高二数学《圆锥曲线方程》知识点总结.doc

椭圆
双曲线
抛物线

定义
1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹
1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹

2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1）
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）
与定点和直线的距离相等的点的轨迹.

方

程
标准方程
(>0)
(a>0,b>0)
y2=2px
参数方程

(t为参数)
范围
─a£x£a，─b£y£b
|x| ³ a，yÎR
x³0
中心
原点O（0，0）
原点O（0，0）

顶点
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
(a,0), (─a,0)
(0,0)
对称轴
x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2b
x轴，y轴;实轴长2a, 虚轴长2b.
x轴
焦点
F1(c,0), F2(─c,0)
F1(c,0), F2(─c,0)

焦距
2c （c=）
2c （c=）

离心率

e=1
准线
x=
x=

渐近线

y=±x

焦半径
左加又右减

通径

2p
焦参数

P
圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
（1）椭圆：焦点在轴上时（），焦点在轴上时＝1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。
如（1）已知方程表示椭圆，则的取值范围为____（答：）；

（2）若，且，则的最大值是____，的最小值是___（答：）

（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。
如设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_______（答：）

（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。
如定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。
4.圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆（椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。
如（1）若椭圆的离心率，则的值是__（答：3或）；

（2） 双曲线（双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；两条渐近线：。
（3） 如 （1）双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于______（答：或）；

（3）抛物线（抛物线。
如设，则抛物线的焦点坐标为________（答：）；

6．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交
例如：直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；

（2）相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；
（3）相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。
如（1）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；

（3）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若4，则满足条件的直线有____条（答：3）；

7、焦半径
如（1）已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：）；
（2）已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；
（3）若该抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为_____（答：）；

（5）抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到轴的距离为______（答：2）；
（6）椭圆内有一点，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使 之值最小，则点M的坐标为_______（答：）；
10、弦长公式：
若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，
若分别为A、B的纵坐标，则＝，
若弦AB所在直线方程设为，则＝。
特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将 焦点弦转化为 两条焦半径之和 后，利用第二定义求解。

如（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）；

（2）过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：3）；

11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。
如（1）如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：）；

（2）已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：）；

特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！
13．动点轨迹方程：
（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；
（2）求轨迹方程的常用方法：
①直接法：直接利用条件建立之间的关系；
如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答：或）；
②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。
如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答：）；　
③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
如(1)由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为 （答：）；

（2）点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答：）；

(3) 一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；

④代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；
如动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________（答：）；

⑤参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。
如（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点，使，求点的轨迹。（答：）；

（2）若点在圆上运动，则点的轨迹方程是____（答：）；

（3）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________（答：）；

15.圆锥曲线中线段的最值问题：
例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________
(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。
分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。
（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。
解：（1）（2，）（2）（）
点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。
例2、F是椭圆的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。
（1）的最小值为
（2）的最小值为
分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题。
解：（1）4-
设另一焦点为，则(-1,0)连A,P

当P是A的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为4-。
（2）3 作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=，
∴
∴
当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为