立体几何中的向量方法.ppt

3.23.2立体几何中的向立体几何中的向量方法量方法.法向量法向量.思考：思考：如何确定一个点、一条直线、一个平面如何确定一个点、一条直线、一个平面在空间的位置？在空间的位置？.OP一、点的确定：一、点的确定：.AB二、直线的确定：二、直线的确定：直线直线l的方向向量的方向向量.O三、平面的确定：三、平面的确定：.A平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在的有向线段所在直线垂直于平面直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ,记作记作 ，如果，如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量.给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么那么过点过点A,以向量以向量 为法向量的平面是为法向量的平面是完全确定的完全确定的.l.平面的法向量：平面的法向量：注意：注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互一个平面的所有法向量都互相平行相平行;l.求法向量的步骤：求法向量的步骤：.11.研究.因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角平行、垂直、夹角等位置关系等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？系以及它们二面角的大小吗？思考思考2：.平行与垂直平行与垂直.lm.l.lm.l.小结：平行关系小结：平行关系.小结：垂直关系小结：垂直关系.巩固性训练11.设设 分别是直线分别是直线l1,l2的方向向量的方向向量,根据下根据下 列条件列条件,判断判断l1,l2的位置关系的位置关系.平行平行垂直垂直平行平行.巩固性训练21.设设 分别是平面分别是平面,的法向量的法向量,根据根据 下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.垂直垂直平行平行相交相交.巩固性训练31、设平面、设平面 的法向量为的法向量为(1,2,-2),平面平面 的法向量为的法向量为(-2,-4,k),若若 ，则，则k=；若；若 则则 k=。2、已知、已知 ，且，且 的方向向量为的方向向量为(2,m,1)，平面，平面的法向量为的法向量为(1,1/2,2),则则m=.3、若、若 的方向向量为的方向向量为(2,1,m),平面平面 的法向量为的法向量为(1,1/2,2),且且 ，则，则m=.例例2 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC,E是是PC的的中点，作中点，作EF PB交交PB于点于点F.(1)求证：求证：PA/平面平面EDB(2)求证：求证：PB 平面平面EFDABCDP PE EF F.空间角空间角.1.异面直线所成角异面直线所成角lmlm若两直线若两直线 所成的角为所成的角为 ,则则复习引入复习引入.2.线面角线面角l设设直直线线l的的方方向向向向量量为为 ，平平面面 的的法法向向量量为为 ，且且直直线线 与平面与平面 所成的角为所成的角为 (),则则a a.注意法向量的方向：同进同注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角等于法向量夹角L 将将二二面面角角转转化化为为二二面面角角的的两两个个面面的的法法向向量量的的夹夹角角。如图，向量如图，向量 ，则二面角则二面角 的大小的大小 3、二面角、二面角若二面角若二面角 的大小为的大小为 ,则则法向量法法向量法.2 2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是的方向向量分别是a=a=（1 1，0 0，1 1），），b=b=（0 0，1 1，1 1），那么这条斜线与平面所成的角是），那么这条斜线与平面所成的角是_._.3 3、已知两平面的法向量分别、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则，则两平面所成的钝二面角为两平面所成的钝二面角为_._.基础训练基础训练:1 1、已知、已知 =(2,2,1),=(4,5,3),=(2,2,1),=(4,5,3),则平面则平面ABCABC的一个法向量是的一个法向量是_._.6001350.【典例剖析典例剖析】.N解：如图建立坐标系A-xyz,则即在长方体在长方体 中，中，例例1：.N又又在长方体在长方体 中，中，例例1：.如图，在四棱锥如图，在四棱锥S-ABCD中，底面中，底面ABCD为平行四边形，为平行四边形，侧面侧面SBC 底面底面ABCD。已知。已知 AB=2，BC=，SA=SB=.(1)求证求证 (2)求直线求直线SD与平面与平面SAB所成角的正弦值。所成角的正弦值。SABCDOxyz【练习练习1 1】.例例2 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC,E是是PC的的中点，作中点，作EF PB交交PB于点于点F.(1)求证：求证：PA/平面平面EDB(2)求证：求证：PB 平面平面EFD(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF F.例例2 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC,E是是PC的的中点，作中点，作EF PB交交PB于点于点F.(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDPEFXYZ平面平面PBC的一个法向量为的一个法向量为 解2 如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.平面平面PBD的一个法向量为的一个法向量为G.zyxADCBS【练习练习2 2】.例例3 如如图图,在四棱在四棱锥锥PABCD中，底面中，底面ABCD为为矩形，矩形，侧侧棱棱PA底面底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在，在线线段段BC上是否存在一点上是否存在一点E,使使PA与平面与平面PDE所成角的大小所成角的大小为为450?若存在，确定点若存在，确定点E的位置；若不存在的位置；若不存在说说明理由。明理由。【典例剖析典例剖析】DBACEPxzy.解：以解：以A为原点，为原点，AD、AB、AP所在的直线分所在的直线分别为别为X轴、轴、Y轴、轴、Z轴，建立空间直角坐标系，轴，建立空间直角坐标系，设设BE=m，则，则.【巩固练习巩固练习】1 三棱锥三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC,E为为PC中点中点,则则PA与与BE所成角所成角的余弦的余弦值为值为_.2 直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中,A1A=2,AB=AC=1,则则AC1与截面与截面BB1CC1所成所成角的余弦角的余弦值为值为_.3正方体正方体中中ABCD-A1B1C1D1中中E为为A1D1的的中点中点,则则二面角二面角E-BC-A的大小是的大小是_.1、如图，已知：直角梯形、如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：。求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余所成的角的余弦值弦值(2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值(3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值OABCSxyz【课后作业课后作业】.2、(2004，天津，天津)如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底中，底面面ABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC，E是是PC的中点。的中点。(1)证明：证明：PA/平面平面EDB；(2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyz.六、夹角：六、夹角：.