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第4节一、平面及其方程平面及其方程二、直线及其方程二、直线及其方程三、两直线及两平面的夹角三、两直线及两平面的夹角 平面与直线 第七章 一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称式为平面的点法式方程点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有 故例例1.1.求过三点即解解:取该平面 的法向量为的平面 的方程.利用点法式得平面 的方程此平面的三点式方程三点式方程也可写成 一般情况一般情况:过三点的平面方程为说明说明:特别特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程截距式方程.时,平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即二、平面的一般方程二、平面的一般方程设有三元一次方程 以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程与此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是法向量为 方程方程.特殊情形特殊情形 当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示 通过原点通过原点的平面;当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量平面平行于 x 轴;A x+C z+D=0 表示 A x+B y+D=0 表示 C z+D=0 表示 A x+D=0 表示 B y+D=0 表示平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xOy 面 的平面;平行于 yOz 面 的平面；平行于 zOx 面 的平面.例例2.求通过 x 轴和点(4,3,1)的平面方程.例例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.解解:因平面通过 x 轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为即两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角.特别有下列结论：特别有下列结论：因此有例例4.一平面通过两点垂直于平面:x+y+z=0,求其方程.解解:设所求平面的法向量为即的法向量约去C,得即和则所求平面故方程为 且外一点,求例例5.设解解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d.,则P0 到平面的距离为(点到平面的距离公式)例例6.解解:设球心为求内切于平面 x+y+z=1 与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且因此所求球面方程为四面体的球面方程.故内容小结内容小结1.平面平面基本方程:一般式点法式截距式三点式2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:备用题备用题求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程.解解:已知二平面的法向量为取所求平面的法向量 则所求平面方程为化简得三 空间直线方程1.空间直线的一般方程 空间直线方程通常用两个平面的交线来刻画：空间直线的点向式方程与参数方程平面束