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《高等数学》第四册(数学物理方法)
第一章 复数与复变函数（1）
1.计算

3.设试用三角形式表示及。
解：

11.设三点适合条件及试证明是一个内接于单位圆的正三角形的顶点。
证明：
所组成的三角形为正三角形。
为以为圆心，1为半径的圆上的三点。
即是内接于单位圆的正三角形。
.
17.证明：三角形内角和等于。
证明：有复数的性质得：
Z3

y

o

Z1

Z2

x

第一章 复数与复变函数（2）
7.试解方程。
解:由题意,所以有;
;所以;
;;;.
12．下列关系表示的z点的轨迹的图形是什么？它是不是区域？

解：此图形表示一条直线，它不是区域。

解：即此图形为的区域。

解：此图形为的区域。

解：此图形表示区间辐角在的部分。

解：表示半径为1的圆的外上半部分及边界，它是区域。

解：它表示虚部大于小于等于的一个带形区域。

解：此图形表示两圆的外部。

解：，，它表示两相切圆半径为的外部区域。

解：此图形表示半径为2的圆的内部，且的部分，它是区域。
）
解：此图象表示半径为2的圆的内部且辐角主值在的部分，它是区域。
第二章 解析函数（1）
4.若函数在区域D上解析，并满足下列的条件，证明必为常数.

证明：因为在区域上解析，所以。
令，即。
由复数相等的定义得：，。
所以，(常数) ，(常数)，即为常数。
5 .证明函数在平面上解析，并求出其导数。
（1）
证明：设=
则，
；
；
满足。
即函数在平面上可微且满足条件，故函数在平面上解析。

8．由已知条件求解析函数， ，。
解：， 。
所以即是平面上调和函数。由于函数解析，根据条件得，于是，,其中是x的待定函数，再由C—R条件的另一个方程得=，
所以，即。于是
又因为，所以当，时，得
所以。
第二章 解析函数（2）
12.设是的解析函数，证明， 。
证明：是z上的解析函数，所以，在上处处可微，即，，
所以，，所以，
同理，，所以，
即得所证。
14.若，试证：（1）。
证：
=
=

18.解方程。
解：，
即，设
，得，即。
20.试求及。
解：
，

22，求证
证: (x,y,均为实数)，所以
当则极限趋近于z轴，有
当时，则极限趋于z轴，有，
故。
第三章 柯西定理 柯西积分（1）
1.计算积分积分路径是直线段。
解：令，则：
。
2.计算积分路径是（1）直线段，（2）右半单位圆，（3）左半单位圆。
解：，

，则

，

5.不用计算，证明下列分之值为零，其中为单位圆。
（1），（2），（3），
解：（1）因为函数在单位圆所围的区域内解析，所以。
（2）因为函数在单位圆内解析，所以。
（3）

6.计算，，，。
解：。
。
。
。
7.由积分之值，证明，其中取单位圆。
证明：因为被积函数的奇点在积分围道外，故，现令，则在上，，

，
比较可得：，
。
第三章 柯西定理 柯西积分（2）
8.计算：
（1）。
解：
。
10.设表圆周，，求。
解：设，它在复平面内解析，故当时，则由哥西积分公式有，所以
。
11.求积分从而证明：。
解：由于，函数在处不解析，。
令，则
，故
，所以
，即
。
13.设，利用本章例5验证哥西积分公式以及哥西求导公式。提示：把写成。
证明：设，则式的右边为可写为：
由哥西积分定理有：
，所以右边，
即 左边=右边。
再由式子可知当时，，成立。
假设当时，等式成立。则
当时，成立。
所以。
14.求积分（1），（2），其中
解：（1）被积函数有奇点，该奇点在积分围道内，由哥西积分求导公式有：

第四章 解析函数的幂级数表示（1）
2.将下列函数展为含的幂级数，并指明展式成立的范围：
（1），（2），
（3），（4）, (5)(6)，
（1）解：原式=
（2）解：原式= |z|<∞
（3）解：原式= |z|<∞
（4）解：原式= |z|<∞
（5）解：原式= |z|<∞
（6）解；原式= |z|<1
4．写出的幂级数至少含项为止，其中。
解：，
两式相乘得

5．将下列函数按的幂展开，并指明收敛范围：
（1）， （2），
（3）， （4），
解：（1）原式=

（2）原式=

（3）

（4）解：原式
6．设，证明，指出此级数展式之前5项，并指出收敛范围。
解：（），

）
原式=
第四章 解析函数的幂级数表示（2）
9．将下列函数在指定环域内展成罗朗级数：
（1）
解：原式
在内，上式
在内，上式
(2)，
解：原式

（3）
解：原式
（4），
解：当时，原式=
当时，原式=
（5），。
解：
。
10．将下列各函数在指定点的无心邻域内展成罗朗级数，并指出成立的范围：
（1） ，其中。
解：

（2） ，
解：，
11．把展成下列级数：
（1）在上展成的泰勒级数。
解：， 。
(2)在上展成的泰勒级数。
解；，
(3)在上展成的泰勒级数。
解：原式， ||<1
(4)在上展成的泰勒级数。
解：原式
12．把展成在下列区域收敛的罗朗或泰勒级数：
（1），
解：原式，
（2）
解：原式，
（3）
解：原式，
（4）
解：原式，
（5）
解：原式
，
（6）
解：原式
。
（7）
解：原式

第四章 解析函数的幂级数表示（3）
13．确定下列各函数的孤立奇点，并指出他们是什么样的类型，对于无穷远点也要加以讨论：
（1）
解：孤立奇点为：，
对于原式=Z为一阶极点
，原式=为二阶极点，
同理：也为二阶极点。
对，原式=，由于，即为可去奇点。
（2）
解：，为二阶极点。
即为可去极点。
(3)
解；，为一阶极点。
即为可去极点。
(4)
解：为本性极点。
即在无穷远点为可去极点。
(5)
解：z=0，即z=0时，有(m-1)阶极点，
即无穷远点为可去极点。
(6)
解：，即无穷远点为可去极点。
(7)
解：，，
(k=0,, )一阶极点，
不存在，为本性极点。
(8)
解：，， ,一阶极点。
即可去极点。
(9)
解：，三阶极点，

(10)
解： ,,一阶极点，>不存在
(11)
解：，为本性奇点，即为可去奇点。
(12)
解：，一阶极点，可去奇点。
14.设分别以为阶极点，试问为的什么样的特点。
解；设
（1）
(m+n)阶极点 （2）
(3)
所以
当m≠n时 z=a为f+g的max{m,n}阶极点
当m=n时
15.设，且以为解析点或极点，而以为本性奇点，证明是，，的本性奇点。
证明：设
显然其中主要部分有无限项。
所以z=a是±f(z)+ (z)的本性奇点。

所以z=a是f(z)(z)及的本性奇点。
16．讨论下列函数在无穷远点的性质。
(1)
解： 二阶极点。
(2)
解：可去极点。
(3)
解：

由上得：=±1
从而得：z=∞为本性奇点。
(4)
解： 可去奇点。
第五章 残数及其应用（1）
1. 求下列函数在指定点处的残数.
在
解:当时，=,
当时，.
求时的残数，用残数和定理，即,
,
在
解:由题可知,是本题的极点，将用罗朗展开得:
=，求， 。
(3)在.
解:将原式用罗朗展开得：=，,根据残数和定理，.
(4)在,
解: 的奇点为1，将用罗朗展开式展开得：
所以,,
根据残数和定理得：
2.求下列函数在其孤立奇点(包括无穷远点)处的残数(是自然数).

解:将式子用罗朗展开，当.
当m为奇数时，残数为0，当为偶数时,,根据残数和定理,

(2)
解：是函数的一阶极点。
当时，
，

解:本题是以为阶极点，以为其一阶极点.
-

根据残数和定理得:
-+=0
(4)
解:是以为二阶极点，

根据残数定理和得:.

解:用罗朗展开式展开得：本题以为一阶极点.
=
当时有解,则，，所以,根据残数和定理得：-

解:本题以为其孤立齐点.

解：本题以为奇点。
用罗朗展开式得：
原式得：，所以

解：本题以为阶极点。所以
=
第五章 残数及其应用（2）
3．计算下列积分。

解：用残数方法求，用罗朗展式展开，
由上式可已看出没有符合残数要求的项，所以，即=0。

解：用残数方法求解，
在有 二阶极点，i有一阶极点.
(z+i)
(3),,n为自然数。
解：分别以为其阶极点。
=，=
当为偶数时，=
当为奇数时，=0
（4）
解：在围线内，有两个不解析点，
，
即=
（5）
（6）
解：本题以为其一阶极点。
=， =。
即=-=-=
4．求下列积分值。
(1)(a>1)
解:=
由于分母有两个一阶极点:,,很明显只有
所以只有符合题意，所以,
即==
(2)
解：原式等于=
在时,只有的一个一阶极点.
，所以,=2
(3) (>0)
解:原式===-
令，则为其二阶极点.所以

即=
(a为是实数而且)
解：=-=

5．求下列个积分的值。
（1）
解：函数在上半平面有两个一阶极点：。
，
所以，=
（2）
解：函数在上半平面有一个二 阶极点。
=
所以，=
（3）
解：因为是偶函数。所以=令=
在上半平面有两个极点。

所以，=
(4) (m>0,a>1)
解：由于是偶函数，而且在上半平面只有两个一阶极点：

同理，
所以，=
（5）
解：=
函数=在上半平面有两个一阶极点：
而，
即=
第七章 一维波动方程的傅氏解
1． 今有一弦，其两端被钉子钉紧，作自由，它的初位移为：
，初速度为0，试求其付氏解，其中h为已知常数。
解：所求问题是一维波动方程的混合问题：，根据前面分离变量解法得其傅氏解为：。
其中，，
，
于是所求傅氏解为：
2.将前题之初始条件改为：，试求其傅氏解。
解：所求问题为一维波动方程的混合问题：

。

3今有一弦，其两端和为钉所固定，作自由摇动，它的初位移为0。初速度为
，其中为常数，试求其傅氏解。
解：所求问题为一维波动方程的混合问题：

４．今有一弦，其两端固定在和两处，在开始一瞬间，它的形状是一条以过
点的铅垂线为对称抛物线，其顶点的纵坐标为h,假定没有初速度，试用付氏方法求弦的振动情况：
解：设其抛物线方程为，将点代入得：
，故方程为，即
，
所求问题为一维波动方程的混合问题，
，

５求解混合问题。
解：，

。
6.求解混合问题。
解：所求问题为一维波动方程的混合问题：

第八章 热传导方程的付氏解
1.一根长为的枢轴，它的初温为常数，其两端的温度保持为0，试求在枢轴上温度的分布情况。
解：所求问题为热传导方程混合问题，其付氏解为：
，
其中：
故：
5．有一两端无界的枢轴，其初始温度为，试求在枢轴上的温度分布为。
解：所求问题为热传导方程初值问题，
其付氏解为：
=
=
=
=0
故：
6．利用前题的结果，证下面重要的定积分：。
解：由上题结论：
当时，
，
即：
令，则有：
即： 得证。
第九章 拉普拉斯方程圆的狄利克雷问题付氏解（1）
1、试证明拉普拉斯方程在极坐标下的形式为：。
证明：，
，

同理：
得到极坐标下二维拉普拉斯方程具有如下性质
。
2、求解狄利克雷问题，其中A，为已知常数。
解：其付氏解为：，
其中：

3、求解狄利克雷问题，其中A为已知常数。
解：其付氏解为：，
其中：
当n=1时，才有值
=

。
第九章 拉普拉斯方程圆的狄利克雷问题付氏解（2）
12、试证明：
证明：由
有 =
=
证得：
13、试证明：
证明：=

=
故证得：
第十章 波动方程的达氏解
2.验证满足波动方程。
证明：，，
而
代入等式成立。即为所证。
4.试求出方程的通解为，其中和为充分光滑的任意函数。
解：

把上面各式代入方程有：

即，
故为方程的通解。
5．试用行波法求解定解问题：。
解：将方程的两边对积分得：
再对积分得，其中和由定解条件确定。则有
所以

所以
第十一章 格林公式
3．求解圆的狄利克雷问题，其中A为常数。
解：由圆的狄利克雷积分公式，
本题中，于是，将上试中的分子与分母同除以，并记，得
。
另，则，
，，
一并代入上试中积分，于是得：

令分母为零，得到被积函数的奇点，，故在内有奇点和，且均是单极点，故有留数定理有：
，
则有：。
M0(x0, y0)

M2(-x0, -y0)

M1(-x0, y0)

M3(x0, -y0)

M(x, y)

r3

r1

r2

r

y

x

O

5.求区域：的格林函数，并由此求解狄利克雷问题其中为已知的连续函数。
解：

。
第十三章 Fourier变换
1． 求函数的Fourier变换。
解：由Fourier变换的定义有：

由函数的奇偶性有：，
（1） 若，，于是有：

（2） 若，则，于是有
，
得。
（3） 若，则：如果故有：
，
于是，同理如果，则。
2． 求函数的Fourier变换。
解：在中是偶函数，于是由Fourier变换公式有

3． 求解热传导方程的初值问题。
解：对定解问题各项以为变量施行Fourier变换，并记

则定解问题化为，它的解为

它的逆变换得：

则
第十四章 Laplace变换
1． 求下列函数的Laplace变换
（1），
解：由Laplace变换的定义有

（2），
解：由线性性质和上式有

2． 求下列函数的Laplace逆变换。
（1），（2），
解：（1）
又由，
所以

（2）因为，
取得即
，所以
3． 求解常微分方程初值问题。
解：记对方程中各项施行Laplace逆变换，注意应用微分性质并将初始条件代入，得
，该方程的解为，
将以0为中心展开为级数，得
因为
故有，
代入初始条件得
于是得
4.设有一初始温度为的单位长度的均匀杆，杆的侧面绝热，而两端的温度均保持零度，试求杆内的温度分布。
解：其定解问题为，这虽然是一有界问题，但由于的变换范围为及已知，故可用Laplace逆变换法求解，记

对方程和边界条件对于变量施行Laplace逆变换并代入初始条件得

解此非齐次的二阶微分方程得

取逆变换得
第十五章 球函数
1．试证
证明：
2．将函数，按勒让得多项式展开。
解：令，其中
因为是偶函数，故当为奇函数，即当时，，
于是
，，
于是
所以。
3．设有一半径为的球，球面上的电势分布为，求球内的电势分布。
解：其定解问题为，
令代入方程得在中的解，为

将其代入边界条件得

故由球函数的展开式立即可得