高二数学圆锥曲线同步练习题.doc

高二（理科）数学（圆锥曲线）同步练习题
一、选择题
1．下面双曲线中有相同离心率，相同渐近线的是(　　)
A.－y2＝1，－＝1 B.－y2＝1，y2－＝1
C．y2－＝1，x2－＝1 D.－y2＝1，－＝1
2．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是(　　)
A．20 B．12 C．10 D．6
3．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于(　　)
A．4 B．5 C．7 D．8
4．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1或＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
6、 双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为(　　)
A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36 C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36
7、双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　)
A．－ B．－4 C．4 D.
8．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e为(　　)
A．2 B．3 C. D.
10、已知P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
11、方程所表示的曲线是（ ）
A． 双曲线 B． 抛物线 C． 椭圆 D．不能确定
12、给出下列结论,其中正确的是（ ）
A．渐近线方程为的双曲线的标准方程一定是
B．抛物线的准线方程是 C．等轴双曲线的离心率是
D．椭圆的焦点坐标是
二、填空题
13．椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.
15．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
16．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝4，则焦点F到直线AB的距离为________．
三、解答题
17、已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.
(1)求M的横坐标；(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程．

18、已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．

19、已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.
(1)求此椭圆方程；(2)若点P满足∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．

20、已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且·=0，|BC|=2|AC|，（1）求椭圆的方程；
（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则是否存在实数λ,使=λ？

21、已知定点，动点（异于原点）在轴上运动，连接PF，过点作交轴于点，并延长到点，且，.
（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线与动点的轨迹交于、两点，若且，求直线的斜率的取值范围．

高二数学圆锥曲线基础练习题（含答案）
一、选择题
1．下面双曲线中有相同离心率，相同渐近线的是(　　)
A.－y2＝1，－＝1 B.－y2＝1，y2－＝1
C．y2－＝1，x2－＝1 D.－y2＝1，－＝1
解析：选A.B中渐近线相同但e不同；C中e相同，渐近线不同；D中e不同，渐近线相同．故选A.
2．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是(　　)
A．20 B．12 C．10 D．6
解析：选A.∵AB过F1，∴由椭圆定义知

∴|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝20.
3．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于(　　)
A．4 B．5 C．7 D．8
解析：选D.焦距为4，则m－2－(10－m)＝2，∴m＝8.
4．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1或＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选C.由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程是＋＝1.故选C.
5、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
解析：选B.由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，
∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.
∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2ac－3a2＝0.
∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝或e＝－1(舍去)．
6．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为(　　)
A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36 C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36
解析：选A.椭圆4x2＋y2＝64即＋＝1，焦点为(0，±4)，离心率为，所以双曲线的焦点在y轴上，c＝4，e＝，所以a＝6，b2＝12，所以双曲线方程为y2－3x2＝36.
7．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　)
A．－ B．－4 C．4 D.
解析：选A.由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，
∴b＝2，∴－＝b2＝4，∴m＝－，故选A.
8．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
解析：选A.2a＋2b＝·2c，即a＋b＝c，
∴a2＋2ab＋b2＝2(a2＋b2)，
∴(a－b)2＝0，即a＝b.
∵一个顶点坐标为(0,2)，
∴a2＝b2＝4，∴y2－x2＝4，即－＝1.
9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e为(　　)
A．2 B．3 C. D.
解析：选D.依题意，2a＋2c＝2·2b，
∴a2＋2ac＋c2＝4(c2－a2)，
即3c2－2ac－5a2＝0，∴3e2－2e－5＝0，∴e＝或e＝－1(舍)．
10．已知P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
解析：选B.准线方程为x＝－p，∴8＋p＝10，p＝2.∴焦点到准线的距离为2p＝4.
11、方程所表示的曲线是 （ A ）
A． 双曲线 B． 抛物线 C． 椭圆 D．不能确定
12、给出下列结论,其中正确的是（ C ）
A．渐近线方程为的双曲线的标准方程一定是
B．抛物线的准线方程是 C．等轴双曲线的离心率是
D．椭圆的焦点坐标是
二、填空题
13．椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．
解析：∵2a＝8，∴a＝4，
∵2c＝2，∴c＝，∴b2＝1.
即椭圆的标准方程为＋x2＝1.
14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.
解析：由题意知，|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10.所以，＝＝＝.
15．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
解析：由题意知
解得3<k<5且k≠4.
16．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝4，则焦点F到直线AB的距离为________．
解析：由抛物线的方程可知F(1,0)，由|AB|＝4且AB⊥x轴得y＝(2)2＝12，∴xA＝＝3，∴所求距离为3－1＝2.
三、解答题
17．已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.
(1)求M的横坐标；(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程．
解：(1)把M的纵坐标代入＋＝1，得＋＝1，即x2＝9.
∴x＝±3.即M的横坐标为3或－3.
(2)对于椭圆＋＝1，焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为＋＝1(a2>5)，
把M点坐标代入得＋＝1，解得a2＝15.
故所求椭圆的方程为＋＝1.
18．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．
解：设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)．
∵F1A⊥F2A，∴·＝0，
而＝(－4＋c,3)，
＝(－4－c,3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5.
∴F1(－5,0)，F2(5,0)．
∴2a＝|AF1|＋|AF2|
＝ ＋
＝＋＝4.
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
19．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.
(1)求此椭圆方程；(2)若点P满足∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．
解：(1)由已知得|F1F2|＝2，
∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，
∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝4－1＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)在△PF1F2中，由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 120°，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1||PF2|，
∴4＝(2a)2－|PF1||PF2|＝16－|PF1||PF2|，
∴|PF1||PF2|＝12，
∴ ＝|PF1||PF2|sin120°＝×12×＝3.

20已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且·=0，|BC|=2|AC|，（1）求椭圆的方程；
（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则是否存在实数λ,使=λ？
解（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系
x
y
则A（2，0），设所求椭圆的方程为： =1(0<b<2),
由椭圆的对称性知|OC|=|OB|,由·=0得AC⊥BC，
∵|BC|=2|AC|，∴|OC|=|AC|，
∴△AOC是等腰直角三角形，∴C的坐标为（1，1），
∵C点在椭圆上
∴=1,∴b2=,所求的椭圆方程为=1 ……………5分
（2）由于∠PCQ的平分线垂直OA（即垂直于x轴），不妨设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，直线PC的方程为：y=k(x-1)+1,直线QC的方程为y=-k(x-1)+1,
由 得：(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0（*） ……………8分
∵点C（1，1）在椭圆上，∴x=1是方程（*）的一个根，则其另一根为,设P（xP,yP）,Q(xQ,yQ),xP=, 同理xQ=,
kPQ=………10分
而由对称性知B(-1,-1),又A（2，0） ∴kAB=
∴kPQ=kAB，∴与共线，且≠0,即存在实数λ，使=λ. ……12分
21．已知定点，动点（异于原点）在轴上运动，连接PF，过点作交轴于点，并延长到点，且，.
（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线与动点的轨迹交于、两点，若且，求直线的斜率的取值范围．
21．解 (1)设动点的的坐标为，则，
，由得，，
因此，动点的轨迹的方程为. …………5分
(2)设直线的方程为，与抛物线交于点，则由，得，又，故.

又，
∴，，
∴即
解得直线的斜率的取值范围是. ……………………12分