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第一章 集合与简易逻辑
本章概述
1.教学要求
[1] 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.
[2]掌握简单的含绝对值不等式、简单的高次不等式、分式不等式的解法；熟练掌握一元二次不等式的解法.
[3]理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件.
2.重点难点
重点：有关集合的基本概念；一元二次不等式的解法及简单应用；逻辑联结词“或”、“且”、“非” 与充要条件.
难点：有关集合的各个概念的涵义以及这些概念相互之间的区别与联系；“四个二次”之间的关系；对一些代数命题真假的判断.
3. 教学设想
利用实例帮助学生正确掌握集合的基本概念；突出一种数学方法——元素分析法；渗透两种数学思想——数形结合思想与分类讨论思想；掌握三种数学语言——文字语言、符号语言、图形语言的转译.

1.1 集合
目的：要求学生初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；初步了解集合的分类及性质。
教学重点：集合的基本概念及表示方法
教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合
教学过程：
集合与元素： 某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
指出：“集合”如点、直线、平面一样是不定义概念。
二、集合的表示：
用大括号表示集合 { … }
如：{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}
用拉丁字母表示集合
如：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5}
常用数集及其记法：
1.非负整数集（即自然数集） 记作：N 2.正整数集 N*或 N+ 3.整数集 Z
4.有理数集 Q 5.实数集 R
集合的三要素： 1。元素的确定性； 2。元素的互异性； 3。元素的无序性
三、关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集A 记作 aÎA ，相反，a不属于集A 记作 aÏA （或aA） 例： 见P4—5中例
五、集合的表示方法：列举法与描述法
1． 列举法：把集合中的元素一一列举出来。
例：由方程x2-1=0的解集；例；所有大于0且小于10的奇数组成的集合。
2． 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
① 文字语言描述法：例{斜三角形}再见P6 符号语言描述法：例不等式x-3>2的解集 图形语言描述法（不等式的解集、用图形体现“属于”，“不属于” ）。
3. 用图形表示集合（韦恩图法）
六、集合的分类
1．有限集 2．无限集
七、小结：概念、符号、分类、表示法
一、 复习：（结合提问）
1．集合的概念 含集合三要素
2．集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法
3．集合的分类：有限集、无限集、空集、单元集、二元集
4．关于“属于”的概念
二、 例题
例一 用适当的方法表示下列集合：（符号语言的互译，用适当的方法表示集合）
1． 平方后仍等于原数的数集
解：{x|x2=x}={0,1}
2． 不等式x2-x-6<0的整数解集
解：{xÎZ| x2-x-6<0}={xÎZ| -2<x<3}={-1,0,1,2}
3． 方程4x2+9y2-4x+12y+5=0的解集
解：{(x,y)| 4x2+9y2-4x+12y+5=0}={(x,y)| (2x-1)2+(3y+2)2=0}={(x,y)| (1/2,-2/3)}
4． 使函数有意义的实数x的集合
解：{x|x2+x-6¹0}={x|x¹2且x¹3,xÎR}
例二、下列表达是否正确，说明理由.
1.Z={全体实数} 2.R={实数集}={R} 3.{（1，2）}={1，2} 4.{1，2}={2，1}
例三、设集合试判断a与集合B的关系.
例四、已知
例五、已知集合，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围.
三、 作业 《教材精析精练》 P5智能达标训练
1.2子集、全集、补集
教学目的： 通过本小节的学习，使学生达到以下要求：
(1)了解集合的包含、相等关系的意义； (2)理解子集、真子集的概念；
(3)理解补集的概念； (4)了解全集的意义．
教学重点与难点：本小节的重点是子集、补集的概念，难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别。
教学过程:
第一课时
一 提出问题:集合与集合之间的关系.
存在着两种关系:“包含”与“相等”两种关系.
二 “包含”关系—子集
1. 实例: A={1,2,3} B={1,2,3,4,5} 引导观察.
结论: 对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则说:集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作AÍB (或BÊA);也说: 集合A是集合B的子集.
2. 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AËB (或BËA)
注意: Í也可写成Ì；Ê也可写成É；Í 也可写成Ì；Ê也可写成É。
3. 规定: 空集是任何集合的子集 . φÍA
三 “相等”关系
1. 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”
结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B， 即： A=B
2. ① 任何一个集合是它本身的子集。 AÍA
② 真子集：如果AÍB ,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作
③ 空集是任何非空集合的真子集。
④ 如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC
同样；如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC
⑤ 如果AÍB 同时 BÍA 那么A=B
四 例题：
例一 写出集合{a,b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.
例二 解不等式x-3>2,并把结果用集合表示出来.
练习 课本P9
例三 已知，问集合M与集合P之间的关系是怎样的？
例四 已知集合M满足
五 小结：子集、真子集的概念，等集的概念及其符号
几个性质： AÍA
AÍB, BÍC ÞAÍC
AÍB BÍAÞ A=B

1.2 第二教时
一 复习：子集的概念及有关符号与性质。
提问：用列举法表示集合：A={6的正约数}，B={10的正约数}，C={6与10的正公约数}，并用适当的符号表示它们之间的关系。
二 补集与全集
1.补集、实例：S是全班同学的集合，集合A是班上所有参加校运会同学的集合，集合B是班上所有没有参加校运动会同学的集合。
集合B是集合S中除去集合A之后余下来的集合。
定义：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
S
CsA
A
记作： CsA 即 CsA ={x | xÎS且 xÏA}

2． 全集
定义： 如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
如：把实数R看作全集U, 则有理数集Q的补集CUQ是全体无理数的集合。
例1（1）若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，求CSA
（2）若A={0}，求证：CNA=N*。
（3）求证：CRQ是无理数集。
例2已知全集U＝R，集合A＝｛x｜1≤2x＋1＜9｝，求CA。
例3 已知S＝｛x｜－1≤x＋2＜8｝，A＝｛x｜－2＜1－x≤1｝，
B＝｛x｜5＜2x－1＜11｝，讨论A与CB的关系。
三 练习：P10（略）
1、已知全集U＝｛x｜－1＜x＜9｝，A＝｛x｜1＜x＜a｝，若A≠，则a的取值范围是　　 （ ）
（A）a＜9　（B）a≤9　（C）a≥9　（D）1＜a≤9
2、已知全集U＝｛2，4，1－a｝，A＝｛2，a2－a＋2｝。如果CUA＝
｛－1｝，那么a的值为　　　。
3、已知全集U，A是U的子集，是空集，B＝CUA，求CUB，CU，CUU。
（CUB= CUA，CU＝U，CUU＝）
4、设U=｛梯形｝,A=｛等腰梯形｝,求CUA.

5、已知U=R，A=｛x|x2+3x+2<0｝, 求CUA.

6、集合Ｕ=｛（x，y）|x∈｛1,2｝,y∈｛1,2｝｝ ,
Ａ=｛（x，y）|x∈N*,y∈N*,x+y=3｝，求CUA.

7、设全集U（UΦ），已知集合M，N，P，且M=CUN，N=CUP，则M与P的关系是（ ）
（A） M=CUP，（B）M=P，（C）MP，（D）MP.
四 小结：全集、补集
1,设集合CUA={5}，求实数a的值.
2. 设集合3. 已知集合且A中至多只有一个奇数，写出所有满足条件的集合.
4. 设全集U={2,3,},A={b,2},={b,2},求实数a和b的值.
(a=2、-4,b=3)

1.3 交集与并集）
教学目的： 通过实例及图形让学生理解交集与并集的概念及有关性质。
（1）结合集合的图形表示，理解交集与并集的概念；
（2）掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集；
教学重点：交集和并集的概念
教学难点：交集和并集的概念、符号之间的区别与联系
 教学过程：
一、复习引入：
1．说出 的意义。
    2．填空：若全集U={x|0≤x＜6，X∈Z}，A={1，3，5}，B={1，4}，那么CUA= ,CUB= .
3．已知6的正约数的集合为A={1，2，3，6}，10的正约数为B={1，2，5，10}，那么6与10的正公约数的集合为C= .
4. 如果集合 A={a,b,c,d} B={a,b,e,f}用韦恩图表示（1）由集合A,B的公共元素组成的集合；（2）把集合A,B合并在一起所成的集合.
c d a b e f

c d a b e f

公共部分 A∩B 合并在一起 A∪B
二、新授
定义： 交集： A∩B ={x|xÎA且xÎB} 符号、读法
并集： A∪B ={x|xÎA或xÎB}
例题：例一 设 A={x|x>-2},B={x| x<3},求.
例二 设 A={x|是等腰三角形},B={x| 是直角三角形},求.
例三 设 A={4，5，6，7，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B.
例四 设 A={x|是锐角三角形},B={x| 是钝角三角形},求A∪B.
例五 设 A={x|-1<x<2},B={x| 1<x<3},求A∪B.
例六 设A={2,-1,x2-x+1}, B={2y,-4,x+4}, C={-1,7} 且A∩B=C求x,y.
例七 已知A={x|2x2=sx-r}, B={x|6x2+(s+2)x+r=0} 且 A∩B={}求A∪B.

三、小结： 交集、并集的定义
补充：设集合A = {x | -4≤x≤2}, B = {x | -1≤x≤3}, C = {x |x≤0或x≥ },
求A∩B∩C, A∪B∪C。
1.3 第二教时
复习：交集、并集的定义、符号
授课： 一、集合运算的几个性质：
研究题 设全集 U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，A = {3，4，5} B = {4，7，8}
求：（CU A）∩(CU B), (CU A)∪(CU B), CU(A∪B), CU (A∩B)
若全集U, A,B是U的子集，探讨 （CU A）∩(CU B), (CU A)∪(CU B), CU(A∪B), CU (A∩B) 之间的关系.
结合韦恩图 得出公式：（反演律）
U
A
B
(CUA)∩( CU B) = CU(A∪B)
(CUA)∪( CUB) = CU(A∩B)

另外几个性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,
A∪A = A, A∪φ= A , A∪B = B∪A.
（注意与实数性质类比）
例8. 设 A = {x | x2-x-6 = 0} B = {x | x2+x-12 = 0}，求 ；A∪B
二、关于奇数集、偶数集的概念及一些性质
例9. 已知A为奇数集，B为偶数集，Z为整数集，
求A∩B，A∩Z，B∩Z，A∪B，A∪Z，B∪Z.
练习 P13
A
B
三、关于集合中元素的个数
规定：有限集合A 的元素个数记作： card (A) 作图 观察、分析得：
card (A∪B) ¹ card (A) + card (B)
card (A∪B) = card (A) +card (B) -card (A∩B)

1.3 第三教时
例1．如图（1） U是全集，A，B是U的两个子集，图中有四个用数字标出的区域，试填下表：
区域号
相应的集合
1
CUA∩CUB
2
A∩CUB
3
A∩B
4
CUA∩B

集合
相应的区域号
A
2，3
B
3，4
U
1，2，3，4
A∩B
3

A
2
3
B
4
11
U

图（1） 图（2）
例2．如图（2） U是全集，A，B，C是U的三个子集，图中有8个用数字标
出的区域，试填下表： （见右半版）
区域号
8
C
6
7
B
4
5
3
2
A
1 U
相应的集合
1
CUA∩CUB∩CUC
2
A∩CUB∩CUC
3
A∩B∩CUC
4
CUA∩B∩CUC
5
A∩CUB∩C
6
A∩B∩C
7
CUA∩B∩C
8
CUA∩CUB∩C

集合
相应的区域号
A
2，3，5，6
B
3，4，6，7
C
5，6，7，8
∪
1，2，3，4，5，6，7，8
A∪B
2，3，4，5，6，7
A∪C
2，3，5，6，7，8
B∪C
3，4，5，6，7，8
例3．已知：A={(x,y)|y=x2+1,xÎR} B={(x,y)| y=x+1,xÎR }求A∩B。
4. 设集合.
例5. 已知集合（1）判断B,C,D间的关系； （2）求A∩B.
例6. 已知集合
若.