高一数学必修一综合.doc

老梁试卷高一数学必修一综合
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（5.00分）已知集合A={x|x2＜16}，B={x|4﹣2x＞0}，则A∩B=（　　）
A．（﹣4，2） B．（﹣4，4） C．（﹣2，2） D．（﹣2，4）
2．（5.00分）函数f（x）=ln||的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
3．（5.00分）已知函数是奇函数，则f（a）的值等于（　　）
A． B．3 C．或3 D．或3
4．（5.00分）已知奇函数f（x），当x＞0时单调递增，且f（1）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围为（　　）
A．{x|0＜x＜1或x＞2} B．{x|x＜0或x＞2}
C．{x|x＜0或x＞3} D．{x|x＜﹣1或x＞1}
5．（5.00分）已知函数f（x）=logax（0＜a＜1）的导函数为f'（x），记A=f'（a），B=f（a+1）﹣f（a），C=f'（a+1），则（　　）
A．A＞B＞C B．A＞C＞B C．B＞A＞C D．C＞B＞A
6．（5.00分）已知函数，若x，y满足，则的取值范围是（　　）
A． B． C．（﹣1，1） D．[﹣1，1]
7．（5.00分）已知点（m，8）在幂函数f（x）=（m﹣1）xn的图象上，设，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c
8．（5.00分）已知函数f（x）=，g（x）=ex（e是自然对数的底数），若关于x的方程g（f（x））﹣m=0恰有两个不等实根x1、x2，且x1＜x2，则x2﹣x1的最小值为（　　）
A．（1﹣ln2） B．+ln2 C．1﹣ln2 D．（1+ln2）
9．（5.00分）某公司拟投资开发新产品，估计能获得10万元至100万元的投资收益，为激发开发者的潜能，公司制定产品研制的奖励方案：奖金y（万元）随投资收益x（万元）的增加而增加，同时奖金不超过投资收益的20%，奖金封顶9万元，若采用以下函数模型拟合公司奖励方案，则较适合的函数是（　　）
A．y=+2 B．y= C．y=+ D．y=4lgx﹣3
10．（5.00分）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx+c与函数y=（）x的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题）
11．已知log2x=log3y=log5z＜0，则、、由小到大排序为　 　．
12．已知函数（a＞0，且a≠1），若f（﹣3）＜f（4），则不等式f（x2﹣3x）＜f（4）的解集为　 　．
13．函数f（x）=，关于x的方程f（x）=kx﹣k至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为　 　．
14．已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f（x）＜0的解集是　 　．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是　 　．
三．解答题（共6小题）
15．已知定义域为R的函数f（x）=﹣+是奇函数
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性并证明；
（3）若对于任意的t∈（1，2），不等式f（﹣2t2+t+1）+f（t2﹣2mt）≤0有解，求m的取值范围．
16．（1）计算：；
（2）已知x+x=2，求的值．

17．已知函数f（x）=lg（x+1）﹣lg（1﹣x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性．

18．已知幂函数f（x）=在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣k，
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）当x∈（1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k的取值范围．

19．已知函数
（1）求函数f（x）的反函数f﹣1（x）；
（2）试问：函数f（x）的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若方程的三个实数根x1、x2、x3满足：x1＜x2＜x3，且x3﹣x2=2（x2﹣x1），求实数a的值．

20．如图所示，在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路AB围成的区域内计划建一条商业街，其起点和终点均在道路AB上，街道由两条平行于对称轴l且关于l对称的两线段EF、CD，及夹在两线段EF、CD间的弧组成．若商业街在两线段EF、CD上收益为每千米2a元，在两线段EF、CD间的弧上收益为每千米a元．已知，设∠EOD=2θ，
（1）将商业街的总收益f（θ）表示为θ的函数；
（2）求商业街的总收益的最大值．

老梁试卷高一数学必修一综合
参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（5.00分）已知集合A={x|x2＜16}，B={x|4﹣2x＞0}，则A∩B=（　　）
A．（﹣4，2） B．（﹣4，4） C．（﹣2，2） D．（﹣2，4）
【分析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：A={x|﹣4＜x＜4}，B={x|x＜2}；
∴A∩B=（﹣4，2）．
故选：A．
【点评】考查描述法、区间表示集合的概念，以及交集的运算．

2．（5.00分）函数f（x）=ln||的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据函数的奇偶性和函数值的特点即可判断
【解答】解∵，
∴f（﹣x）=ln||=﹣ln||=﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，排除A，C
当0＜x=e+1，则f（e+1）=ln||=ln|e+2|﹣lne＞0，故排除B，
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象的识别和判断，关键是掌握函数的奇偶性，以函数值的特点，属于基础题

3．（5.00分）已知函数是奇函数，则f（a）的值等于（　　）
A． B．3 C．或3 D．或3
【分析】根据f（x）为奇函数即可得出，从而可解出a=±1，从而可求出f（a）的值．
【解答】解：f（x）是奇函数；
∴；
整理得：（2a2﹣2）2x=0；
∴2a2﹣2=0；
∴a=±1；
a=1时，；
a=﹣1时，．
故选：C．
【点评】考查奇函数的定义，指数式的运算，以及已知函数求值的方法．

4．（5.00分）已知奇函数f（x），当x＞0时单调递增，且f（1）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围为（　　）
A．{x|0＜x＜1或x＞2} B．{x|x＜0或x＞2} C．{x|x＜0或x＞3} D．{x|x＜﹣1或x＞1}
【分析】先确定函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且f（﹣1）=0，再将不等式等价变形，即可得到结论．
【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）=0，
∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且f（﹣1）=0，
且﹣1＜x＜0或x＞1，f（x）＞0；
x＜﹣1或0＜x＜1，f（x）＜0；
∴不等式f（x﹣1）＞0，
∴﹣1＜x﹣1＜0或x﹣1＞1，
解得0＜x＜1或x＞2，
故选：A．
【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，关键利用函数上奇函数得到对称区间得单调性，属于基础题．

5．（5.00分）已知函数f（x）=logax（0＜a＜1）的导函数为f'（x），记A=f'（a），B=f（a+1）﹣f（a），C=f'（a+1），则（　　）
A．A＞B＞C B．A＞C＞B C．B＞A＞C D．C＞B＞A
【分析】设M坐标为（a，f（a）），N坐标为（a+1，f（a+1）），利用导数及直线斜率的求法得到A、B、C分别为对数函数在M处的斜率，直线MN的斜率及对数函数在N处的斜率，根据对数函数的图象可知大小，得到正确答案．
【解答】解：记M（a，f（a）），N（a+1，f（a+1）），
则由于B=f（a+1）﹣f（a）=，表示直线MN的斜率，
A=f′（a）表示函数f（x）=logax在点M处的切线斜率，
C=f′（a+1）表示函数f（x）=logax在点N处的切线斜率．
所以，C＞B＞A．
故选：D．
【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查会利用导数求过曲线上某点切线的斜率，掌握直线斜率的求法，是一道中档题．

6．（5.00分）已知函数，若x，y满足，则的取值范围是（　　）
A． B． C．（﹣1，1） D．[﹣1，1]
【分析】先求出函数y=f（x）的定义域（﹣1，1），并利用定义判断出函数y=f（x）为奇函数，利用复合函数的单调性判断出函数y=f（x）为减函数，由，得，可得到关于x、y的二元一次方程组，然后利用线性规划的知识可求出的取值范围．
【解答】解：由，得，解得﹣1＜x＜1，
所以，函数的定义域为（﹣1，1），关于原点对称，
任取x∈（﹣1，1），则﹣x∈（﹣1，1），，
所以，函数为奇函数，
令，
则内层函数在x∈（﹣1，1）上单调递减，
而外层函数y=lnu单调递增，由复合函数的单调性可知，函数为减函数，
由，得，
则有，化简得，
做出不等式组所表示的可行域如下图阴影部分区域所示，

而代数式表示连接可行域上的点（x，y）与定点P（﹣3，0）两点连线的斜率，
由斜率公式可得直线PC的斜率为，
直线PB的斜率为，
结合图形可知，的取值范围是（﹣1，1），
故选：C．
【点评】本题考察函数的奇偶性与单调性、以及线性规划，关键在于利用函数的单调性与奇偶性得到二元一次不等式组，然后利用线性规划求代数式的取值范围，属于中等题．

7．（5.00分）已知点（m，8）在幂函数f（x）=（m﹣1）xn的图象上，设，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【分析】由幂函数的定义可得m=2，n=3，f（x）=x3，且f（x）在R上递增，结合对数函数和幂函数的性质，即可得到a，b，c的大小关系．
【解答】解：点（m，8）在幂函数f （x）=（m﹣1）xn的图象上，
可得m﹣1=1，即m=2，
2n=8，可得n=3，
则f（x）=x3，且f（x）在R上递增，
由a=f（），b=f （ln π），c=f（），
0＜＜＜1，ln π＞1，
可得a＜c＜b，
故选：A．
【点评】本题考查幂函数的解析式和性质以及运用：比较大小，考查运算能力，属于中档题．

8．（5.00分）已知函数f（x）=，g（x）=ex（e是自然对数的底数），若关于x的方程g（f（x））﹣m=0恰有两个不等实根x1、x2，且x1＜x2，则x2﹣x1的最小值为（　　）
A．（1﹣ln2） B．+ln2 C．1﹣ln2 D．（1+ln2）
【分析】化简方程为f（x）=lnm，作函数f（x），y=lnm的图象，结合图象可知，存在实数m（0＜m≤1），使x2=e=m，可得x1﹣x2=m﹣lnm，令g（m）=m﹣lnm，利用导数可得g（m）≥g（）=，
【解答】解：∵f（x）=，∴f（x）＞0恒成立；
∴g[f（x）]=e f（x）=m，∴f（x）=lnm；
作函数f（x），y=lnm的图象如下，
结合图象可知，存在实数m（0＜m≤1），使x2=e=m
故x1﹣x2=m﹣lnm，令g（m）=m﹣lnm，则g′（m）=1﹣，
故g（m）在（0，]递减，在（，1）递增，∴g（m）≥g（）=，
故选：D．
【点评】本题考查了复合函数与分段函数的应用，同时考查了导数的综合应用及最值问题，应用了数形结合的思想及转化构造的方法．

9．（5.00分）某公司拟投资开发新产品，估计能获得10万元至100万元的投资收益，为激发开发者的潜能，公司制定产品研制的奖励方案：奖金y（万元）随投资收益x（万元）的增加而增加，同时奖金不超过投资收益的20%，奖金封顶9万元，若采用以下函数模型拟合公司奖励方案，则较适合的函数是（　　）
A．y=+2 B．y= C．y=+ D．y=4lgx﹣3
【分析】由设奖励函数模型为y=f（x），则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[10，100]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤9恒成立；③恒成立．然后对两个函数模型逐一分析，对三个条件全部满足的选取，三个条件有一个不满足则舍弃．
【解答】解：设奖励函数模型为y=f（x），则公司对函数模型的基本要求是：
当x∈[10，100]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤9恒成立；③恒成立．
①对于函数模型y=+2：
当x∈[10，100]时，f（x）是增函数，则f（x）max=f（100）=+2=5+2=7．
所以f（x）≤9恒成立．
因为函数=+在[10，100]上是减函数，所以[]max==＞．
即不恒成立．故该函数模型不符合公司要求．
②对于函数模型y=：
当x∈[10，100]时，f（x）是增函数，则f（x）max=f（100）==10＞9．
所以f（x）≤9不成立．故该函数模型不符合公司要求．
③于函数模型y=+=（x+）：
当x∈[10，100]时，f（x）是增函数，则f（x）max=f（100）=+=4+．
所以f（x）≤9恒成立．
因为函数=+在[10，100]上是减函数，所以[]max=+=＜．
即恒成立．故该函数模型符合公司要求．
④对于函数模型f（x）=4lgx﹣3：
当x∈[10，100]时，f（x）是增函数，则f（x）max=f（100）=4lg100﹣3=8﹣3=5．
所以f（x）≤9恒成立．
设g（x）=4lgx﹣3﹣，则．
当x≥10时，，
所以g（x）在[10，100]上是减函数，从而g（x）≤g（10）=﹣1＜0．
所以4lgx﹣3﹣＜0，即4lgx﹣3＜，所以恒成立．
故该函数模型符合公司要求．
在③和④中，③的f（x）max=4+．④的最大值为（x）max=5．
则为了达到激励的目的，应该是收益越高，奖励的比例越高，故④比③更合适，
故选：D．
【点评】本题考查了函数模型的选择及应用，训练了函数最值的求法，综合性较强，有一定的难度．

10．（5.00分）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx+c与函数y=（）x的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【分析】二次函数y=ax2+bx+c与函数y=（）x的图象，分别判断a，b，c的符号及关系，由此寻找正确答案．
【解答】解：A中，由二次函数y=ax2+bx+c的图象知，a＞0，b＞0，c=0，．此时，y=（）x即y=（）x为减函数，故A成立；
B中，由二次函数y=ax2+bx+c的图象知，a＞0，b＜0，c=0．此时，＜0，函数y=（）x无意义，故B不成立；
C中，由二次函数y=ax2+bx+c的图象知，a＜0，b＜0，c=0，．此时，y=（）x即y=（）x为增函数，故C不成立；
D中，由二次函数y=ax2+bx+c的图象知，a＞0，b＜0，c=0．此时，＜0，函数y=（）x无意义，故D不成立；
故选：A．
【点评】本题考查指数函数和二次函数的图象和性质，解题时结合图象要能准确地判断系数的取值．

二．填空题（共4小题）
11．已知log2x=log3y=log5z＜0，则、、由小到大排序为　＜＜　．
【分析】设k=log2x=log3y=log5z＜0，可得x=2k，y=3k，z=5k．可得==21﹣k，=31﹣k，=51﹣k，利用指数函数的即可得出．
【解答】解：设k=log2x=log3y=log5z＜0，∴x=2k，y=3k，z=5k．
则==21﹣k，=31﹣k，=51﹣k，
∴21﹣k＜31﹣k＜51﹣k，
∴＜＜，
故答案为：＜＜．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

12．已知函数（a＞0，且a≠1），若f（﹣3）＜f（4），则不等式f（x2﹣3x）＜f（4）的解集为　（﹣1，0）∪（0，3）∪（3，4）　．
【分析】直接利用函数的性质和定义域求出结果．
【解答】解：函数（a＞0，且a≠1），若f（﹣3）＜f（4），
则：函数单调递增，
故：不等式f（x2﹣3x）＜f（4）满足：x2﹣3x＜4，
解得：﹣1＜x＜4，
由于：x2﹣3x≠0，
解得：x≠0且x≠3，
故：不等式f（x2﹣3x）＜f（4）的解集为：（﹣1，0）∪（0，3）∪（3，4）．
故答案为：（﹣1，0）∪（0，3）∪（3，4）．
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，单调性的应用．

13．函数f（x）=，关于x的方程f（x）=kx﹣k至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为　k≥﹣且k≠1　．
【分析】根据函数与方程的关系，转化为函数f（x）与g（x）=k（x﹣1），至少有两个不同的交点，作出对应的图象，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：由f（x）=kx﹣k至少有两个不相等的实数根，得f（x）=k（x﹣1）至少有两个不相等的实数根，
设g（x）=k（x﹣1），则等价为f（x）与g（x）至少有两个不同的交点，
作出函数f（x）的图象如图：
g（x）=k（x﹣1），过定点C（1，0），
当x＞0时，f（x）=x2﹣x的导数f′（x）=2x﹣1，
在x=1处，f′（1）=2﹣1=1，
当k=1时，g（x）=x﹣1与f（x）=+x=x+1平行，
此时两个图象只有一个交点，不满足条件．
当k＞1时，两个函数有两个不相等的实数根，
当0≤k＜1时，两个函数有3个不相等的实数根，
当k＜0时，当直线经过点A（﹣，）时，两个图象有两个交点，
此时k（﹣﹣1）=，即k=﹣，
当﹣＜k＜0时，两个图象有3个交点，
综上要使方程f（x）=kx﹣k至少有两个不相等的实数根，则k＞﹣且k≠1，
故答案为：k≥﹣且k≠1．

【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．

14．已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f（x）＜0的解集是　{x|1＜x＜4}　．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是　（1，3]∪（4，+∞）　．
【分析】利用分段函数转化求解不等式的解集即可；利用函数的图象，通过函数的零点得到不等式求解即可．
【解答】解：当λ=2时函数f（x）=，显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．
函数f（x）恰有2个零点，
函数f（x）=的草图如图：
函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．
故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．

【点评】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的零点个数的判断，考查发现问题解决问题的能力．

三．解答题（共6小题）
15．已知定义域为R的函数f（x）=﹣+是奇函数
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性并证明；
（3）若对于任意的t∈（1，2），不等式f（﹣2t2+t+1）+f（t2﹣2mt）≤0有解，求m的取值范围．
【分析】（1）根据f（0）=0求出a的值；
（2）根据函数单调性的定义证明；
（3）根据奇偶性和单调性列出不等式，从而得出m的范围．
【解答】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=﹣+=0，
∴a=1．
（2）f（x）=﹣+，故f（x）是R上的减函数．
证明：设x1，x2是R上的任意两个数，且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，
∵x1＜x2，
∴0＜3＜3，
∴＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0，
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在R上是减函数．
（3）∵f（x）是奇函数，f（﹣2t2+t+1）+f（t2﹣2mt）≤0有解，
∴f（t2﹣2mt）≤﹣f（﹣2t2+t+1）=f（2t2﹣t﹣1），
又f（x）是减函数，
∴t2﹣2mt≥2t2﹣t﹣1在（1，2）上有解，
∴m≤=﹣++．
设g（t）=﹣++，则g′（t）=﹣﹣＜0，
∴g（t）在（1，2）上单调递减，
∴g（t）＜g（1）=．
∴m的取值范围是（﹣∞，]．
【点评】本题考查了函数奇偶性、单调性的应用，函数最值的计算，属于中档题．

16．（1）计算：；
（2）已知x+x=2，求的值．
【分析】（1）利用根式的运算性质即可得出．
（2）由，两边平方：，可得x+x﹣1=2，两边平方得：x2+x﹣2=2，两边平方得：x4+x﹣4=2，代入即可得出．
【解答】解：（1）原式=；
（2）∵，∴两边平方：，
∴x+x﹣1=2，两边平方得：x2+x﹣2=2，两边平方得：x4+x﹣4=2，
∴原式=．
【点评】本题考查了乘法公式、根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

17．已知函数f（x）=lg（x+1）﹣lg（1﹣x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性．
【分析】（1）欲使f（x）有意义，须有，解出即可；
（2）利用函数奇偶性的定义即可作出判断；
【解答】解：（1）依题意有
解得﹣1＜x＜1
故函数的定义域为（﹣1，1）
（2）
∵f（﹣x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x）
∴f（x）为奇函数．
【点评】本题考查函数定义域的求解及函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决函数奇偶性的基本方法．

18．已知幂函数f（x）=在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣k，
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）当x∈（1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k的取值范围．
【分析】（Ⅰ）根据幂函数的定义和性质即可求出m的值，
（Ⅱ）先求出f（x），g（x）的值域，再根据若A∪B⊆A，得到关于k的不等式组，解的即可．
【解答】解：（Ⅰ）依题意幂函数f（x）=得：（m﹣1）2=1，
解得m=0或m=2，
当m=2时，f（x）=x﹣2在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去
∴m=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2，当x∈[1，2]时，f（x），g（x）单调递增，
∴A=[1，4]，B=（2﹣k，4﹣k]，
∵A∪B⊆A，
∴解得，0≤k≤1，
故实数K的取值范围为[0，1]．
【点评】本题主要考查了幂函数的性质定义，以及集合的运算，属于基础题．

19．已知函数
（1）求函数f（x）的反函数f﹣1（x）；
（2）试问：函数f（x）的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若方程的三个实数根x1、x2、x3满足：x1＜x2＜x3，且x3﹣x2=2（x2﹣x1），求实数a的值．
【分析】（1）用y表示出x，即可得出反函数；
（2）设出对称的两点横坐标坐标，令函数值的和为0求出点的横坐标，从而得出两点坐标；
（3）判断f（x）与2的大小，求出x1、x2、x3的值，根据得x3﹣x2=2（x2﹣x1）得出a的值．
【解答】解：（1）∵∴当﹣1≤x＜0时，f（x）=﹣2x，且0＜f（x）≤2．
由y=﹣2x，得，互换x与y，可得．
当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣1，且﹣1≤f（x）≤0．
由y=x2﹣1，得，互换x与y，可得．
∴
（2）函数图象上存在两点关于原点对称．
设点A（x0，y0）（0＜x0≤1）、B（﹣x0，﹣y0）是函数图象上关于原点对称的点，
则f（x0）+f（﹣x0）=0，即，
解得，且满足0＜x≤1．
因此，函数图象上存在点关于原点对称．
（3）令f（x）=2，解得x=﹣，
①当时，有，原方程可化为﹣4x﹣2ax﹣4=0，
解得，令，
解得：．
②当时，，原方程可化为，化简得（a2+4）x2+4ax=0，
解得，
又，∴．
∴．
由x3﹣x2=2（x2﹣x1），得，解得a=﹣（舍）或a=．
因此，所求实数．
【点评】本题考查了反函数的求解，考查函数的对称性，函数零点的计算，属于中档题．

20．如图所示，在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路AB围成的区域内计划建一条商业街，其起点和终点均在道路AB上，街道由两条平行于对称轴l且关于l对称的两线段EF、CD，及夹在两线段EF、CD间的弧组成．若商业街在两线段EF、CD上收益为每千米2a元，在两线段EF、CD间的弧上收益为每千米a元．已知，设∠EOD=2θ，
（1）将商业街的总收益f（θ）表示为θ的函数；
（2）求商业街的总收益的最大值．

【分析】（1）①求出θ∈（0，]时f（θ）的解析式；
②求出θ∈（，）时f（θ）的解析式，
利用分段函数写出f（θ）在（0，）上的解析式；
（2）利用导数研究函数f（θ）在（0，）上的单调性并求出最大值．
【解答】解：（1）①当θ∈（0，]时，ED=2θ，EF=+cosθ；
∴f（θ）=2aθ+2a（+2cosθ）；
②当θ∈（，）时，ED+FA+BC=4θ﹣，EF=2cosθ；
∴f（θ）=（4θ﹣）a+2a（4cosθ）；
由①②可得，f（θ）=；
（2）①当θ∈（0，]时，f′（θ）=2a（1﹣2sinθ）；
由a＞0，填表如下：
θ
（0，]

（，）
f′（θ）
+
0
﹣
f（θ）
单调递增
极大值
单调递减
∴当θ=时，f（θ）有最大值为（2+2+）a；
②当θ∈（，）时，f′（θ）=a（4﹣8sinθ）；
∵a＞0，且sinθ∈（，1），
∴f′（θ）=a（4﹣8sinθ）＜0，
∴f（θ）在θ∈（，）时单调递减，
∴f（θ）＜f（）；
又∵f（）＜f（），
∴当θ∈（0，）时，在θ=时f（θ）取得最大值为（2+2+）a；
即θ=时，商业街总收益最大，最大值为（2+2+）a．
【点评】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了用导数研究函数的单调性与最值问题，是难题．