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高二导数教学分析与建议
主要知识分析：
一、 变化率与导数
（一）平均变化率
《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)对本节的要求是：通过对大量实例的分析, 理解函数的平均变化率问题.
函数的平均变化率是导数这-章的基础内容, 应熟练掌握平均变化率的概念. 由于本节是这-章的开始, 高考对其还没有直接考查.
1. 平均变化率的概念
一般地, 对于函数y=f(x), 给定白变量的两个值, , 称x=-为函数自变量的改变量, 称y=f()-f()为函数值的改变量, 称为函数在区间[, ]上的平均变化率
2. 平均变化率的几何意义
设A(, f()), B(,f())是曲线y=f (x)上任意不同的两点, 函数y =f(x)的平均变化率为割线AB的斜率, 如图
注意：在平均变化率中, 当取定值后, x取不同的数值时, 函数的平均变化率不一定相同；当x取定值后, 取不同的数值时, 函数的平均变化率也不一定相同.

例1函数y=f(x)的图象如图所示, 则：
(1)函数f(x)在区间上的平均变化率为_______；
(2)函数f(x)在区间[0, 2]上的平均变化率为_______.

（二）导数的概念
《课程标准》对本节的要求是：通过对大量实例的分析, 经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程；了解导数概念的实际背景, 知道瞬时变化率就是导数, 体会导数的思想及其内涵.
高考对本节内容的考查主要是导数的概念、瞬时速度等的理解, 一般不单独考查.
1. 瞬时速度
我们知道, 做变速运动的物体在不同时刻的速度是不同的, 把物体在某一时刻的速度叫做瞬时速度(instantaneous velocity).
若物体运动的路程与时间的关系式是s=f(t), 当t趋近于0时, 函数f(t)在到+t之间的平均变化率趋近于常数, 我们就把这个常数叫做物体在时刻的瞬时速度.
2.导数概念： 一般地, 函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率是, 我们称它为函数y=f (x)在x=处的导数(derivative),
记作f’()或y’ |x=, 即f’()= .
注意：根据定义求函数在点x=处的导数时, 首先要判断函数在x=处是否有定义；再看
当x→0时, 是否存在. 对于分段函数求导数问题, 应时刻注意定义域的“间断点”及“分段”的条件.
例2：若f(x)在x=处存在导数, 则 ( )
A. 与, h都有关
B. 仅与有关, 而与h无关
C. 仅与h有关, 而与无关
D. 与, h都无关
（三）导数的几何意义
《课程标准》对本节的要求是：能根据导数的定义, 求函数y=c, y=x, y=, y=的导数；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
以导数公式、运算法则为载体, 考查导数的几何意义, 或与其他知识相交汇考查, 是近几年高考对本节知识考查的热点.
1. 导数的几何意义
如图, 函数f (x)在区间[, +x]上的平均变化率的几何意义是割线PQ的斜率, 当点Q沿曲线y=f(x)趋近于点P时(即x趋近于O), 割线PQ绕点P转动, 它的最终位置为曲线在点P处的切线位置--直线PT
因此, 函数y=f(x)在x=处的导数, 就是曲线y=f(x)在x=处的切线的斜率, 即.
2. 导数与函数图象升降的关系（课本例2）
若函数y=f(x)在x=处的导数存在且f’(x)>0, 则函数y=f(x)在x=附近的图象是上升的；若f’(x)<0, 则函数y =f (x)在x=附近的图象是下降的. 导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.
导数的几何意义是曲线的切线的斜率. 反之, 在曲线上取确定的点, 作曲线的切线, 则可以根据切线斜率的符号及绝对值的大小来确定曲线的升降情况及升降的快慢程度. 某斜坡在某段内的倾斜程度可以近似地用函数来刻画, 试分析该段斜坡的坡度的变化情况.
3.导函数
对于函数y=f (x), 当x=时, f ’()是一个确定的数. 当x变化时,
f’(x)便是一个关于x的函数, 我们称它为函数y=f(x)的导函数(derivativefunction)(简称为导数), 的导函数有时也记，即
.
例3： 已知曲线C：f(x)=x+, 点A(2, )是曲线C上的点, 用导数的定义求曲线C在点A处切线的斜率.
评析：1. 这里是利用极限思想, 即用割线的极限位置定义曲线的切线. 这种定义曲线切线的方法适用于各种曲线.
2. 函数在某点处的导数存在, 则函数图象在该点处切线的斜率存在, 故切线一定存在. 函数在某点处的导数不存在, 则函数图象在该点处切线的斜率不存在, 但切线不一定不存在. （曲线y=f(x)在点P处的切线平行于y轴(此时导数不存在), 可由切线定义确定切线方程为x=.）
3. 直线与曲线的公共点的个数不能作为判断直线是否是切线的依据. 如图, 虽然直线与曲线y=f (x)有唯一公共点M, 但并不能说是曲线的切线；直线尽管与曲线y=f(x)的公共点不唯一, 我们说直线是曲线在点M处的切线.
例4：
如图所示, 单位圆中弧AB的长为x ，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍, 则函数y=f(x)的图象是 ( D )

函数在每点处的切线斜率的变化情况反映函数在相应点处的变化情况, 由切线的倾斜程度, 可以判断出函数升降的快慢. 因此, 研究复杂的函数问题, 可以考虑通过研究其切线来了解函数的性质.
二、 导数的计算
《课程标准》对本节的要求是：能根据导数的定义, 求函数y=c, y=x, y=, y=,的导数；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
以导数公式、运算法则为载体, 考查导数的几何意义, 或与其他知识相交汇考查, 是近几年高考对本节知识考查的热点.
基本初等函数的导数公式
1. 若, 则；
2. 若 (), 则；
3. 若f(x)=sinx, 则cosx；
4. 若f(x)=cosx, 则, sinx；
5. 若f(x)=ex, 则f’(x)=ex
6. 若f(x)=ax, 则f’(x)=axIn a(a>0且a≠1)；
7. 若f(x)=Inx, 则f’(x)=
8. 若f(x)=logax, 则f’(x)= (a>0,且a1).
导数运算法则
加、减、乘、除以及复合函数的导数运算法则。
求复合函数导数的步骤
求复合函数的导数, -般按以下三个步骤进行：
(1)适当选定中间变量, 正确分解复合关系, 即说明函数关系y=f(u), u=g(x)；
(2)分步求导(弄清每-步求导是哪个变量对哪个变量求导), 要特别注意中问变量对自变量求导, 即先求yu’, 再求ux’；
(3)计算yu’·ux’, 并把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数.
整个过程可简记为分解--求导--回代. 熟练以后, 可以省略中间过程.
注意：①对一个函数求导时, 要紧扣导数运算法则, 联系基本初等函数的导数公式, 在不利于直接应用导数公式时, 可适当运用代数、三角恒等变换手段, 对函数进行化简, 然后求导. 这样可以减少运算量, 优化解题过程.
②在复合函数中, 内层函数的值域必须是外层函数定义域的子集.
三、导数在研究函数中的应用
（一）函数的单调性与导数
《课程标准》对本节的要求是：结合实例, 借助几何直观探索并了解函数的单调性与其导数的正负的关系；能利用导数研究函数的单调性, 会求不超过三次的多项式函数的单调区间.
利用导数研究函数的单调性是导数最重要的应用之一, 因此是高考的重点内容, 一般在解答题中出现.
1. 函数的单调性与其导数的正负的关系
在某个区间(a, b)内, 如果f’(x)>0, 则函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f’(x)<0, 则函数y=f(x)在这个区间内单调递减；如果恒有f’(x)=0, 那么函数y=f(x)在这个区间内是常函数.
2. 求可导函数单调区问的基本步骤
(1)确定定义域；
(2)求f ’(x), 并解不等式f’(x)>0：
(3)取(1), (2)的交集得f(x)的单调递增区问, 取(2)的补集与(1)的交集得f(x)的单调递减区间.
深入理解导数与单调性的关系
在某个区间内f’(x)>0(f’(x)<0)是函数f(x)在此区问内为增(减)函数的充分不必要条件, 如果出现个别点使f’(x)=0, 不会影响函数f(x)在包含这些特殊点的某个区间内的单调性. 例如函数f(x)=x3在定义域(-∞, +∞)上是增函数, 但由f’ (x)=3知f’(0)=0, 即并不是在定义域内的任意-点处都满足f’(x)>0.
函数的变化快慢与导数的关系
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之, 函数的图象就“平缓”一些.
例5 设f’(x)是函数f (x)的导函数, 将y=f(x)和y=f’(x)的图象画在同一直角坐标系中, 不可能正确的是

研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时, 注意抓住各自的关键要素, 对于原函数, 要重点考查其图象在哪个区间内单调递增, 在哪个区间内单调递减；而对于导函数, 则应考查其函数值在哪个区间内大于零, 在哪个区间内小于零, 并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致.
常见题型：①求含参数的函数的单调性；
论含有参数的函数的单调性, 通常归结为求含参不等式的解集的问题, 而对含有参数的不等式, 要针对具体情况进行讨论, 但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准.
②已知函数的单调性求参数的取值范围，已知f(x)在x区间D上单调, 求f(x)中参数的取值范围的方法为分离参数法：通常将f’(x)≥0(或f’(x)≤0)的参数分离, 转化为求最值问题, 从而求出参数的取值范围. 特别地,若为二次函数, 可以由≥0(或≤0)恒成立求出参数的取值范围.
(二)函数的极值与导数
《课程标准》对本节的要求是：结合函数的图象, 了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值.
利用导数研究函数的极值是高考对导数考查的-个重点内容, 并且经常与函数的单调性、函数的图象综合在-起考查, 题型既有选择题、填空题, 也有解答题.
1. 函数极值的概念
(1)若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小f’(a)=0；而且在点x=a附近的左侧<0, 右侧>0, 就把点a叫做函数y=f(x)的极小值点, f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
(2)若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大f ’(b)=0；而且在点x=b附近的左侧>0, 右侧. <0, 就把点b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
极大值点和极小值点统称为极值点, 极大值和极小值统称为极值(extreme value).
2. 函数极值的求法
一般地, 求函数y=f(x)的极值的方法是：
(1)考虑函数的定义域并求. ；
(2)解方程=0, 得方程的根(可能不止一个)；
(3)如果在附近的左侧>0, 右侧<0, 那么f()是极大值；如果在附近的左侧<0, 右侧>0, 那么f()是极小值.
注意：① 函数的极值是一个局部概念, 是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大的或是最小的.
②在定义域的某个区间内极大值或极小值并不唯一, 也可能极值不存在, 并且极大值与极小值之闻无确定的大小关系.
③函数的极值点是一个实数, 是函数取得极值时自变量的值, 而不是点.
④函数的极值点一定出现在区间内部, 区间的端点不可能成为极值点.
⑤根据极值的定义可知, 对于一个可导函数来说, 函数y =f(x)在处取得极值, 则它在该极值点处的导数值等于0, 但导数值为0的点不一定是函数的极值点.
⑥函数f(x)在点x。处取得极值的充要条件是=0, 且在左、右两侧的符号不同.
⑦关于极值与极值点（让学生明白）
极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标, 即自变量的取值；而极值是函数值, 即函数取得极值时对应点的纵坐标, 二者不同. 解读导数与极值的关系
（三）函数的最大(小)值与导数函数的最值与导数
1. 函数y=f(x)在区间[a, b]上的最值
一般地, 如果在区间[a, b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线, 那么它必有最大值与最小值.
2. 函数最值的求法
求函数f(x)在闭区间[a, b]上的最值的步骤如下：
(1)求函数y=f(x)在(a, b)内的极值；
(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较, 其中最大的一个就是最大值, 最小的一个就是最小值.
3.极值与最值的区别与联系
区别：(1)函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较；函数的最值是函数在整个区间上函数值的比较, 即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者. (2)函数的极值可以有多个, 但最值只能有-个, 极值只能在区间内取得, 最值可以在区间端点处取得.
联系：如果在区间(a, b)上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点, 那么该极值点就是最值点, 这里区间(a, b)可以是无穷区间.

导数的作用：作为研究函数性质的一个工具
导数解答题综合考查：函数与导数，导数在研究函数问题中的应用，突出考查单调区间、极值、最值问题.
数学思想：化归与转化；函数与方程；数形结合；分类讨论。

处理函数导数问题流程(程序):
函数解析式
函数定义域
求导函数
求导函数零点
导函数符号变化表
写函数单调区间
为什么要求定义域？
通常什么时候需要求定义域？
求定义域的注意事项？
通常都有哪些类型？
求导的易错点有哪些？
怎样整理函数导数式？
求导函数零点通常都有哪些类型？
是否一定有零点？
零点及定义域边界或限定域的边界的大小关系？
明确研究的范围是什么？
判断符号的依据是什么？（基本初等函数图象和性质以及因式符号判断）
有哪些注意事项？

处理导数问题要过三关:求导关、方程关、转化关