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必修1第一章集合与函数基础知识点整理

第1讲 §1.1.1 集合的含义与表示
¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.
¤知识要点：
1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.
2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为，既要关注代表元素x，也要把握其属性，适用于无限集.
3. 通常用大写拉丁字母表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N，正整数集或，整数集Z，有理数集Q，实数集R.
4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to）与不属于（not belong to），分别用符号、表示，例如，.
¤例题精讲：
【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）由方程的所有实数根组成的集合；
（2）大于2且小于7的整数.
解：（1）用描述法表示为：；
用列举法表示为.
（2）用描述法表示为：；
用列举法表示为.
【例2】用适当的符号填空：已知，，则有：
17 A； －5 A； 17 B.
解：由，解得，所以；
由，解得，所以；
由，解得，所以.
【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P6 练习题2， P13 A组题4）
（1）一次函数与的图象的交点组成的集合；
（2）二次函数的函数值组成的集合；
（3）反比例函数的自变量的值组成的集合.
解：（1）.
（2）.
（3）.
点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.
*【例4】已知集合，试用列举法表示集合A．
解：化方程为：．应分以下三种情况：
⑴方程有等根且不是：由 △=0，得，此时的解为，合．
⑵方程有一解为，而另一解不是：将代入得，此时另一解，合．
⑶方程有一解为，而另一解不是：将代入得，此时另一解为，合．
综上可知，．
点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.

第2讲 §1.1.2 集合间的基本关系
¤学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用Venn图表达集合间的关系.
¤知识要点：
1. 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集（subset），记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）.
2. 如果集合A是集合B的子集（），且集合B是集合A的子集（），即集合A与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作.
3. 如果集合，但存在元素，且，则称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作AB（或BA）.
4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作，并规定空集是任何集合的子集.
5. 性质：；若，，则；
若，则；若，则.
¤例题精讲：
【例1】用适当的符号填空：
（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.
（2） ； 0 {0}； {0}； N {0}.
解：（1）， ；
（2）=， ∈， ，.
B
A． B． C． D．
【例2】设集合，则下列图形能表示A与B关系的是（ ）.

解：简单列举两个集合的一些元素，，，
易知BA，故答案选A．
另解：由，易知BA，故答案选A．
【例3】若集合，且，求实数的值.
解：由，因此，.
（i）若时，得，此时，；
（ii）若时，得. 若,满足，解得.
故所求实数的值为或或.
点评：在考察“”这一关系时，不要忘记“” ，因为时存在. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.
【例4】已知集合A={a,a+b,a+2b}，B={a,ax,ax2}. 若A=B，求实数x的值.
解：若a+ax2-2ax=0, 所以a(x-1)2=0，即a=0或x=1.
当a=0时，集合B中的元素均为0，故舍去；
当x=1时，集合B中的元素均相同，故舍去.
若2ax2-ax-a=0.
因为a≠0，所以2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又x≠1，所以只有.
经检验，此时A=B成立. 综上所述.
点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.

第3讲 §1.1.3 集合的基本运算（一）
¤学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
¤知识要点：
集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.

并集
交集
补集
概念
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（union set）
由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的交集（intersection set）
对于集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集（complementary set）
记号
（读作“A并B”）
（读作“A交B”）
（读作“A的补集”）
符号

图形表示

U
A

¤例题精讲：
【例1】设集合.
A
B

-1
3
5
9
x
解：在数轴上表示出集合A、B，如右图所示：
，
，
【例2】设，，求：
（1）； （2）.
解：.
（1）又，∴；
（2）又，
得.
∴ .
【例3】已知集合，，且，求实数m的取值范围.
-2 4 m x
B A 4 m x
解：由，可得.
在数轴上表示集合A与集合B，如右图所示：
由图形可知，.
点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.
【例4】已知全集，，，求，，， ，并比较它们的关系.
解：由，则.
由，则
由，，
则，
.
由计算结果可以知道，，
.
另解：作出Venn图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.
点评：可用Venn图研究与 ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.

第4讲 §1.1.3 集合的基本运算（二）
¤学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法.
¤知识要点：
1. 含两个集合的Venn图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：,.
2. 集合元素个数公式：.
3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维.
¤例题精讲：
【例1】设集合，若，求实数的值.
解：由于，且，则有：
当解得，此时，不合题意，故舍去；
当时，解得.
不合题意，故舍去；
，合题意.
所以，.
【例2】设集合，，求, .（教材P14 B组题2）
解：.
当时，，则，；
当时，，则，；
当时，，则，；
当且且时，，则，.
点评：集合A含有参数a，需要对参数a进行分情况讨论. 罗列参数a的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.
【例3】设集合A ={|}， B ={|，}，若AB=B，求实数的值．
解：先化简集合A=. 由AB=B，则BA，可知集合B可为，或为{0}，或{－4}，或.
(i)若B=，则，解得＜；
(ii)若B，代入得=0=1或=，
当=1时，B=A，符合题意；
当=时，B={0}A，也符合题意．
(iii)若－4B，代入得=7或=1，
当=1时，已经讨论，符合题意；
当=7时，B={－12，－4}，不符合题意．
综上可得，=1或≤．
点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A=B和B=的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.
【例4】对集合A与B，若定义，当集合，集合时，有= . （由教材P12 补集定义“集合A相对于全集U的补集为”而拓展）
解：根据题意可知，，
由定义，则
.
点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A中排除B的元素. 如果再给定全集U，则也相当于.

第5讲 §1.2.1 函数的概念
¤学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.
¤知识要点：
1. 设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作=，．其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）.
2. 设a、b是两个实数，且a<b，则：{x|a≤x≤b}＝[a,b] 叫闭区间； {x|a<x<b}＝(a,b) 叫开区间；
{x|a≤x<b}＝， {x|a<x≤b}＝，都叫半开半闭区间.
符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则
，，，，.
3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.
¤例题精讲：
【例1】求下列函数的定义域： （1）；（2）.
解：（1）由，解得且，
所以原函数定义域为.
（2）由，解得且，
所以原函数定义域为.
【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）； （2）.
解：（1）要使函数有意义，则，解得. 所以原函数的定义域是.
，所以值域为.
（2）. 所以原函数的定义域是R，值域是.
【例3】已知函数. 求：（1）的值； （2）的表达式
解：（1）由，解得，所以.
（2）设，解得，所以，即.
点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.
【例4】已知函数.
（1）求的值；（2）计算：.
解：（1）由.
（2）原式
点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.

第6讲 §1.2.2 函数的表示法
¤学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念.
¤知识要点：
1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.
2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）.
3. 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“”.
判别一个对应是否映射的关键：A中任意，B中唯一；对应法则f.
¤例题精讲：
【例1】如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．
解：盒子的高为x，长、宽为，所以体积为V＝.
又由，解得.
所以，体积V以x为自变量的函数式是，定义域为.
【例2】已知f(x)= ，求f[f(0)]的值.
解：∵ ， ∴ f(0)=.
又 ∵ >1，
∴ f()=()3+()-3=2+=，即f[f(0)]=.
【例3】画出下列函数的图象：
（1）； （教材P26 练习题3）
（2）.
解：（1）由绝对值的概念，有.
所以，函数的图象如右图所示.
（2），
所以，函数的图象如右图所示.
点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.
【例4】函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，当时，写出的解析式，并作出函数的图象.
解：. 函数图象如右：
点评：解题关键是理解符号的概念，抓住分段函数的对应函数式.
第7讲 §1.3.1 函数的单调性
¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.
¤知识要点：
1. 增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）. 仿照增函数的定义可定义减函数.
2. 如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.
3. 判断单调性的步骤：设x、x∈给定区间，且x<x；→计算f(x)－f(x) →判断符号→下结论.
¤例题精讲：
【例1】试用函数单调性的定义判断函数在区间（0，1）上的单调性.
解：任取∈(0,1)，且. 则.
由于，，，，故，即.
所以，函数在（0，1）上是减函数.
【例2】求二次函数的单调区间及单调性.
解：设任意，且. 则
.
若，当时，有，，即，从而，即，所以在上单调递增. 同理可得在上单调递减.
【例3】求下列函数的单调区间：
（1）；（2）.
解：（1），其图象如右.
由图可知，函数在上是增函数，在上是减函数.
（2），其图象如右.
由图可知，函数在、上是增函数，在、上是减函数.
点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y轴右侧的图象，并把y轴右侧的图象对折到左侧，得到的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.

【例4】已知，指出的单调区间.
解：∵ ，
∴ 把的图象沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的图象，如图所示.
由图象得在单调递增，在上单调递增.
点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知平移变换规律.

第8讲 §1.3.1 函数最大（小）值
¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 能利用单调性求函数的最大（小）值.
¤知识要点：
1. 定义最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有≤M；存在x0∈I，使得 = M. 那么，称M是函数的最大值（Maximum Value）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value）的定义.
2. 配方法：研究二次函数的最大（小）值，先配方成后，当时，函数取最小值为；当时，函数取最大值.
3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.
4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.
¤例题精讲：
【例1】求函数的最大值.
解：配方为，由，得.
所以函数的最大值为8.
【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.
解：设他将售出价定为x元，则提高了元，减少了件，所赚得的利润为
.
即. 当时，.
所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元.
【例3】求函数的最小值.
解：此函数的定义域为，且函数在定义域上是增函数，
所以当时，，函数的最小值为2.
点评：形如的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.
【另解】令，则，，所以，在时是增函数，当时，，故函数的最小值为2.

【例4】求下列函数的最大值和最小值：
（1）； （2）.
解：（1）二次函数的对称轴为，即.
画出函数的图象，由图可知，当时，； 当时，.
所以函数的最大值为4,最小值为.
（2）.
作出函数的图象，由图可知，. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3.
点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.

第9讲 §1.3.2 函数的奇偶性
¤学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.
¤知识要点：
1. 定义：一般地，对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫偶函数（even function）. 如果对于函数定义域内的任意一个x，都有），那么函数叫奇函数（odd function）.
2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y轴轴对称.
3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别与的关系.
¤例题精讲：
【例1】判别下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；（3）.
解：（1）原函数定义域为，对于定义域的每一个x，都有
， 所以为奇函数.
（2）原函数定义域为R，对于定义域的每一个x，都有
，所以为偶函数.
（3）由于，所以原函数为非奇非偶函数.
【例2】已知是奇函数，是偶函数，且，求、.
解：∵ 是奇函数，是偶函数，
∴ ，.
则，即.
两式相减，解得；两式相加，解得.
【例3】已知是偶函数，时，，求时的解析式.
解：作出函数的图象，其顶点为.
∵ 是偶函数， ∴ 其图象关于y轴对称.
作出时的图象，其顶点为，且与右侧形状一致，
∴ 时，.
点评：此题中的函数实质就是. 注意两抛物线形状一致，则二次项系数a的绝对值相同. 此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下.
【另解】当时，，又由于是偶函数，则，
所以，当时，.
【例4】设函数是定义在R上的奇函数，且在区间上是减函数，实数a满足不等式，求实数a的取值范围.
解：∵ 在区间上是减函数， ∴ 的图象在y轴左侧递减.
又 ∵ 是奇函数，
∴的图象关于原点中心对称，则在y轴右侧同样递减.
又 ，解得， 所以的图象在R上递减.
∵ ，
∴ ，解得.
点评：定义在R上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.

集合与函数基础测试
一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求)
1．函数y＝＝x2－6x＋10在区间（2，4）上是（　　）
　　 A．递减函数 B．递增函数
　　 C．先递减再递增 D．选递增再递减．
2．方程组的解构成的集合是 （ ）
A． B． C．（1，1） D．
3．已知集合A={a，b，c},下列可以作为集合A的子集的是 （ ）
A. a B. {a，c} C. {a，e} D.{a，b，c，d}
4．下列图形中，表示的是 （ ）
M
N
D
N
M
C
M
N
B
M
N
A

5．下列表述正确的是 （ ）
A. B. C. D.
6、设集合A＝{x|x参加自由泳的运动员}，B＝{x|x参加蛙泳的运动员}，对于“既参
加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为　 ( )
A.A∩B　　 B.AB　 C.A∪B　　 D.AB
7.集合A={x} ,B={} ,C={}又则有（ ）
A. （a+b） A B. (a+b) B C.(a+b) C D. (a+b) A、B、C任一个
8．函数f（x）＝－x2＋2（a－1）x＋2在（－∞，4）上是增函数，则a的范围是（　　）
　　 A．a≥5 B．a≥3 C．a≤3 D．a≤－5
9.满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是 （ ）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
10.全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ）
A. B. C. D.
11.下列函数中为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
12. 如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一个元素，则a的值是 （ ）
A．0 B．0 或1 C．1 D．不能确定
二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上)
13．函数f（x）＝2×2－3｜x｜的单调减区间是___________．
14．函数y＝的单调区间为___________．
15.含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 .
16.已知集合，，那么集合 ， ， .
三、解答题(共4小题，共44分）
17. 已知集合，集合，若，求实数a的取值集合．

18. 设f（x）是定义在R上的增函数，f（xy）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求解不等式f（x）＋f（x－2）＞1．

19. 已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式．

20. 已知二次函数的图象关于轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数的单调递增区间.

必修1 第一章 集合测试
集合测试参考答案：
一、1~5 CABCB 6~10 ABACC 11~12 cB
二、13 ［0，］，（－∞，－）
14 （－∞，－1），（－1，＋∞） 15 -1 16 或；；
或.
三、17 .{0.-1,1}； 18. 　　解：由条件可得f（x）＋f（x－2）＝f［x（x－2）］，1＝f（3）．
　　所以f［x（x－2）］＞f（3），又f（x）是定义在R上的增函数，所以有x（x－2）＞3，可解得x＞3或x＜－1．
　　答案：x＞3或x＜－1．
19. ．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．
　　f（x）＝x3＋2x2－1．因f（x）为奇函数，∴f（0）＝-1．
　　当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝（－x）3＋2（－x）2－1＝－x3＋2x2－1，
　　∴f（x）＝x3－2x2＋1．
20. 二次函数的图象关于轴对称，
∴，则，函数的单调递增区间为.
．