高二文科数学立体几何练习题.doc

《立体几何》专题
一、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结．如下图：
条件
结论
线线平行
线面平行
面面平行
垂直关系
线线平行
如果a∥b，b∥c，那么a∥c
如果a∥α，aβ，β∩α=b，那么a∥b
如果α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，那么a∥b
如果a⊥α，b⊥α，那么a∥b
线面平行
如果a∥b，aα，bα，那么a∥α
——
如果α∥β，aα，那么α∥β
——
面面平行
如果aα，bα，cβ，dβ，a∥c，b∥d，a∩b=P，那么α∥β
如果aα，bα,a∩b=P,a∥β,b∥β，那么α∥β
如果α∥β，β∥γ，那么α∥γ
如果a⊥α，a⊥β，那么α∥β

条件
结论
线线垂直
线面垂直
面面垂直
平行关系
线线垂直
二垂线定理及逆定理
如果a⊥α，bα，那么a⊥b
如果三个平面两两垂直，那么它们交线两两垂直
如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c
线面垂直
如果a⊥b，a⊥c，bα，cα，b∩c=P，那么a⊥α
——
如果α⊥β，α∩β=b，aα,a⊥b，那么a⊥β
如果a⊥α，b∥a，那么b⊥α
面面垂直
定义（二面角等于900）
如果a⊥α，aβ，那么β⊥α
——
——

数学立体几何练习题

一、 选择题：本大题共15小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1、设有直线m、n和平面、.下列四个命题中，正确的是( )
A.若m∥,n∥,则m∥n
B.若m,n,m∥,n∥,则∥
C.若，m,则m
D.若，m，m,则m∥
2、已知直线与平面满足和，则有
A．且　 B．且　　
C．且　　　D．且
3.若，，且，则实数的值是（ ）
A .－1 B.0 C.1 D.－2
4、已知平面α⊥平面β，α∩β= l，点A∈α，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）
A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β D. AC⊥β

5一个几何体的三视图及长度数据如图，则几何体的表面积与体积分别为

6、已知长方体的表面积是，过同一顶点的三条棱长之和是，则它的对角线长是（ ）
A. B. C. D.

7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上
的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定

8．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD中点，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
9．PA，PB，PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60º，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为（ ）
A． B。 C。 D。
10．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的余弦值是
A． B。 C。 D。
11．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，则点A到平面A1BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60°角的对角线的数目是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
13.一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是 …………………………（ ）
（A）（0º，90º） （B）[0º，90º] （C）[0º，180º] （D）[0º，180º]
14．l1∥l2，a，b与l1，l2都垂直，则a，b的关系是
A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交、异面都有可能
15．三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别为AA1、CC1上的点，且满足AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积是
A． B． C． D．
二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
1、平面的一条斜线和这个平面所成角的范围是 。
2、所在平面外一点到三角形三顶点等距离，则在平面内的射影是 的 .
3、所在平面外一点到三角形三边等距离，则在平面内的射影是 的 .
4、已知斜线的长是它在平面a上射影的2倍，那么斜线与平面a所成的角等于
5、已知四个不共面的点，在空间存在 个平面，使各个点到平面的距离相等。
一、选择题
1、两条异面直线所成的角（）
A经过空间一点分别作两条异面直线的平行线，这个角叫两条直线所成的角
B经过异面直线上的任意一点作另外一条直线的平行线，这样组成的角
C进过空间一点分别作两条异面直线的平行线所组成的锐角（或直角）叫这两条异面直线所成的角
D两条异面直线在同一个平面的射影的夹角
2、与同一条直线垂直相交的三条直线确定的平面个数为（）
A一个平面或两个平面
B两个平面或三个平面
C一个平面、两个平面或三个平面
D一个平面、两个平面或不能确定平面
3、两条异面直线在同一个平面内的射影是（）
A两条相交直线 B两条平行直线
C两条相交或平行直线 D以上均不对
4、一条直线和平面A所成的角为30，则它和平面A内的所有直线所成的角中，最大的角是（）
A 30 B 150 C 90 D 180
5、一条直线和垂直与它的两条直线确定平面的个数是（）
A．一个平面或两个平面
B.两个平面或三个平面
C.一个平面、两个平面或三个平面
D.以上答案均不对
6、一个三棱锥如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（）
A.必然是直角三角形
B.至多只能有一个是直角三角形
C.至多只能有两个是直角三角形
D.可能都是直角三角形
7、在下列四个命题中：
1、若直角三角形在平面内的射影仍是一个三角形，那么原来三角形的重心在平面内的射影是摄影三角形的重心
2、三个平面两两相交，这三条交线一定交于一点
3、一条直线上如果有三个点和一个平面距离相等，那么这条直线与那个平面平行
4、两两垂直的三个平面有一个公共顶点，另一平面与这三个平面相交的一三角形，则顶点在这个三角形的射影是外心；
正确的个数（）
A 1 B 2 C 3 D 4
8．(精选考题·海淀区期末)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中不正确的是(　　)
A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
B．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β
9、把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为 （ ）
A．90° B．60°C．45° D．30°（04湖南5）

（10）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为，则= 10.D
(A)
(B)
(C)
(D) （04浙江10）
11.设  m, n是两条不同的直线,是三个不同的平面.给出下列四个命题:
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;② 若α∥β, β∥r, m⊥α,则m⊥r;
③ 若m∥α,n∥α,则m∥n;④ 若α⊥r, β⊥r,则α∥β.
其中正确命题的序号是
(A)①和② (B)②和③ (C)③和④ (D)①和④（04北京3）
12.【2012高考四川文6】下列命题正确的是（ ）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
【答案】C

二、填空题
1、空间四点无三点共线，可确定 个平面。
2、三个平面两两相交，可将空间分成 个区域。
3、四面体ABCD中，AB,AD,AC两两垂直，三角形ABC、ABD、ACD的面积分别为 则三角形BCD的面积为 。
4、已知平面和直线m，给出条件：①；②；③；④；⑤.
（i）当满足条件 时，有；（ii）当满足条件 时，有.（湖南05）
5、如图，在三棱锥P—ABC中，PA=PB=PC=BC，
且，则PA与底面ABC所成角为 . （05江西15）

三、证明题
1、已知直线，， 与平面M斜交， ， 且平面M，平面M，求证： 。

2、如图，四棱锥P—ABCD中,底面ABCD 为矩形,AB=8，AD=4,侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°
（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；

（Ⅱ）证明PA⊥BD. （04甘肃21）

3（本小题满分12分）
三棱锥P—ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.
(1) 求证AB⊥BC；
P
C
A
B
(2) 如果AB=BC=，求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小. 4（04广西21）

4（04年）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点。
（Ⅰ）求证∥平面；
（Ⅱ）求证平面；
（Ⅲ）求二面角的大小。

5．（05年）如图,在三棱锥中，，，点、分别是、的中点，底面。
（Ⅰ）求证∥平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小。

6.【2012 】（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=。AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点。
（1）证明：（i）EF∥A1D1；
（ii）BA1⊥平面B1C1EF；
（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值。

1本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析

问题能力.满分12分.
解：（Ⅰ）如图1，取AD的中点E，连结PE，则PE⊥AD.
作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连结OE.
根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，
所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，
由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，
所以PO=3，四棱锥P—ABCD的体积
VP—ABCD=
（Ⅱ）解法一：如图1，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得
P（0，0，3），A（2，－3，0），B（2，5，0），D（－2，－3，0）
所以
因为 所以PA⊥BD.
解法二：如图2，连结AO，延长AO交BD于点F.能过计算可得EO=3，AE=2，

又知AD=4，AB=8，
得
所以 Rt△AEO∽Rt△BAD.
得∠EAO=∠ABD.
所以∠EAO+∠ADF=90°
所以 AF⊥BD.
因为 直线AF为直线PA在平面ABCD 内的身影，所以PA⊥BD.
P
C
A
B
E
D
2本小题主要考查两个平面垂直的性质、二面角等有关知识，以有逻辑思维能力和空间想
象能力. 满分12分.
（1）证明：如果，取AC中点D，连结PD、BD.
因为PA=PC，所以PD⊥AC，
又已知面PAC⊥面ABC，
所以PD⊥面ABC，D为垂足.
因为PA=PB=PC，
所以DA=DB=DC，可知AC为△ABC外接圆直径，
因此AB⊥BC.
（2）解：因为AB=BC，D为AC中点，所以BD⊥AC.
又面PAC⊥面ABC，
所以BD⊥平面PAC，D为垂足.
作BE⊥PC于E，连结DE，
因为DE为BE在平面PAC内的射影，
所以DE⊥PC，∠BED为所求二面角的平面角.
在Rt△ABC中，AB=BC=，所以BD=.
在Rt△PDC中，PC=3，DC=，PD=，
所以
因此，在Rt△BDE中，，
，
所以侧面PBC与侧面PAC所成的二面角为60°.

12【答案】
【解析】（1）（i）因为， 平面ADD1 A1，所以平面ADD1 A1.
又因为平面平面ADD1 A1=，所以.所以.

（ii） 因为，所以，
又因为，所以，
在矩形中，F是AA的中点，即.即
，故.
所以平面.
(2) 设与交点为H，连结.
由（1）知，所以是与平面所成的角. 在矩形中，，，得，在直角中，，，得
，所以BC与平面所成角的正弦值是.