音乐背后的数学.doc

音乐背后的数学
张慧芳(教育部北师大课程中心数学工作室)
数学家莱布尼兹（Leibniz，1646-1716）说:“音乐是一种隐藏的算术练习，透过潜意识的心灵跟数目在打交道。”
近代作曲家斯特拉文斯基 (Stravinsky，1882-1971)说：“音乐的形式较近于数学而不是文学，音乐确实很像数学思想与数学关系。”他特意将“像数学思想的东西”溶入他的音乐作品之中。

音乐为何悦耳、调和、美呢？可否说出一些道理？田野中昆虫啁啾的鸣叫，枝头鸟儿清脆的叫声，《牧笛》优美动听的旋律，贝多芬令人振奋的交响曲……当沉浸在这些美妙的音乐中时,你是否想到了它们与数学有着密切的联系？
人们对数学与音乐之间联系的研究和认识，可以说源远流长。相信音乐的背后有数学规律可循，并且努力去追寻出音律，这在历史上最早且最著名的当推毕达哥拉斯学派（约公元前5-6世纪）。而中国古代的 “三分损益法” 就是通过数学运算研究音律的方法。人们常用的乐谱也是数学在音乐上应用得最为显著的地方之一。
一 音律背后的比例和分数乘法
音的高低由弦振动的频率决定。如何定出音律，即定出音阶：

的频率比？这是音乐的根本问题。
1．毕达哥拉斯琴弦律
毕达哥拉斯发现音律有一段美丽的故事。有一天毕达哥拉斯偶然经过一家打铁店门口，被铁锤打铁的有节奏的悦耳声音所吸引（笔者在家乡小城镇曾见识过打铁店，现在已不多见了）。他感到很惊奇，于是走入店中观察研究，参见图1。他发现有四个铁锤的重量比恰为12：9：8：6，将两个两个一组来敲打都发出和谐的声音，分别是：12:6=2:1的一组，12:8=9:6=3:2的一组，12:9=8:6=4:3的一组。毕达哥拉斯进一步用单弦琴做实验加以验证，参见图2。对于固定张力的弦，利用可自由滑动的琴马来调节弦的长度，一面弹，一面听。毕达哥拉斯经过反复的试验，终于初步发现了音乐的奥秘，归结出毕达哥拉斯的琴弦律：
（1） 当两个音的弦长成为简单整数比时，同时或连续弹奏，所发出的声音是和谐悦耳的；
（2） 两音弦长之比为4:3，3:2及2:1时，是和谐的，并且音程分别为四度、五度及八度。
也就是说，如果两根绷得一样紧的弦的长度之比是 2 : 1, 同时或连续弹奏，就会发出相差八度的谐音; 而如果两条弦的长度的比是 3 : 2时, 就会发出另一种谐音，短弦发出的音比长弦发出的音高五度; 等等。
物理学家伽利略(1564-1642)发现弦振动的频率跟弦长成反比。因此，我们可以将毕达哥拉斯所采用的“弦长”改为“频率”来定一个音的高低。从而毕达哥拉斯的发现就是：两音的频率比为1:2，2:3及3:4时，分别相差八度、五度及四度音。例如，频率为200与300的两音恰好相差五度音。

图1

图2 单弦琴
毕达哥拉斯音律是弦长的简单整数比。声音透过一些简单而固定的比例，形成令人喜悦
的和谐音乐，这就是一种特别的数学表现。不仅如此，和谐的比例还贯穿于整个艺术、大自然和人生之中。毕达哥拉斯的门徒们相信星球距离地球也成简单整数比，它们绕地球运行时会发出美妙的球体音乐。开普勒（1571-1630）从音乐长久为人所尊敬的神奇比例中，发现天上行星运行的规则：从太阳的位置观察，土星在近日点时，是以每天 135 秒速度移动一个弧度距离，在远日点则只需 106 秒，这两个数字之比约为 5：4，恰等于产生大三度音程的两根弦的振动比例；而木星会产生一个小三度音程；火星则是完全五度音程。这样，每个星球似乎都会产生一个音乐上的比例数字。博伊西斯（475-524）则将和谐分为三个等级：最初级的是乐器的音乐，包括歌唱及乐器演奏出来的音乐；其次是人类的音乐，讲究身体与灵魂的调和、平衡与恰当的比例；最完美的调和是世界的音乐，包括行星的井然有序之运行、元素的适当比例混合、四季的循环以及大自然、宇宙的和谐。
2、“三分损益法”定音阶
定音阶的频率比就是要在1与2之间插入六个简单整数比：
，并使其中含有四度音及五度音。
毕达哥拉斯通过单弦琴的实验，调整弦的长度成特定整数比，就能够产生全部的音阶，即毕达哥拉斯音律的频率比如下：

事实上，毕达哥拉斯音律可以采用“三分损益法”（又叫 “管子法”）。公元前4世纪，管子一书的地圆篇记载有此法。所谓“三分损益法”就是交互使用了“三分损一法”（即去掉三分之一的长）以及“三分益一法”（即将所剩在增加三分之一的长）。即为：由一个音出发，其频率为1，“三分损一法”就是1乘以（长度之比的倒数），“三分益一法”就是将乘以，如此交互相生，得到

由小排到大就得到所谓的“五声音阶”

再补上

及第四音就得到毕达哥拉斯音阶(或叫七音音阶)：

二 乐谱上的分数
在乐谱中, 我们可以找到拍号、 单纯音符、附点音符等，莫不与分数息息相关。谱写乐曲要使音符适合于每音节的拍子数,这实质是分数求和的过程——在一个固定的拍子里,不同时值的音符必须使它凑成一个特定的节拍。
在每一首乐曲的开头部分,我们总能看到一个分数,比如 ,或等, 这些分数是用来表示不同拍子的符号，即拍号。其中分数的分子表示每小节中单位拍的数目,分母表示以几分音符为一拍。如，4/4表示以四分音符为一拍，每小节4拍。拍号一旦确定,那么每小节内的音符就要遵循由拍号所确定的拍数,这可以通过数学中的分数加法法则来检验。比如
和
就符合由拍号4/4和3/4分别所确定的拍数。因为
1/2+1/4+1/4=4/4,1/2+1/8+1/8=3/4;
而
和

不符合由拍号4/4和3/4分别所确定的拍数，因为
1/16+1/2+(1/4+1/8)=15/16≠4/4,1/8+1/2=5/8≠3/4。
这些看似简单的要求正是音乐作曲的基础。（刘卫锋、王尚志，2005：20）
关于识读乐谱，《义务教育音乐课程标准》（实验稿）中3-6年级的教学目标提出：“结合所学歌曲认识音名、音符、休止符及一些常用记号。”并且在教学建议中提到“乐谱是记载音乐的符号，是学习音乐的基本工具。要求学生具有一定的识谱能力，有利于进行音乐表演和创造等教学活动。”因此，学生学习了一定的乐谱基础知识，那么其背后的数学也是能够引导学生领略到的。

事实上，随着对数学与音乐关系之认识的不断加深，以数学计算代替作曲，已成为现代作曲家的一种创作方式。创作乐曲乃是将作曲的过程公式化，把音程、节奏、音色等素材都编成数码，然后按照需求发出指令，以计算器的功能进行选择，再将其结果编写成乐曲并演奏出来。除了上述数学与音律、乐谱的明显联系外, 音乐还与指数、 曲线、 周期函数以及计算机科学等相关联。如今，在音乐理论、音乐作曲、音乐合成、电子音乐制作等等方面,都需要数学。在音乐界,有一些数学素养很好的音乐家为音乐的发展做出了重要的贡献。所以，对音乐表演和创造有爱好或特长的学生如果能学好数学，必然能更好地为从事音乐事业作预备。