初中几何图形所有最小值问题.doc

一.已知两定点
模型①：将军饮马问题：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小。原理：两点之间，线段最短

模型②：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大．原理：两边之差小于第三边，|PA－PB|最大值即为AB长

模型③：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最小

模型④：在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小
（1）两点都在直线外侧；（2）一个点在内侧，一个点在外侧；（3）两个点都在内侧

模型⑤：台球两次碰：已知点A、B位于角的内部，在角的两边上分别找点C、D，使得围成的四边形ABCD周长最小

变式…模型⑥：已知点A位于直线m、n内侧，在直线上分别找P、Q，使△APQ周长最小

二.一个动点，一个定点
模型⑦：动点在直线上运动
点A是定点，动点B在直线n上运动，在直线m上找一点P使PA+PB最小

模型⑧：点A是定点，动点B在圆上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小

模型⑨：点A是定点，动点B在直线n上运动，在直线m上找一点P使AB+PB最小

三.两个定点、两个动点
模型⑩：P，Q为OA，OB的定点，在OA，OB上求作点M，N，使PN＋NM＋MQ最小．

模型11：用平移+对称来解决
已知A、B是两个定点，P、Q是直线上两个动点，P在Q的左侧，且PQ之间的长度为定值不变，在直线上找两点P、Q，使得PA+PQ+QB的值最小

问题情境：将军从军营A出发，去河边l饮马，饮马完在河边牵马散步a米，回军营B。
模型12：造桥选址问题：直线m∥n，在m上求作点M，在n上求作点N，MN⊥m，且MN为定值；使AM＋MN＋NB最小．

四.转化为某个变量的函数，模型13：

模型①：如图，已知点A（1，1），B（3，2），且P为x轴上一动点，则△ABP周长的最小值为_____
菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值是____
在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为_______㎝
在△ABC中，点A、B、C的坐标分别为（x，0）、（0，1）和（3，2），则当△ABC的周长最小时，x的值为_____
在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =______时，AC + BC的值最小．
模型②：
已知点A（-1，0），C(0,-3)，在直线x=1上确定一点P使得|PA-PC|最大，则P点坐标为__________
已知点A（1，3），B（5，-2），在x轴上找一点P使|PA-PB|最大，则P点坐标为__________
模型③:去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图），两村的坐标分别为A（2，3），B(12，7)．
水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离之差最小
O
2
4
6
8
10
12
x/千米
2
4
6
8
y/千米
A
B

模型④：在河中有A（-4，-5）、B（2，-1）两岛（如图），六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从A岛出发，必须先划到甲岸（y=-6)，又到乙岸(x轴），再到B岛，最后回到A岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？请在图中画出来，并求出最短路程是多少？

模型⑤：如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）。设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m=____,n=___（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由。

模型⑥：∠AOB=450，角内有一点P，PO=10，在角两边上有两点Q、R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是———————— 。当ΔPQR周长最小时，∠QPR的度数=————

模型⑦：如图，菱形ABCD中，∠DAB=60°，点P是对角线AC上的动点，点M在边AB上，且AM=4，则点P到点M与到边AB的距离之和的最小值是______
在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O（AC＞BD），点P是线段AC上的动点（与点A，C都不重合），点P到点D的距离与它到直线AD的距离之和最小值为m，则m是（ ）
A．线段DO的长 B．点D到直线AB的距离
C．线段DB的长 D．点P到直线DC的距离
模型⑧: 如图,在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值.
解：由折叠知A′M=AM，又M是AD的中点，可得MA=MA′=MD，做点A′在以AD为直径的圆上，如图，以点M为圆心，MA为半径画⊙M，过M作MH⊥CD，垂足为H（请继续完成本题的后续解题过程）

模型⑨:如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．
矩形ABCD中AB=20，BC=10，若在AC、AB上各取一点M、N，使MB+MN最小，求这个最小值（16）
模型⑩:如图，∠AOB=20°，点M．N分别在边OA、OB上，且OM=ON=2，点P，Q分别在OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是_____

模型11：如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）。若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点（CD=3），则当a=____时，四边形ABDC的周长最短。

如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
模型12：河流两旁分别有村镇A、B，现要在河流上架设一座浮桥MN（横跨），怎样架设才能使由A到B的路线最短，作图解释说明。若A到河边距离为1km，B到河边距离为3km，河宽2km，A、B两点距离为10km，则最短路程为_________km

如图，煤矿A与城市B之间隔了两条河，为了使A矿和B城市之间的行程最短，在这两条河上架桥时，应该将桥设于何处？（两座桥分别垂直于两条河的河岸）

模型13：如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．（1）求b,c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标