二次函数常考题型测试题及答案.doc

二次函数
一、 选择题：
1. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
2. 二次函数的图象如右图，则点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知二次函数，且，，则一定有（ ）
A. B. C. D. ≤0
4. 把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则有（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5. 已知反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的图象大致为（ ）

6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一次函数的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）

7. 抛物线的对称轴是直线（ ）
A. B. C. D.
8. 二次函数的最小值是（ ）
A. B. 2 C. D. 1
9. 二次函数的图象如图所示，若，，则（ ）
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
二、填空题：
10. 将二次函数配方成
的形式，则y=______________________.
11. 已知抛物线与x轴有两个交点，那么一元二次方程的根的情况是______________________.
12. 已知抛物线与x轴交点的横坐标为，则=_________.
13. 请你写出函数与具有的一个共同性质：_______________.
14. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：
甲：对称轴是直线；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：
15. 已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_____________________.
16. 如图，抛物线的对称轴是，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是，则A点的坐标是________________.

三、解答题：
1. 已知函数的图象经过点（3，2）.
（1）求这个函数的解析式；
（2）当时，求使y≥2的x的取值范围.

2. 如右图，抛物线经过点，与y轴交于点B.
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标.

3. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

提高题

1. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）. 货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）. 试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

2. 某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套. 经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出. 在此基础上，当每套设备的月租金提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20元，设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入－支出费用）为y（元）.
（1）用含x的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用；
（2）求y与x之间的二次函数关系式；
（3）当月租金分别为4300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该租出多少套机械设备？请你简要说明理由；
（4）请把（2）中所求的二次函数配方成的形式，并据此说明：当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？

参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
D
D
A
A
D
D
D
B
D
二、填空题：
1. 2. 有两个不相等的实数根 3. 1
4. （1）图象都是抛物线；（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值）
5. 或或或
6. 等（只须，）
7.
8. ，，1，4
三、解答题：
1. 解：（1）∵函数的图象经过点（3，2），∴. 解得.
∴函数解析式为.
（2）当时，.
根据图象知当x≥3时，y≥2.
∴当时，使y≥2的x的取值范围是x≥3.
2. 解：（1）由题意得. ∴. ∴抛物线的解析式为.
（2）∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为.
∴OA=1，OB=4.
在Rt△OAB中，，且点P在y轴正半轴上.
①当PB=PA时，. ∴.
此时点P的坐标为.
②当PA=AB时，OP=OB=4 此时点P的坐标为（0，4）.
3. 解：（1）设s与t的函数关系式为，
由题意得或 解得 ∴.
（2）把s=30代入，得 解得，（舍去）
答：截止到10月末公司累积利润可达到30万元.
（3）把代入，得
把代入，得
. 答：第8个月获利润5.5万元.
4. 解：（1）由于顶点在y轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为.
因为点或在抛物线上，所以，得.
因此所求函数解析式为（≤x≤）.
（2）因为点D、E的纵坐标为，所以，得.
所以点D的坐标为，点E的坐标为.
所以.
因此卢浦大桥拱内实际桥长为（米）.
5. 解：（1）∵AB=3，，∴. 由根与系数的关系有.
∴，.
∴OA=1，OB=2，.
∵，∴.
∴OC=2. ∴,.
∴此二次函数的解析式为.
（2）在第一象限，抛物线上存在一点P，使S△PAC=6.
解法一：过点P作直线MN∥AC，交x轴于点M，交y轴于N，连结PA、PC、MC、NA.
∵MN∥AC，∴S△MAC=S△NAC= S△PAC=6.
由（1）有OA=1，OC=2.
∴. ∴AM=6，CN=12.
∴M（5，0），N（0，10）.
∴直线MN的解析式为.
由 得（舍去）
∴在 第一象限，抛物线上存在点，使S△PAC=6.
解法二：设AP与y轴交于点（m>0）
∴直线AP的解析式为.

∴.
∴，∴.
又S△PAC= S△ADC+ S△PDC==.
∴，
∴（舍去）或.
∴在 第一象限，抛物线上存在点，使S△PAC=6.
提高题
1. 解：（1）∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，即. ①
又点A的坐标为（2，0），∴. ②
由①②得，.
（2）由（1）得抛物线的解析式为.
当时，. ∴点B的坐标为（0，4）.
在Rt△OAB中，OA=2，OB=4，得.
∴△OAB的周长为.
2. 解：（1）.
当时，.
∴当广告费是3万元时，公司获得的最大年利润是16万元.
（2）用于投资的资金是万元.
经分析，有两种投资方式符合要求，一种是取A、B、E各一股，投入资金为（万元），收益为0.55+0.4+0.9=1.85（万元）>1.6（万元）；
另一种是取B、D、E各一股，投入资金为2+4+6=12（万元）<13（万元），收益为0.4+0.5+0.9=1.8（万元）>1.6（万元）.
3. 解：（1）设抛物线的解析式为，桥拱最高点到水面CD的距离为h米，则，.
∴ 解得
∴抛物线的解析式为.
（2）水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25=4（小时），
货车按原来速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280，
∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.
设货车的速度提高到x千米/时，
当时，.
∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时.
4. 解：（1）未出租的设备为套，所有未出租设备的支出为元.
（2）.
∴.（说明：此处不要写出x的取值范围）
（3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为37套；当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为32套.
因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应选择出租32套；如果考虑市场占有率，应选择出租37套.
（4）.
∴当时，y有最大值11102.5. 但是，当月租金为325元时，租出设备套数为34.5，而34.5不是整数，故租出设备应为34套或35套. 即当月租金为为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100元.
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