二次函数与圆综合题.doc

圆与二次函数综合题
1. 抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B(3，0)，C(0，-3).
(1)求二次函数的关系式；
(2)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径. 

2. 如图平面直角坐标系中,⊙C过原点O,交x轴于点A(2,0),交y轴于点B(O,).
(1)求点C的坐标.
(2)抛物线y=ax2+bx+c过点0,A两点,且顶点在正比例函数y=x的图象上,求抛物线的解析式.
（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D、E两点，试判断D、E两点是否在（2）中的抛物线上；
（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围．

3. 如图,已知抛物线的顶点坐标为M（1,4）,且经过点N（2,3）,与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧）,与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式及A、B、C三点的坐标
（2）若直线y=kx+b经过C、M两点,且与x轴交于点D,证明四边形CDAN是平行四边形.
（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动,请探索,在x轴上方是否存在这样的点P,使以P为圆心的圆经过A、B两点,且与直线CD相切,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.

4. 已知:如图,抛物线的图象与x轴分别交于A（-3,0）,B（1,0）两点,与y轴交于点

C（0,）,⊙M经过原点O及点A,C,点D是劣弧OA上一动点(D点与A,O不重合).
（1）求抛物线的顶点E的坐标;
（2）求⊙M的面积;
（3）连CD交AO于点F,延长CD至G,使FG=2,试探究,当点D运动到何处时,直线GA与⊙M相切,并请说明理由.

5. 在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、E（3，）三点
（1）求此抛物线的解析式
（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）

6. 已知二次函数的图象如图．
（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．

参考答案
1、(1)将C(0，-3)代入，
得c=-3.
将c=-3、B(3，0)代入，
得9a+3b-3=0.　　　　①
因为x=1是抛物线的对称轴，
所以.　　　　　②
将②变形后代入①得a=1，b=-2.
所以二次函数的关系式是.
(2)AC与对称轴的交点P即为到B、C的距离之差最大的点. 
因为PA=PB，
所以点P到B、C两点距离之差就等于|PA-PC|.
由于三角形的两边之差小于第三边，
所以只有当点P、C、A在一直线上时，|PA-PC|=AC最大. 
因为C点的坐标为(0，-3)，A点的坐标为(-1，0)，
所以直线AC的关系式是y=-3x-3.
又对称轴为x=1，
所以点P的坐标(1，-6).
(3)设M(，y)、N(，y)，所求圆的半径为r，

则，　　　　③
因为对称轴为x=1，所以.　④
由③、④得：.　　　　⑤
将N(r+1，y)代入关系式，
得，
整理，得.
由于r=±y，
当y=r>0时，，
解得，(舍去)；
当y=r<0时，，
解得，(舍去). 
所以此圆的半径是或.

2. 解:(1)作AH⊥OB于H,设AD与OC的交点为G
∵ BC是⊙A的直径
∴ 点A为BC的中点
∴ AG、AH分别是△BOC的中位线
∴ AH=12×OC=3√AG=12×OB=1 (三角形的中位线等于第三边的一半)
故A点的坐标为(1,3√)
(2)∵ 抛物线过O、B两点
∴ 根据抛物线的对称性,可知抛物线的顶点横坐标为1
∵ 抛物线的顶点在直线y=−(3√3)×x上
∴ x=1时y=−3√3
∴ 抛物线的顶点坐标为(1,−3√3)
设所求抛物线为y=a×x2+bx+c(a≠0)
将三点坐标代入抛物线解析式y=a×x2+bx+c中得a=3√3,b=−2×3√3,c=0
故抛物线解析式为y=(3√3)×x2−(2×3√3)×x
(3)BC=22+(2×3√)2−−−−−−−−−−−√=4
∵ DE∥x轴 A(1,3√) DE=BC=4
∴ D(-1,3√) E(3,3√)
将x=-1代入抛物线解析式中得y=(3√3)+(2×3√3)=3√,故点D在抛物线y=(3√3)×x2−(2×3√3)×x上
将x=3代入抛物线解析式得y=3×3√−2×3√=3√,点E在抛物线y=(3√3)×x2−(2×3√3)×x上
(4)当点P在抛物线的OD或BE上时,∠BPC为钝角
∴ X0的取值范围是−1＜X0＜0或2＜X0＜3
3.(1) 已知顶点M(1,4),抛物线的开口向下
则,y-4=k(x-1)2
经过N点,则有,3-4=k(2-1)2=k=-1
所以,y=-(x-1)2+4.此即抛物线的解析式
令y=0,易得：x1-1=2,即x1=3
x2-1=-2,即,x2=-1
据题意,A(-1,0),B(3,0)
令x=0,则,y=-1+4=3,故,C(0,3)
(2) 由(1)的解可知,Yc=Yn,则,CN//AB,|CN|=2
将C、M的坐标代入直线方程：y=kx+b
b=3,4=k×1+3,k=1
y=x+3与x轴的交点D（-3,0）,则,|AD|=2
线段CN=线段AD,CN//AD.亦即四边形ADCN是平行四边形
(3) 设⊙P与CD的切点为G,有PG=PA=PB
设P(1,m).由以上计算知道：BD=6,∠CDB=45°
PG所在直线方程的斜率k=-1,P在直线PG上,则有
y=-x+m+1与y=x+3的交点即G
x=(m-2)/2,y=(m+4)/2.即G[(m-2)/2,(m+4)/2]
据PG=PA,有
PG2=m2+4=(4-m)2/4+(m-4)2/4
2m2+8=m2-8m+16
m=2√6-4,m=-4-2√6
(1,2√6-4),和（1,-4-2√6）即为所求⊙P的圆心坐标

4. 1)抛物线y=−3√3x2−23√3x+3√=−3√3(x2+2x+1)+3√+3√3=−3√3(x+1)2+43√3
∴E的坐标为(−1,43√3)；
(2)连AC；
∵M过A,O,C,∠AOC=90∘，
∴AC为O的直径。
而|OA|=3,OC=3√
∴r=AC2=3√.
∴SM=πr2=3π；
(3)当点D运动到OAˆ的中点时，直线GA与M相切。
理由：在Rt△ACO中,|OA|=3,OC=3√，
∵tan∠ACO=33√=3√.
∴∠ACO=60∘,∠CAO=30∘.
∵点D是OAˆ的中点，
∴ADˆ=DOˆ.
∴∠ACG=∠DCO=30∘.
∴OF=OC⋅tan30∘=1,∠CFO=60∘.
在△GAF中,AF=2,FG=2,∠AFG=∠CFO=60∘，
∴△AGF为等边三角形。
∴∠GAF=60∘.
∴∠CAG=∠GAF+∠CAO=90∘.
又AC为直径，
∴当D为OAˆ的中点时，GA为M的切线。

5.（1）设抛物线的解析式为：
由题意得：   ……………1分
解得： ………………2分
∴抛物线的解析式为： ………………1分
（2）存在

抛物线的顶点坐标是，作抛物线和⊙M（如图），
设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与⊙M相切于点C
连接MC，过C作CD⊥ x 轴于D 
∵ =" 2,"  ∠CBM = 30°,  CM⊥BC
∴∠BCM =" 90°" ，∠BMC =" 60°" ，BM =" 2CM" =" 4" ,  ∴B (-2, 0)                  
在Rt△CDM中，∠DCM =" ∠CDM" - ∠CMD = 30°
∴DM = 1,   CD = =         ∴   C (1, )
设切线 l 的解析式为:，点B、C在 l 上，可得：
        解得： 
∴切线BC的解析式为：
∵点P为抛物线与切线的交点
由        解得：        
∴点P的坐标为：，    ………………4分
∵ 抛物线的对称轴是直线
此抛物线、⊙M都与直线成轴对称图形
于是作切线 l 关于直线的对称直线 l′(如图)
得到B、C关于直线的对称点B1、C1
l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线的对称点：
 ，即为所求的点. ………………4分