高二理科数学圆锥曲线单元测试.doc

高二年单元考试试卷（圆锥曲线）

一、选择题（60分）
1．已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2．平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点、的坐标分别为、. 若动点满足，其中、，且，则点的轨迹方程为
A. B.
C. D.
3．抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
4．椭圆的离心率是，则它的长轴长是（ ）
A. 1 B. 1或2 C. 2 D. 2或4
5．设经过点的等轴双曲线的焦点为，此双曲线上一点满足，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
6．抛物线有如下光学性质：由焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
7．已知点是椭圆的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（ ）
A. 2 B. C. 0 D. 1
8．椭圆（）上存在一点满足， 为椭圆的左焦点， 为椭圆的右顶点，则椭圆的离心率的范围是（ ）
A. B. C. D.
9．把离心率的曲线称之为黄金双曲线．若以原点为圆心，以虚半轴长为半径画圆，则圆与黄金双曲线（ ）
A. 无交点 B. 有1个交点 C. 有2个交点 D. 有4个交点
10．已知，则方程是与在同一坐标系内的图形可能是 ( ）

A B C D
11．设直线与抛物线相交于、两点，抛物线的焦点为，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
12．已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值是（ ）
A. B. C. 2 D. 3
二、填空题(20分)
13．已知是抛物线 的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．
14．抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于两点，若△为等边三角形，则＝________
15．已知椭圆 离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形面积为16，则椭圆的方程为_______________
16．设椭圆的左右焦点为，过作轴的垂线与相交于两点，与轴相交于，若，则椭圆的离心率等于 .

三、解答题
17（10分）．设命题：方程表示双曲线；命题：斜率为的直线过定点且与抛物线有两个不同的公共点．若是真命题，求的取值范围．

18（12分）．（1）已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4，求椭圆的标准方程。
（2）已知双曲线过点,且渐近线方程为,求该双曲线的标准方程。

19（12分）．已知双曲线C： 的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点。
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的A，B两点，求AB的长。

20（12分）．过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，当点的纵坐标为1时， .
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线的斜率为2，问抛物线上是否存在一点，使得，并说明理由.

21（12分）．已知椭圆过点，两个焦点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）是椭圆上的两个动点，①如果直线的斜率与的斜率之和为2，证明：直线恒过定点.

22（12分）．已知椭圆的离心率为，点， ， 分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线： 被圆： 所截得的弦长为，若直线与椭圆交于， 两点，求面积的最大值．

参考答案
1．D
【解析】由题得c=5,则 ，即a=3,所以双曲线的渐近线方程为 ，即 ，故选D
2．C
【解析】设 ,则
因此,选C.
3．B
【解析】∵横坐标为6的点到焦点的距离是10，∴该点到准线的距离为10，
抛物线的准线方程为 ，
∴
故选B．
4．D
【解析】把椭圆方程转化为：
分两种情况：①时椭圆的离心率
则： 解得：m=进一步得长轴长为4
②时
椭圆的离心率 ，则：长轴长为2
故选：D
点睛：在椭圆和双曲线中，焦点位置不确定时，勿忘分类讨论.
5．D
【解析】设等轴双曲线方程为 ,因为过点,所以
从而
,选D.
6．A
【解析】令y=1,代入，得 ，即,由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1,0),所以 直线的斜率为，故选A
【答案】A
【解析】椭圆，即为，则椭圆的，则由为的中线，即有，则，可设，则，即有，当时，取得最小值，则的最小值为，故选A.
8．C
【解析】设，则由得 ，因为
，所以
，选C.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
9．D
【解析】由题意知，所以，因为，所以，所以，所以圆与黄金双曲线的左右两支各有2个交点，即圆与黄金双曲线由4个交点，故选D.
10．A
【解析】方程即，表示抛物线，方程表示椭圆或双曲线，当和同号时，抛物线开口向左，方程表示椭圆，无符合条件的选项，当和异号时，抛物线开口向右，方程表示双曲线，故选A.
11．B
【解析】设 ，因为，所以由抛物线定义得
，选B.
12．A
【解析】
如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：
,
，
设,
则，在中根据余弦定理可得到

化简得：
该式可变成：
,
故选
点睛：本题综合性较强，难度较大，运用基本知识点结合本题椭圆和双曲线的定义给出与、的数量关系，然后再利用余弦定理求出与的数量关系，最后利用基本不等式求得范围。
13．【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．

点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
14．
【解析】由抛物线可知焦点，准线，由于△为等边三角形，设AB与y轴交于M,FM=P,,即，填。
【点睛】
对于圆锥曲线要先定位，再定量，本题的抛物线焦点是在y轴正半径。所以求出抛物线的焦点坐标与准线方程，再把准线方程与双曲线组方程组算出B点坐，再由等边三角形，可解的P,
15．
【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为
∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4， 在椭圆上，
，
∴椭圆方程为：
故答案为：
16．
【解析】
试题分析：连接，∵，为的中点，∴为的中点，又，∴.∴.设，则，，∴.

考点：椭圆离心率.
【方法点晴】本题考查的是椭圆的几何性质（离心率问题），属于中档题.本题的切入点就在原点上，利用平行关系，推出点也是中点，从而思路豁然开朗.解析几何的中心思想就是数形结合，善于抓图像的性质，是解好解析几何题的关键所在，特别是小题.离心率问题是重点题型，主要思路就是想方设法去建立的等或者不等的关系即可.
17．
【解析】试题分析：（1）命题p中式子要表示双曲线，只需，对于命题q：直线与抛线有两上不同的公共点，即设直线与抛物线方程组方程组，只需，解出两个不等式（组）中k的范围，再求出交集。
试题解析：命题真，则，解得或，
命题为真，由题意，设直线的方程为，即，
联立方程组，整理得，
要使得直线与抛物线有两个公共点，需满足，
解得且
若是真命题，则
所以的取值范围为
18．（1） （2）
【解析】试题分析：（1）由已知，先确定 的值，进而求出 ，可得椭圆的标准方程
（2）由已知可得双曲线焦点在轴上且，将点代入双曲线方程，可求出，即得双曲线的标准方程
试题解析：
（1）由椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4，得，即
（2）试题分析：由双曲线渐近线方程可知双曲线方程可设为，代入点得，所以双曲线方程为
考点：双曲线方程及性质
19．（1）（2）
【解析】试题分析：（1）由椭圆过点(，0)得a，再由离心率求c，最后根据勾股数求b;（2）先根据点斜式写出直线l方程，再与双曲线联立方程组，消y得关于x的一元二次方程，结合韦达定理，利用弦长公式求AB的长
试题解析：（1）因为双曲线C： 的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，所以，即（2）经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线l： 与双曲线联立方程组消y得 ，由弦长公式解得
点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法
涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法
20．（1）；（2）存在点.
【解析】【试题分析】（1）运用抛物线的定义建立方程求出；（2）借助题设条件建立方程，再运用根与系数的关系得到方程，通过对判别式的研究发现有解，即所设的点存在：
解：（1）由抛物线的定义可得，故抛物线方程为；
（2）假设存在满足题设条件的点，则设直线代入可得设，则。因为，则由： ，即，也即，所以，由于判别式，此时，则存在点，即存在点满足题设。
21．(1) ；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：
(1)由题意得到a,b的值即可确定椭圆方程；
(2)设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理分类讨论即可证得题中的结论.
试题解析：
（1）由题意可得： ，则椭圆的方程为
（2）设，直线方程为，
，得：
由韦达定理： ， ，
由题意可知，即
∴
即

∴或
当时，直线方程恒过定点
当时，直线方程恒过定点与点重合，
不合题意舍去，
综上所述，直线恒过定点.
点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
22．（1）（2）当，即时， 面积取到最大值1．
【解析】试题分析：利用离心率可以得出的关系，化为的关系，再利用的面积列出的方程，借助解出，写出椭圆方程，联立方程组，化为关于的一元二次方程，利用设而不求思想，借助根与系数关系，利用弦长公式表示出弦长，写出面积，利用换元法和配方法求出最值.
试题解析：
（1）由题意，椭圆的焦点在轴上，设椭圆标准方程为，则，所以，即，可得，
，
∴，∴， ，
所以椭圆的方程为．
（2）由题意知，圆心到直线的距离为1，即，所以．　
由消去，得，
∴，所以，
设， ，则， ，
所以
，
所以的面积为 ，
令，
则，
所以当，即时， 面积取到最大值1．
【点睛】求椭圆的标准方程一边采用待定系数法，即列出两个关于的方程，再借助，解方程组求出；最值和范围问题、定点定值问题、存在性问题时直线与圆锥曲线位置关系中常见的考题，也是高考高频考点，本题为最值问题，先设出直线与曲线的焦点坐标，设而不求，联立方程组，利用根与系数关系，表示弦长和面积，最后求最值.