《复变函数》练习题.doc

福师12秋《复变函数》练习题

注：
1、本课程练习题所提供的答案仅供学员在学习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问。

一、单项选择题
1．2sini=( )
A． B.
C． D．
答案：D
2．函数在复平面上( )
A．处处不连续 B.处处连续，处处不可导
C.处处连续，仅在点z=0可导 D.处处连续，仅在点z=0解析
答案：C
3．设C是绕点的正向简单闭曲线，则 ( )
A． B． C． D．0
答案：C
4．,分别是正向圆周与,则 ( )
A． B．cos2
C．0 D．sin2
答案：D
二、填空题
1. 设，则________。
考核知识点：复数代值。
2．设是解析函数．若，则______．
考核知识点：解析函数的导数。
3. 设C为正向圆周，则 .
考核知识点：柯西积分公式。
4．幂级数的收敛半径为_________.
考核知识点：幂级数的收敛半径。
5. = .
考核知识点：复数的乘幂。
提示：
6．设为的极点，则____________________．
考核的知识点：函数的极点。
7. 设，则的零点个数为 .
考核知识点：零点的定义。
8. 函数在点处的留数为______________.
考核知识点：留数的定义。
9.方程z5+4z3-1=0在单位圆|z|<1内有________个根.
考核知识点：复数根的求法。
三、判断题（正确的在括号内打“√”，错的打“×”）
1．互为共轭的两个复数的模相等.（ ）
答案：√
2．sin z的周期为.（ ）
答案：×
3．若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( )
答案：√
4．若是的阶零点，则是的阶极点.（ ）
答案：√
5．函数在可去奇点处的留数为0.（ ）
答案：×
四、完成下列各题
1. 计算．
考核知识点：对数函数。
2. 函数是否为解析函数？求出其导数.
考核知识点：解析函数。
提示：不是解析函数，因为满足C-R条件的只有两个点，不成区域。

3. 已知u=，求出相应的解析函数f(z)=u+iv.
考核知识点：解析函数。
提示：利用柯西-黎曼方程来求解。
4. 将在以内展开为罗朗级数.
考核知识点：解析函数的洛朗展式。
5. 已知，求.
考核知识点：柯西积分公式。
提示：
6. 求在处的泰勒展开式.
考核知识点：泰勒展式。
7. 讨论函数f(z)=的奇点（包括无穷远点）及其类型.
考核的知识点：函数的奇点的类型。
提示：令可得，故它为的孤立奇点． 为的一级零点。
8. 求.
考核知识点：柯西积分公式。
9. 设是的共轭调和函数，问是不是的共轭调和函数？判断并给出理由.
考核知识点：共轭调和函数的定义。
五、用留数计算积分：.
考核知识点:用留数计算积分。
提示：函数在的圆周内只有一阶极点。
六、求把平面的单位圆变为平面的单位圆的线性变换，使.
考核知识点：分式线性变换。
提示：由，分式线性变换把变到。
七、证明：若积分路径不经过，则
考核知识点：柯西定理。
提示： 积分路径绕过，由柯西定理知：

福师12秋《复变函数》辅导课件知识点和例题整理

第一讲

知识点：
第一章   复数与复变函数

复数的三种表示、(主)辐角、复数的运算(乘方、开方)

第二章 解析函数

解析、初等多值函数

在复平面上处处连续、0处可导、无解析性

柯西-黎曼条件

第三章 复积分的简单概念和性质

1.柯西积分定理：若函数在复平面的单连通区域内解析，则函数在该连通区域内的任意围线上的积分等于零。

2.重要积分：a为围线c(c可以是圆周也可以是任意围线)内部的一点

3.柯西积分公式：函数f(z)在区域D上解析，在区域D及边界C所成的闭域上连续，则在边界C上有

4. 高阶导数公式：函数f(z)在区域内解析，在闭域上连续，则在区域内与各阶导数

5.在满足柯西黎曼条件的两个调和函数(二元函数关于两个变量的二阶偏导的和为零)u、v中，u称为v的共轭调和函数。
从已知解析函数的实部求虚部
已知调和函数，求共轭调和函数。
及解析函数

第四章 解析函数的幂级数表示法

一个解析函数如何在指定点展开成一个幂级数（牢记几个基本公式）

解析函数的零点的级主要通过“求导”和“表示为

的形式”的方法做。
注意与奇点中极点的级的判别的对比、整理。（函数的零点首先必须是函数的解析点）

的零点个数为2。

第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点

在内展开成罗朗级数

在内展开成罗朗级数

求 的奇点及类型。

且均为一级零点，从而为f(z)的一级极点，

因此无穷远点是非孤立奇点。

第六 章 留数理论及其应用
一、基本概念
注意前提——仅在孤立奇点处，并且区分有限点和无穷远点，因此，留数的计算也区分有限点和无穷远点。

二、求留 数的方法（重点）
（一）、在孤立奇点为有限点时
1、若a为可去奇点，则留数为0；
2、若a为本质奇点，或者a的类型不明确，则留数为函数的罗朗展式中z-a的-1次幂项系数①(一般方法)；
3、若a为极点，先求极点的级数：
若为一级极点，则

若为二级极点，则；

若为n>2级极点，则

（这个公式涉及高阶导数公式，并不常用，而更常用一般方法，即①）。
（二）在无穷远点时
1、当无穷远点为f(z)的至少二级零点时，留数为0；

3、一般方法②，即求函数在无穷远点的罗朗展式的z的-1次幂项的系数的相反数。
（三）留数和定理
若函数在扩充复平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内)，则函数在各点的留数总和为零。

f(z)仅有z=a，z=b及无穷远点三个孤立奇点，

第二讲
知识点：

三、利用留数求积分（重点）
（一）复积分
1、Cauchy留数定理 f(z)在围线或复围线C所围区域D内，除外解析，在闭域上外连续，则

四、辐角原理及其应用
1、辐角原理：若函数f(z)在围线C上解析且不为0，在围线C内部除可能有极点外是解析的，则

2、Rouche定理（又称零点个数比较定理）：函数f(z)与g(z)在围线C的内部均解析且连续到C，在C上 ,则函数f(z)与f(z)+g(z)在C的内部有同样多（几级算几个）的零点，即

第七章 保形变换

1、求将上半平面保形变换为上半平面的分式线性变换——a、b、c、d均为实数且ad-bc>0
2、把上半平面保形变换成单位圆内部，并把上半z平面的指定的某一点a变为w平面单位圆的圆心的分式线性变换

3、把z平面的单位圆保形变换成w平面的单位圆的保形变换，并使指定的z平面的单位圆内某一点a变为w平面的单位圆圆心的分式线性变换

例题解析：
1、

2、

（二）实积分
3、

4、

5、

6、

7、

8、

9、 求把上半z平面变为上w半平面，且使0,1, 无穷远点变为1,无穷远点和0的分式线性变换。
方法一 设

方法二 由交比不变性

10、 求把单位圆变为单位圆，使1成为不动点，使1+i变为无穷远点的分式线性变换。

11、 求将z平面的单位圆变为w平面的单位圆的分式线性变换w=f(z), 并满足：

解