八年级下册数学复习专题.doc
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八年级下册数学复习专题 八年级下册数学复习资料 姓名 第一章 直角三角形 1、直角三角形的性质: ①直角三角形的两锐角互余 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。 如图,在ABC中,∵CD是斜边AB的中线,∴。 例·直角三角形斜边长20cm,则此斜边上的中线为 . ③在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角 边等于斜边的一半。 如图,在ABC中,∵∠A=30°,∴。 例·在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,则下列结论中正确的是( )。 A.AB=2BC B.AB=2AC C.AC2+AB2=BC2 D.AC2+BC2=AB2 ④在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么 这条直角边所对的角等于30°。 如图,在ABC中,∵,∴∠A=30°。 例·等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则顶角的度数是 。 ⑤勾股定理及其逆定理 (1)勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等 于斜边c的平方,即。 求斜边,则;求直角边,则或。 例·如图是拉线电线杆的示意图。已知CD⊥AB,,∠CAD=60°,则拉线AC的长是________m。 例·若一个直角三角形的两边长分别为6和10,那么这个三角形的第三条边长是______。 (2)逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系,那么这个三角形是直角三角形 。 分别计算“”和“”,相等就是,不相等就不是。 例·在Rt△ABC中,若AC=,BC=,AB=3,则下列结论中正确的是( )。 A.∠C=90° B.∠B=90° C.△ABC是锐角三角形 D.△ABC是钝角三角形 例·一块木板如右图所示,已知AB=4,BC=3,DC=12,AD=13,,木板的面积为 。 例·某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园,如图所示,∠ACB=90°,AC=80米,BC=60米,若线段CD是一条小渠,且D点在边AB上,已知水渠的造价为10元/米,问D点在距A点多远处时,水渠的造价最低?最低造价是多少? ⑥直角三角形性质与勾股定理运用的常见图形 例·如图,梯子AB靠在墙上,梯子的底端A到墙根O的距离为7m, 梯子的顶端B到地面的距离为24m,现将梯子的底端A向外移动到A′, 使梯子的底端A′到墙根O的距离等于15m.同时梯子的顶端B下降 至B′,那么BB′的长度是多少? 例·如图,放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm,灯罩BC长为30cm,底座厚度为2cm,灯臂与底座构成的∠BAD=60°,使用发现,光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°,此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm?(结果精确到0.1cm,参考数据:≈1.732) 2、直角三角形的判定 ①有两个角互余的三角形是直角三角形 ②在三角形中,如果一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 ③如果三角形的三边长a、b、c有关系,那么这个三角形是直角三角形 。 例·若一个三角形三边满足,则这个三角形是 三角形. 例·若∠A:∠B:∠C=2:3:5,则△ABC是_________三角形 例·已知a,b,c是三角形的三边长,如果满足2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0,则三角形的形状是( ) A、底与边不相等的等腰三角形 B、等边三角形 C、钝角三角形 D、直角三角形 3、直角三角形全等 方法:SAS、ASA、SSS、AAS、HL。 例·如图,在ΔABC中,D为BC的中点,DEBC交∠BAC的平分线AE于点E,EFAB于点F,EGAC的延长线于点G。 求证:BF=CG。 4、角平分线的性质 角平分线的性质定理: 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 如图,∵AD是∠BAC的平分线(或∠1=∠2),PE⊥AC,PF⊥AB ∴PE=PF 角平分线判定定理:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 例·如图,在ΔABC中,∠C=90°∠ABC的平分线BD交AC于点D, 若BD=10厘米,BC=8厘米,DC=6厘米,则点D到直线AB的距 离是________厘米。 例·如图:在△ABC中,O是∠ABC与∠ACB的平分线的交点。 求证:点O在∠A的平分线上。 例·如图,在△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC交BC于D,BC=10cm,CD=6cm,则点D到AC的距离是: 。 例·如图,在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,AB=5,点P是三角形内桑内角平分线的交点,则点P到AB的距离是: 。 第1题 第2题 5、线段垂直平分线 线段垂直平分线:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 。 如图,∵CD是线段AB的垂直平分线, ∴PA=PB 例·如图,△ABC中,DE是AB的垂直平分线,AE=4cm,△ABC的周长是18 cm,则△BDC的周长是__。 例·已知:如图,求作点P,使点P到A、B两点的距离相等, 且P到∠MON两边的距离也相等. O N M · · A B 第二章 四边形 1、多边形内角和公式:n边形的内角和=(n-2)·180º 任意多边形外角和等于360º 四边形具有不稳定性,三角形具有稳定性。 例·一个多边形的内角和为12600,它是 边形。 例·已知一个多边形的内角和是外角和的5倍,它是 边形。 2、中心对称:(在直角坐标系中即关于原点对称,其横、纵坐标都互为相反数) 成中心对称的两个图形中,对应点得连线经过对称中心,且被对称中心平分 会画与某某图形成中心对称图形 会辨别图形、实物、汉字、英文字母、扑克等是否中心对称图形 例·下列几张扑克牌中,中心对称图形的有________张 例· 在字母C、H、V、M、S中是中心对称图形的是 例·下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A: 等边三角形 B : 平行四边形 C: 等腰梯形 D : 矩形 例·下列图案是中心对称图形,不是轴对称图形的是( ). 例·如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)和点A1. 画出△ABC关于点的中心对称图形. 3、三角形的中位线 三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。 如图,在⊿ABC中,∵E是AB的中点,F是AC的中点, ∴EF是⊿ABC的中位线 ∴EF‖BC, 例·如图,□ABCD中,对角线AC、BD交于点O,点E是BC的中点.若OE=3 cm,则AB的长为 例·已知△ABC三边的长分别为10、12、16,那么这个三角形的三条中位线所围成的三角形的周长等于( ) A、 38 B、19 C、17 D、21 4、特殊四边形的性质与判定 平行四边形的性质: 边(对边相等且平行) 角(对角相等,邻角互补) 对角线(对角线互相平分) 不是轴对称图形,是中心对称图形 平行四边形判定: 定义判定:两组对边分别平行的四边形是平行四边形 如图,∵ AB‖CD,AD‖BC,∴四边形ABCD是平行四边形 方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 如图,∵ AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形 方法2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 如图,∵∠A=∠C,∠B=∠D,∴四边形ABCD是平行四边形 方法3 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 如图,∵ AB‖CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形 或∵AD‖BC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形 方法4 对角线互相平分的四边形是平行四边形 如图,∵ OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形 例·如图,在□ABCD中,点E是AD的中点,BE的延长线与CD的延长线交于点F。试连结BD、AF,判断四边形ABDF的形状,并证明你的结论. 例·如图,已知BE∥DF,∠ADF=∠CBE,AF=CE,求证:四边形DEBF是平行四边形. 矩形的性质:边(对边相等且平行) 角(四个角都是直角) 对角线(对角线互相平分且相等) 是轴对称图形,也是中心对称图形 矩形的判定: 定义判定:有一个角是直角的平行四边形是矩形 方法1 有三个角是直角的四边形是矩形 方法2 对角线相等的平行四边形是矩形 例·如图,△ABC中,点O为AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F,交∠ACB内角平分线CE于E. (1)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论; (2)猜想△ABC是何形状三角形时,矩形AECF会是正方形?并证明你的结论。 例·如图16,矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于点E,AD=8,AB=4,则DE的长为 。 例·如图所示,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=2,则矩形的对角线AC的长是 . 菱形的性质:边(四条边相等) 角(对角相等,邻角互补) 对角线(对角线互相平分且垂直) 是轴对称图形,也是中心对称图形 菱形的面积等于两条对角线的长度乘积的一半 菱形的判定: 定义判定: 一组邻边相等的平行四边形是菱形 方法1 四边都相等的四边形是菱形 方法2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 例·已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F. A B C D F E 求证:四边形AFCE为菱形 O 例·矩形ABCD的对角线相交于O,AB=6,AC=10,则面积为 例·菱形的周长为20,一条对角线长为6,则其面积为 正主形的性质:边(四条边相等) 角(四个角都是直角) 对角线(对角线互相平分且垂直相等) 是轴对称图形,也是中心对称图形 正方形的判定: 定义判定: 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 方法1 有一个角是直角的菱形是正方形 方法2 有一组邻边相等的矩形是正方形 例·正方形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A: 对角线互相平分 B对角线相等 C:对角线平分一组对角 D:对角线互相垂直 例·顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是 例·如图,把一个长方形纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个正方形,剪刀与折痕所成的角的度数应为( ) A.60°B.30° C.45° D.90° 例·下列说法错误的是( ) A对角线互相垂直平分的四边形是菱形 B对角线平分且相等的四边形是矩形 C:对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D对角线互相平分的四边形是平行四边形。 例·如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE, 则∠AEB=_______. 例·如图为四边形、平行四边形、矩形、正方形菱形、梯形集合示意图,请将字母所代表的图形分别填入下表: A B C D E F 5、平面图形的镶嵌 关键:围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。 例·只用下列正多边形地砖中的一种,能够铺满地面的是( ) A.正十边形 B.正八边形 C.正六边形 D.正五边形 例·在下列四种边长均为a的正多边形中:正方形、正五边形、正六边形、正八边形。能与边长为a的正三边形作平面镶嵌的是 . 第三章 图形与坐标 1、有序实数对(4,2) 4-横坐标 2-纵坐标 2、平面直角坐标系 (横轴X轴) (纵轴Y轴) (原点O)(方向) (单位长度) 第一象限(+,+) 第二象限(—,+) 第三象限(—,—) 第四象限(+,—) 例·在平面直角坐标系中,点P(-2,3)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 例·若点P(a,b)在第四象限,则点Q(-a,b-1)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3、方位角:北偏西60° 南偏东30° 4、点的对称性: 关于x轴对称的点,横坐标相反,纵坐标相等; 关于y轴对称的点,横坐标相等,纵坐标相反; 关于原点对称的点,横、纵坐标都相反。 若直角坐标系内一点P(a,b),则P关于x轴对称的点为P1(a,-b), P关于y轴对称的点为P2(-a,b),关于原点对称的点为P3(-a,-b)。 解题方法:相等时用“=”连结,相反时两式相加=0。 例·点M(2,-3)关于y轴的对称点N的坐标是( ) A.(-2,-3) B.(-2,3) C.(2,3) D.(-3,2) 例·如果点P(m + 3,m + 1)在x轴上,则点P坐标为 ( ) A.(0,-2) B.(2,0) C.(4,0) D.(0,-4) 例·已知A、B两点的坐标分别是(-2,3)和(2,3),则下面四个结论:① A、B关于轴对称;② A、B关于轴对称;③ A、B关于原点对称;④A、B之间的距离为4。其中正确的有 个。 例·已知点A(m-1,3)与点B(2,n-1)关于轴对称,则m= ,n= 。 例·已知点P(3,-1)关于轴对称点Q的坐标是(a+b,1-b),则的值是 。 5、坐标平移: 左右平移:横坐标右加左减,纵坐标不变; 上下平移:横坐标不变,纵坐标上加下减。 例如:若直角坐标系内一点P(a,b)向左平移h个单位,坐标变为P(a-h,b),向右平移h个单位,坐标变为P(a+h,b);向上平移h个单位,坐标变为P(a,b+h),向下平移h个单位,坐标变为P(a,b-h).如:点A(2,-1)向上平移2个单位,再向右平移5个单位,则坐标变为A(7,1). 例·将四边形ABCD先向左平移3个单位,再想上平移2个单位,那么点A(3,-2)的对应点的坐标是_____. 例·已知点A(m,n),把它向左平移3个单位后与点B(4,-3)关于轴对称,则m= ,n=__. 例·将点A(-3,5)先向下平移3个单位,再向左平移2个单位,所得的点的坐标是_______。 6、会建平面直角坐标系,用坐标表示相关位置 例·如图所示的象棋盘上,若位于点(1,-2)上,位于点(3,-2)上,则的坐标是 . O (A) B C D 7、平面上的点与 是一 一对应的。 例·若点P到X轴的距离为5,到Y轴的距离为3,且点P在第四象限,则点P的坐标为 例·如图,在平面直角坐标系中,□ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0,0),(5,0)(2,3),则顶点C的坐标是 8、在平面直角坐标系中会画轴对称、平移后的图形,并写出图形顶点的坐标。 例·在平面直角坐标系中描出点A(3,5)、B(1,1)、C(5,3)的位置,连成△ABC. ①作出△ABC关于轴对称的, 并写出三个顶点的坐标; ②作出△ABC关于原点O成中心对称 的,并写出三个顶点的坐标; ③将△ABC向左平移6个单位长度,画出平 移后的,并写出三个顶点的坐标; 例·如图,第一个正方形的顶点A1(-1,1),B1(1,1); 第二个正方形的顶点A2(-3,3),B2(3,3);第三个正 方形的顶点A3(-6,6),B3(6,6);….按顺序取点A1, B2,A3,B4,A5,B6,…,则第10个点应取点B10, 其坐标为 ;第(n为正整数)个点应取点 , 其坐标为 . 第四章 一次函数 1、函数自变量的取值: 整式取全体实数,分式则分母不为0,二次根式则根号下的数0. ·函数的自变量的取值范围是 函数的自变量的取值范围是 ·函数的自变量的取值范围是 函数的自变量的取值范围是 ·下列不表示函数图象的是 ( ) 2、一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线(含正比例函数y=kx). ·下列函数解析式,,,中是一次函数的 有 ①求k的取值: y随x增大而增大则k>0;y随x增大而减小则k<0.再解出不等式。 ·若函数是正比例函数,k ,a= 。 ·若正比例函数中,y随x的增大而减小,则m的值是 。 ·若函数是一次函数,则= 且y随x的增大而 ②求函数图像经过的象限:在y=kx+b中,k>0过一、三象限;k<0过二、四象限。b>0向上移;b<0向下移。可得出。 ·一次函数的图象经过第 象限 ·若一次函数的图象不经过第二象限则的取值范围是 ·一次函数的图象经过原点,则m的值为 ③一次函数y=kx+b(k≠0)的图象平移的方法: b的值加减即可(加是向上移,减则下移)。 ·直线是由 向 平移2个单位得到的。 ·将直线向下平移3个单位得到的函数解析式是 ④同一平面内两直线的位置关系:(例如: : ) 若且,则; 若,则。 ·直线和平行,则k= ·直线与的位置关系式 。 ⑤坐标轴上点的特征: x轴上的点纵坐标为0即(a,0);y轴上的点横坐标为0.即(0,b)。 ·直线与轴的交点坐标为 ,与轴的交点坐标为 。 ⑥面积公式: 当时,一次函数的图象与两条坐标轴围成的直角三角形的面积 ·直线 经过第 象限,它与两坐标轴围成的三角形面积是 。 ·已知一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积等于4,则一次函数的解析式为 。 ⑦用待定系数法求一次函数的解析式: 先设一次函数的表达式为y=kx+b,再将已知的两组x、y值代人列出二元一次方程组,求出k、b的值,再代回即可。 ·已知正比例函数的图象经过点P(2,5),求它的表达式。 ·已知一次函数的图象经过点(0,2)和(1,—1),求这个一次函数的表达式。 ·已知直线经过点A(—1,0)与点B(2,3),另一条直线经过点B,且与轴交于点P(m,0)。 ① 求直线的表达式; ②若ΔAPB的面积为3,求m的值。 3、一次函数与方程的关系 任何一个一元一次方程kx+b=0的解,就是一次函数y=kx+b的图像与轴交点的横坐标;一次函数y=kx+b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的一个解. ·已知一次函数,与的部分对应值如下表: —2 —1 0 1 2 3 6 4 2 0 —2 —4 那么方程的解是 ·把方程化成一次函数的形式是________________。 ·已知二元一次方程的一个解是,那么点一定不在( )。 A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第二象限 D.坐标轴上 ·二元一次方程组的解,即为函数__________和函数__________的图象交点的坐标。 五、数据的频数分布 1、频数与频率:频率=,各小组的频数之和等于总数,各小组的频率之和等于1。 ·某中学八年级有500名学生参加生物、地理会考考试成绩在80分至100分之间的共有180人,则这个分数段的频率是_______。 ·对150个数据进行整理得到频数分布直方图,测得所有表示频数的长方形的高之和为33cm,其中最大的长方形的为11cm,则这个最大的长方形的高所表示的频数为 . 2、频数分布直方图:会读图,计算并将直方图补充完整。 某学校为丰富课间自由活动的内容,随机选取本校100名学生进行调查, 调查内容是“你最喜欢的自由活动项目是什么”,整理收集到的数据,绘制成直方图,如图所示. ①喜欢“踢毽子”的学生有 人, 并在图中将“踢毽子”部分的条图形 补充完整. ②喜欢“跳绳”的频率是 ③该校共有800名学生,估计喜 欢“跳绳”的学生有 人. 六、辅助线作法 几何难在辅助线,虚线画图勿改变。如何添加辅助线?把握定理和概念。 图中有角平分线,可向两边作垂线。线段垂直平分线,常向两端把线连。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。 平行四边形出现,对称中心等分点。要证线段倍与半,延长缩短可试验。- 配套讲稿:
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