quantitative relationship between simplified, give a person with intuitive enlightenment. On the other hand, will graphics problem into the algebra problem, in order to obtain the accurate conclusions. Improve the analysis and problem solving ability so as to achieve simple problem solving method, the final convenient our problem solving. I will from the following several aspects to discuss several form bining ideas university school mathematics in the application: (1) the application of double integral; (2) the application of three integral(, domain in its application. Through the analysis, parison and induction show several form bining ideas of problem in the characteristic and advantages, which in actual teaching will form together with several ideas to the classroom, training students strengthen the consciousness of bining ideas number form.【Key words】 school mathematics Several form bined with An application example Thought method目录1 引言12 数形结合思想的概念13 数形结合思想在大学数学中的应用23.1 树形结合在二重积分上的应用3.2 数形结合在三重积分上的应用33.3 数形结合思想解决最值、值域问题63.4 数形结合思想在解析几何中的应用74 培养学生数形结合思想的一些教学措施8结束语9参考文献101 引言在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想中学阶段的基本数学思想包括：分类讨论的思想、数形结合的思想、变换与转化的思想、整体思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等等中学数学中处处渗透着基本数学思想，如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的课程一直以来数与形就是两个不可分割的对象，他们在一定程度上可以相互转换，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，即数形结合在一起好处很多，而独立分开却会带来很多麻烦，从这可以看出数与形的基本性质，数与形是不可分割的，数形结合在实际问题中是紧密结合在一起的而数形结合主要是指数与形之间的一一对应关系例如函数图象与函数表达式之间的关系对中学数学中数形结合思想的研究有助于我们更好的掌握中学数学知识，增强解题能力，特别是在一些题目中如选这题、填空题，在小题目中经常考察数形结合思想，如果熟练掌握了数形结合思想并加以巧妙利用，那么我们将取得事半功倍的效果，能帮助我们在高考中能取得时间和效率的优势，最终让你取得优异成绩那么接下来我们将要研究数形结合思想在我们中学中到底有哪些用处，我们解什么样问题时需要用到数形结合思想？那么我们平时又该如何培养自己的数形结合思想呢？2 数形结合思想的概念数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果3 数形结合思想在中学数学中的应用3.1 数形结合思想在重积分上的应用3.1 数形结合在二重积分上的应用例1. 计算，其中是由抛物线，及直线围成。解：，又区域关于轴对称，如图1所示，例2 计算，。分析：积分区域既对称于轴，又对称于轴（如图1），被积函数是或的一元偏偶函数 据定理2、定理3 或推论1 有 ，或者，图2 积分区域或者。此外，积分区域,其中,与,分别关于原点对称,被积函数是的二元全偶函数 应用定理4 得又有定理2，3知，于是，只要计算在上的积分即可3.2 数形结合在三重积分上的应用例3 计算，其中是椭圆柱面 介于和之间的部分的外侧，如图所示解是的偶函数，关于平面对称，类似的是的偶函数，关于平面对称图2圆柱外侧面图又在平面上的投影为一椭圆周，投影区域面积为0例4 计算，为锥面被曲面所截下的部分（如图4）. 解 如图4，曲面关于面对称，而被积函数中与都是的奇函数，根据定理9知：又，所以原式 3.3 数形结合思想解决最值、值域问题利用数形结合思想有时可以解决一些比较复杂的最值和值域问题，特别是一些三角函数的题目和我们通常见到的线性规划问题例5.已知函数，求函数的最小值解：由的结构形式，我们可以联想到几何当中直线的斜率公式，即可以看成过点与点的直线的斜率A是动点且在圆上，为定点，作出图象，由图可知：，则，所以圆的切线的倾斜角为，故例6已知平面直角坐标系上的区域D由不等式给定，若为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为（ B ） （2011年普通高校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）A3 B4 C3 D4解：本题是一个线性规划题目，几乎每一年高考中都有所考察，主要是要将给定的不等式能够转换到具体的线性规划图，要求，即求解之得，即求函数与y轴的交点xy2A0观察图形可知当直线平移到时，直线与y轴交点值最大，即所以z最大值为4许多代数极值问题，存在着图形背景，借助形的直观性解题是寻求解题思路的一种重要方法，通过图形给问题以几何直观描述，从数形结合中找出问题的逻辑关系，启发思维，难题巧解在平时要牢记一些几何意义的概念，如复数的模、直线的斜率、导数、圆锥曲线的概念等，这样在解题时才能得心应手3.4 数形结合思想在解析几何中的应用代数与几何结合是解析几何的特点，利用数形结合方法是解解析几何问题的基本方法，借助直线、圆与圆锥曲线在直角坐标系中图象的特点，可以从图形中寻求解题思路例7.已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位：)，可得这个几何体的体积是（ ）A B C D 解:选B，实物图如图所示，底面为正方形，侧面底面,且20，高，所以例8.求证：,已知正方形,正方形,直角三角形解：延长交于，过点作,垂足为.如图6所示，因为四边形,四边形为正方形所以又所以故又因为 所以由知 在做几何题目时，很多题目都必须要把图形画出来，图形出来了问题自然就解决了，利用“数”与“形”的相互转化来解决几何问题，它具有直观性 、灵活性等特点数形完美的结合，就能达到事半功倍的效果4 培养学生数形结合思想的一些教学措施数形结合思想作为数学中一种重要思想，在中学数学中占有重要地位，查看近几年高考数学试卷，数形结合思想题目有很大比例，由此可见一斑如此重要方法教师在平时上课时应当给予足够重视，讲解练习时要强化数形结合思想，老师应当提示学生多朝着这方面去想问题，通过引导再加以强化，这样下次学生再碰到就能独立的应用数形结合思想来解答问题那么教师在平时该怎样去引导学生学习数形结合思想方法呢？第一，加强概念教学数学中的概念是人类关于客观世界数量和空间的关系形式的认识结晶数学概念是数学思想方法的载体，数学中的“数形结合”思想大部分来源于概念教学过程加强对基本概念的教学，是掌握数形结合思想的基础概念教学中，要有意识的赋抽象概念以直观的形要揭示概念的不同的表达 形式是学生加深对概念的理解与掌握，为以后利用基本概念的不同形式解复杂的数学问题奠定基础，特别对于明显的几何意义概念如复数的模、直线的斜率、导数、圆锥曲线的概念等，给出概念的同时一定要结合图形讲几何意义第二，熟悉最基本图象对常见的函数的图形要熟悉，如六种基本初等函数（常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）以及二次函数、对勾函数的图形要非常熟悉，另外还要熟练掌握利用图象的变换法（平移、对称、翻转、伸缩）作图第三，培养学生的联想能力联想是以观察为基础的，对研究对象的问题或对象的特点联系已有的知识和经验进行想象的思维方式培养学生的联想能力有较大的作用如看到代数式我们可以联想到点与点连线的斜率第四，教师尽可能使用多媒体教学来展示数形结合，以此来激发学生的好奇心和求知欲教学过程中黑板上的图形再直观、准确，也是一个“死图”，难以通过图形发现变量之间的变化规律通过多媒体教学，例如几何画板，可以让“死图”变“活图”能充分体现数与形之间的联系及变化规律，使学生理解更深刻，记忆更牢固第五，教师在新课中“数”、“形”并进，让学生见“数”想到“形”，见“形”不忘“数”例如在上集合这一章节时 除了在数集运算中借助于画数轴解决外，还要重视韦恩图的运用韦恩图作为集合的第三种表示方法，往往容易被学生忽略，如果老师上课时多用用韦恩图来处理集合的交、并、补等运算，学生就会感受到问题一旦形象化了，运算会很方便习题课中让“数”“形”之妙体现出来在讲解有关可以用数形结合解题的题目时，调动学生的积极性，运用分组讨论等形式让学生感受到数形结合的便捷和乐趣还有一类题目也许不能称之为严格意义上的“数形结合”，例如在一些求直线或圆方程的题目中，可以根据画图得出答案，也可以通过计算得到答案对于这类题目，我认为在习题课上应该两种方法都要顾及，然后让学生自己感受两种方法的各自的优点和缺陷，以及如何选择哪种做法、怎样弥补自己解法中的缺陷和错误等等结束语数形结合思想方法是一种非常有用的数学方法，它能使复杂问题简单化，抽象问题具体化在数形转化过程中，必须遵循等价转换原则，数形互补原则。只要我们在教学中有意识地训练，不惜从点滴做起，坚持实践，学生思维素质便可望提高，同时，也为今后学习数学打下良好的基础. 参考文献1 陈婉华. 在数学教学中提高学生的多种能力J. 青年探索 , 2005,(06) 2王后雄.高考标准诠释.湖南大学出版社.20113钟志华.宁莲花.白金平.例谈数学思想方法的教学策略.数学教育学报.20074乔家瑞.高中数学解题方法与技巧M .第一版.首都师范大学出版社.2008.5吕风祥等.中学数学解题方法M.第一版.哈尔滨：哈尔滨工业大学版.20036陈婉华. 在数学教学中提高学生的多种能力J. 青年探索.2005.(06)7董涛. 建构主义视野中的数学概念教学J曲阜师范大学学报(自然科学版) 2004. (02) 8周述岐.数学思想和数学哲学M .第一版.北京：中国人民大学出版社.19939朱成杰.数学思想方法教学研究导论M .高等教育出饭社：2007.10陈传理.张同君.竞赛数学教程M .北京：高等教育出版社.200411张奠宙.数学教育学导论M .高等教育出版社出版.2003