高二数学椭圆知识点整理.doc

课题：椭圆
教学目标：
（1）了解圆锥曲线的来历；
（2）理解椭圆的定义；
（3）理解椭圆的两种标准方程；
（4）掌握椭圆离心率的计算方法；
（5）掌握有关椭圆的参数取值范围的问题；
教学重点：椭圆方程、离心率；
教学难点：与椭圆有关的参数取值问题；

&知识清单
一、椭圆的定义：
(1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点的距离和等于常数
(大于）的点的轨迹叫做椭圆.
说明：两个定点叫做椭圆的焦点；
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
(2) 椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之
比为常数，当时，点的轨迹是椭圆. 椭圆上一点到
焦点的距离可以转化为到准线的距离.
二、椭圆的数学表达式：
;

三、椭圆的标准方程：
焦点在轴: ；
焦点在轴: .
说明：是长半轴长，是短半轴长，焦点始终在长轴所在的数轴上，且满足
四、二元二次方程表示椭圆的充要条件
方程表示椭圆的条件：
上式化为，.所以，只有同号，且时，方程表示椭圆；当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上.

五、椭圆的几何性质（以为例）
1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标都适合不等式，即说明椭圆位于直线和所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.
2.对称性:关于原点、轴、轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。
3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：
4. 长轴、短轴：叫椭圆的长轴，是长半轴长； 叫椭圆的短轴，是短半轴长.
5.离心率
（1）椭圆焦距与长轴的比，（2）,，即.这是椭圆的特征三角形，并且的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当接近于1时，越接近于，从而越小，椭圆越扁；当接近于0时，越接近于0，从而越大，椭圆越接近圆；当时，，两焦点重合，图形是圆.
6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为.
7.设为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，当三点不在同一直线上时，构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知：.
&例题选讲@
一、选择题
1．椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于（ ）
A． 4 B．5 C． 8 D．10
3．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，
则m=（ ）
A． B． C． D．
4．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ）
A．2 B．6 C．4 D．12
5．如图，直线过椭圆的左焦点
F1和 一个顶点B，该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知以F1（-2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B． C． D．

二、填空题：
8． 在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．
9． 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．
10．在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则　　 　　.
11．椭圆长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________．
三、解答题
12．已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值．
13．已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆
的标准方程．
14．已知方程表示椭圆，求的取值范围．
15．已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围