等比数列知识点总结与典型例题+答案.pdf

1等比数列知识点总结与典型例题等比数列知识点总结与典型例题1 1、等比数列的定义：、等比数列的定义：，称为公比公比*12,nnaq qnnNa0且q2 2、通项公式：、通项公式：，首项：；公比：11110,0nnnnaaa qqA Ba qA Bq1aq推广：n mn mnnn mnmmmaaaa qqqaa3 3、等比中项：、等比中项：（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：或,a A bAab2AabAab 注意：同号的同号的两个数才有才有等比中项，并且它们的等比中项有两个有两个（2）数列是等比数列 na211nnnaaa4 4、等比数列的前、等比数列的前项和项和公式：公式：nnS（1）当时，1q 1nSna（2）当时，1q 11111nnnaqaa qSqq（为常数）1111nnnaaqAA BA BAqq,A B A B5 5、等比数列的判定方法：、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的，都有为等比数n11(0)nnnnnnaaqaq qaaa或为常数，列（2）等比中项：为等比数列21111(0)nnnnnnaaaaaa（3）通项公式：为等比数列0nnnaA BA Ba6 6、等比数列的证明方法：、等比数列的证明方法：依据定义：若或为等比数列*12,nnaq qnnNa0且1nnnaqaa7 7、等比数列的性质：、等比数列的性质：2（2）对任何，在等比数列中，有。*,m nNnan mnmaa q（3）若，则。特别的，当时，得*(,)mnst m n s tNnmstaaaa2mnk 注：注：2nmkaaa12132nnna aaaa a等差和等比数列比较：等差和等比数列比较：经典例题透析经典例题透析类型一：类型一：等比数列的通项公式等比数列的通项公式例例 1 1等比数列中，,求.na1964a a3720aa11a思路点拨：思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于和的二元方程组，解出1aq和，可得；或注意到下标，可以利用性质可求出、，再求.1aq11a1 9373a7a11a等差数列等比数列定义daann1)0(1qqaann递推公式daann1；mdaanmnqaann1；mnmnqaa通项公式dnaan)1(111nnqaa（0,1qa）中项2knknaaA（0,*ff knNkn）)0(fknknknknaaaaG（0,*ff knNkn）前n项和)(21nnaanSdnnnaSn2)1(1)2(111)1(111qqqaaqqaqnaSnnn重要性质),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm3总结升华：总结升华：列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：举一反三：【变式 1】an为等比数列，a1=3，a9=768，求 a6。【变式 2】an为等比数列，an0，且 a1a89=16，求 a44a45a46的值。【变式 3】已知等比数列，若，求。na1237aaa1238a a a na类型二：类型二：等比数列的前等比数列的前 n n 项和公式项和公式例例 2 2设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q.举一反三：举一反三：【变式 1】求等比数列的前 6 项和。1 11,3 9L【变式 2】已知：an为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求 S5.4【变式 3】在等比数列中，求和。na166naa21128naa126nS nq类型三：类型三：等比数列的性质等比数列的性质例例 3.3.等比数列中，若,求.na569aa3132310loglog.logaaa 举一反三：举一反三：【变式 1】正项等比数列中，若 a1a100=100;则nalga1+lga2+lga100=_.【变式 2】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积83272为_。类型四：类型四：等比数列前等比数列前 n n 项和公式的性质项和公式的性质例例 4 4在等比数列中，已知，求。na48nS 260nS3nS思路点拨：思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前 k 项和，第 2 个 k 项和，第 3 个 k 项和，第 n 个 k 项和仍然成等比数列。举一反三：举一反三：【变式 1】等比数列中，公比 q=2,S4=1,则 S8=_.na【变式 2】已知等比数列的前 n 项和为 Sn,且 S10=10,S20=40,求：S30=？na5【变式 3】等比数列的项都是正数，若 Sn=80,S2n=6560，前 n 项中最大的一项为na54，求 n.【变式 4】等比数列中，若 a1+a2=324,a3+a4=36,则 a5+a6=_.na【变式 5】等比数列中，若 a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求 a7+a8+a9的值。na类型五：等差等比数列类型五：等差等比数列的综合应用的综合应用例例 5 5已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去 32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去 4，则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨：思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.总结升华：总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数6为 a-d,a,a+d；若三数成等比数列，可设此三数为，x,xy。但还要就问题而言，这里解yx法二中采用首项 a，公比 q 来解决问题反而简便。举一反三：举一反三：【变式 1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上 4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上 32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.【变式 2】已知三个数成等比数列，它们的积为 27，它们的平方和为 91，求这三个数。【变式 3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和为 12，求这四个数.类型六：类型六：等比数列的判断与证明等比数列的判断与证明例例 6 6已知数列an的前 n 项和 Sn满足：log5(Sn+1)=n(nN+),求出数列an的通项公式，并判断an是何种数列？思路点拨：思路点拨：由数列an的前 n 项和 Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断an类型.举一反三：举一反三：【变式 1】已知数列Cn，其中 Cn=2n+3n，且数列Cn+1-pCn为等比数列，求常数 p。【答案答案】p=2 或 p=3；7【证明证明】设数列an、bn的公比分别为 p,q，且 pq【变式 3】判断正误：(1)an为等比数列a7=a3a4；(2)若 b2=ac，则 a，b，c 为等比数列；(3)an，bn均为等比数列，则anbn为等比数列；(4)an是公比为 q 的等比数列，则、仍为等比数列；2na1na(5)若 a，b，c 成等比，则 logma，logmb，logmc 成等差.类型七：类型七：S Sn n与与 a an n的关系的关系例例 7 7已知正项数列an，其前 n 项和 Sn满足，且 a1，a3，a15成等比数21056nnnSaa列，求数列an的通项 an.总结升华：总结升华：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是，11(1)(2)nnnanaSSn尤其注意首项与其他各项的关系.举一反三：举一反三：【变式】命题 1：若数列an的前 n 项和 Sn=an+b(a1)，则数列an是等比数列；命题2：若数列an的前 n 项和 Sn=na-n，则数列an既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中，真命题为 个.8经典例题透析经典例题透析类型一：类型一：等比数列的通项公式等比数列的通项公式例例 1 1等比数列中，,求.na1964a a3720aa11a思路点拨：思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于和的二元方程组，解出和，可1aq1aq得；或注意到下标，可以利用性质可求出、，再求.11a1 9373a7a11a解析：解析：法一：法一：设此数列公比为，则q8191126371164(1)20(2)a aa a qaaa qa q由(2)得：.(3)241(1)20a qq.10a 由(1)得：,.(4)421()64a q418a q(3)(4)得：，42120582qq,解得或422520qq22q 212q 当时，；22q 12a 1011164aa q当时，.212q 132a 101111aa q法二：法二：,又,193764a aaa3720aa、为方程的两实数根，3a7a220640 xx 或 41673aa16473aa,或.23117aaa271131aaa1164a 总结升华：总结升华：列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：举一反三：【变式 1】an为等比数列，a1=3，a9=768，求 a6。【答案答案】96法一：法一：设公比为 q，则 768=a1q8，q8=256，q=2，a6=96；法二：法二：a52=a1a9a5=48q=2，a6=96。【变式 2】an为等比数列，an0，且 a1a89=16，求 a44a45a46的值。9【答案答案】64；，又 an0，a45=421894516a aa。34445464564a a aa【变式 3】已知等比数列，若，求。na1237aaa1238a a a na【答案答案】或；12nna32nna法一：法一：，2132a aa312328a a aa22a 从而解之得，或，13135,4aaa a11a 34a 14a 31a 当时，；当时，。11a 2q 14a 12q 故或。12nna32nna法二法二：由等比数列的定义知，21aa q231aa q代入已知得2111211178aa qa qa a q a q21331(1)7,8aqqa q211(1)7,(1)2(2)aqqa q将代入（1）得，12aq22520qq解得或2q 12q 由（2）得或 ，以下同方法一。112aq1412aq类型二：类型二：等比数列的前等比数列的前 n n 项和公式项和公式例例 2设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q.解析：解析：若 q=1，则有 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.因 a10，得 S3+S62S9，显然 q=1 与题设矛盾，故 q1.由得，3692SSS369111(1)(1)2(1)111aqaqaqqqq整理得 q3(2q6-q3-1)=0，由 q0，得 2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q3-1)=0，10因 q31，故，所以。312q 342q 举一反三：举一反三：【变式 1】求等比数列的前 6 项和。1 11,3 9L【答案答案】；364243，11a 13q 6n。666111331364112324313S【变式 2】已知：an为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求 S5.【答案答案】；1211219，则 a1=1 或 a1=9322273aa31(1)113313aqqqq.55551911 31213121S11 3913S【变式 3】在等比数列中，求和。na166naa21128naa126nS nq【答案答案】或 2，；12q 6n，211nnaaa a1128na a 解方程组，得 或1112866nna aaa1642naa1264naa将代入，得，1642naa11nnaa qSq12q 由，解得；11nnaa q6n 将代入，得，1264naa11nnaa qSq2q 由，解得。11nnaa q6n 11或 2，。12q 6n 类型三：类型三：等比数列的性质等比数列的性质例例 3.3.等比数列中，若,求.na569aa3132310loglog.logaaa解析：解析：是等比数列，na110293847569a aaaaaaaaa 1032313logloglogaaaL553123103563log()log()log 910a aaaaaL举一反三：举一反三：【变式 1】正项等比数列中，若 a1a100=100;则 lga1+lga2+lga100=_.na【答案答案】100；lga1+lga2+lga3+lga100=lg(a1a2a3a100)而 a1a100=a2a99=a3a98=a50a51 原式=lg(a1a100)50=50lg(a1a100)=50lg100=100。【变式 2】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_。83272【答案答案】216；法一：法一：设这个等比数列为，其公比为，naq，183a 445127823aa qq48116q 294q。23362341111aaaa q a qa qaq33389621634法二：法二：设这个等比数列为，公比为，则，naq183a 5272a 加入的三项分别为，2a3a4a由题意，也成等比数列，故，1a3a5a238273632a 36a。23234333216aaaaaa类型四：类型四：等比数列前等比数列前 n n 项和公式的性质项和公式的性质例例 4 4在等比数列中，已知，求。na48nS 260nS3nS思路点拨：思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前 k 项和，第 2 个 k 项和，第 3 个 k 项和，第 n 个 k 项和仍然成等比数列。解析：解析：法一：法一：令 b1=Sn=48,b2=S2n-Sn=60-48=12，b3=S3n-S2n观察 b1=a1+a2+an,b2=an+1+an+2+a2n=qn(a1+a2+an)，b3=a2n+1+a2n+2+a3n=q2n(a1+a2+an)12易知 b1,b2,b3成等比数列，2223112348bbbS3n=b3+S2n=3+60=63.法二：法二：，22nnSS1q 由已知得121(1)481(1)601nnaqqaqq得，即 514nq14nq 代入得，1641aq。3133(1)164(1)6314nnaqSq法三：法三：为等比数列，也成等比数列，nanS2nnSS32nnSS，2232()()nnnnnSSSSS。22232()(6048)606348nnnnnSSSSS举一反三：举一反三：【变式 1】等比数列中，公比 q=2,S4=1,则 S8=_.na【答案答案】17；S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1(1+24)=17【变式 2】已知等比数列的前 n 项和为 Sn,且 S10=10,S20=40,求：S30=？na【答案答案】130；法一：法一：S10，S20-S10，S30-S20构成等比数列，(S20-S10)2=S10(S30-S20)即 302=10(S30-40),S30=130.法二：法二：2S10S20，,1q,101)1(10110qqaS20120(1)401aqSq,102011,14qq103q511 qa.130)31)(5(1)1(330130qqaS【变式 3】等比数列的项都是正数，若 Sn=80,S2n=6560，前 n 项中最大的一项为 54，求 n.na【答案答案】，(否则)6560802nnSS1q 212nnSS13=80 .(1)1(1)1nnaqSq=6560.(2)，212(1)1nnaqSq(2)(1)得：1+qn=82,qn=81.(3)该数列各项为正数，由(3)知 q1an为递增数列，an为最大项 54.an=a1qn-1=54,a1qn=54q,81a1=54q.(4)代入(1)得，1542813aqq2(1 81)80(1)3qqq=3,n=4.【变式 4】等比数列中，若 a1+a2=324,a3+a4=36,则 a5+a6=_.na【答案答案】4；令 b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q),易知：b1,b2,b3成等比数列，b3=4,即 a5+a6=4.122bb324362【变式 5】等比数列中，若 a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求 a7+a8+a9的值。na【答案答案】448；an是等比数列，(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,q3=8,a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=568=448.类型五：等差等比数列类型五：等差等比数列的综合应用的综合应用例例 5 5已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去 32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去 4，则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨：思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.解析：解析：法一：法一：设成等差数列的三数为 a-d,a,a+d.则 a-d,a,a+d+32 成等比数列，a-d,a-4,a+d 成等比数列.)2.().)()4()1.().32)(22dadaadadaa由(2)得 a=.(3)8162d由(1)得 32a=d2+32d.(4)(3)代(4)消 a，解得或 d=8.83d 当时,；当 d=8 时,a=1083d 269a 原来三个数为,或 2,10,50.929269338法二：法二：设原来三个数为 a,aq,aq2，则 a,aq,aq2-32 成等差数列，a,aq-4,aq2-32 成等比数列14)2).(32()4()1.(322222aqaaqaqaaq由(2)得，代入(1)解得 q=5 或 q=1324aq当 q=5 时 a=2；当 q=13 时.29a 原来三个数为 2，10，50 或，,.929269338总结升华：总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为 a-d,a,a+d；若三数成等比数列，可设此三数为，x,xy。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项 a，公比 q 来解yx决问题反而简便。举一反三：举一反三：【变式 1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上 4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上 32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.【答案答案】为 2，6，18 或；210 50,999设所求的等比数列为 a，aq，aq2；则 2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得 a=2，q=3 或，q=-5；29a 故所求的等比数列为 2，6，18 或.210 50,999【变式 2】已知三个数成等比数列，它们的积为 27，它们的平方和为 91，求这三个数。【答案答案】1、3、9 或1、3、9 或 9、3、1 或9、3、1设这三个数分别为，,aa aqq由已知得222222791aa aqqaaa qq 22231(1)91aaqq得，所以或，4298290qq29q 219q 即或3q 13q 故所求三个数为：1、3、9 或1、3、9 或 9、3、1 或9、3、1。【变式 3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和为 12，求这四个数.【答案答案】0，4，8，16 或 15，9，3，1；设四个数分别是 x,y,12-y,16-x15)2).(16()12()1.(1222xyyyxy由(1)得 x=3y-12，代入(2)得 144-24y+y2=y(16-3y+12)144-24y+y2=-3y2+28y,4y2-52y+144=0,y2-13y+36=0,y=4 或 9，x=0 或 15，四个数为 0，4，8，16 或 15，9，3，1.类型六：类型六：等比数列的判断与证明等比数列的判断与证明例例 6 6已知数列an的前 n 项和 Sn满足：log5(Sn+1)=n(nN+),求出数列an的通项公式，并判断an是何种数列？思路点拨：思路点拨：由数列an的前 n 项和 Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断an类型.解析：解析：log5(Sn+1)=n,Sn+1=5n,Sn=5n-1(nN+),a1=S1=51-1=4,当 n2 时，an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=45n-1而 n=1 时，45n-1=451-1=4=a1,nN+时，an=45n-1由上述通项公式，可知an为首项为 4，公比为 5 的等比数列.举一反三：举一反三：【变式 1】已知数列Cn，其中 Cn=2n+3n，且数列Cn+1-pCn为等比数列，求常数 p。【答案答案】p=2 或 p=3；Cn+1-pCn是等比数列，对任意 nN 且 n2，有(Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)Cn=2n+3n,(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)2=(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)即(2-p)2n+(3-p)3n2=(2-p)2n+1+(3-p)3n+1(2-p)2n-1+(3-p)3n-1整理得：,解得：p=2 或 p=3,1(2)(3)2306nnpp显然 Cn+1-pCn0，故 p=2 或 p=3 为所求.【变式 2】设an、bn是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn,证明数列Cn不是等比数列.【证明证明】设数列an、bn的公比分别为 p,q，且 pq为证Cn不是等比数列，只需证.2132CCC,222222211111 1()2Ca pbqa pb qab pq22222222131111111 1()()()CCaba pbqa pb qab pq,221321 1()CCCab pq又 pq,a10,b10,即21320CCC2132CCC数列Cn不是等比数列.【变式 3】判断正误：(1)an为等比数列a7=a3a4；(2)若 b2=ac，则 a，b，c 为等比数列；(3)an，bn均为等比数列，则anbn为等比数列；(4)an是公比为 q 的等比数列，则、仍为等比数列；2na1na(5)若 a，b，c 成等比，则 logma，logmb，logmc 成等差.16【答案答案】(1)错；a7=a1q6，a3a4=a1q2a1q3=a12q5，等比数列的下标和性质要求项数相同；(2)错；反例：02=00，不能说 0，0，0 成等比；(3)对；anbn首项为 a1b1，公比为 q1q2；(4)对；2211211,1nnnnaaqaqa(5)错；反例：-2，-4，-8 成等比，但 logm(-2)无意义.类型七：类型七：S Sn n与与 a an n的关系的关系例例 7 7已知正项数列an，其前 n 项和 Sn满足，且 a1，a3，a15成等比数列，求数21056nnnSaa列an的通项 an.解析：解析：，21056nnnSaa，解之得 a1=2 或 a1=3.21111056aaa又，21111056(2)nnnSaan由-得，即221110()5()nnnnnaaaaa11()(5)0nnnnaaaaan+an-10，an-an-1=5(n2).当 a1=3 时，a3=13，a15=73，a1，a3，a15不成等比数列a13；当 a1=2 时，a3=12，a15=72，有 a32=a1a15，a1=2，an=5n-3.总结升华：总结升华：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是，尤其注意11(1)(2)nnnanaSSn首项与其他各项的关系.举一反三：举一反三：【变式】命题 1：若数列an的前 n 项和 Sn=an+b(a1)，则数列an是等比数列；命题 2：若数列an的前 n 项和 Sn=na-n，则数列an既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中，真命题为 个.【答案答案】0；由命题 1 得，a1=a+b，当 n2 时，an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1.若an是等比数列，则，即，21aaa(1)a aaab所以只有当 b=-1 且 a0 时，此数列才是等比数列.由命题 2 得，a1=a-1，当 n2 时，an=Sn-Sn-1=a-1，显然an是一个常数列，即公差为 0 的等差数列，因此只有当 a-10，即 a1 时数列an才又是等比数列.17