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数列复习提纲
数 列
一、知识梳理
1、数列概念
1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.
2.通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即.
3.递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，，其中是数列的递推公式.
4.数列的前项和与通项的公式
①； ②.
5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.
6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.
①递增数列:对于任何,均有.
②递减数列:对于任何,均有.
③摆动数列:例如:
④常数数列:例如:6,6,6,6,…….
2、 等差数列
1.等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数
称为等差数列的公差.
2.通项公式与前项和公式
⑴通项公式，为首项，为公差，可推广：
⑵前项和公式或.
3.等差中项
如果成等差数列，那么叫做与的等差中项.
即：是与的等差中项，，成等差数列.
4.等差数列的判定方法
⑴定义法：（，是常数）是等差数列；
⑵中项法：()是等差数列.
(3) 是等差数列.
5.等差数列的常用性质
⑴数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列；
⑵在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为.
⑶；(,是常数)；(,是常数，)
⑷若，则；
⑸若等差数列的前项和，则是等差数列；
⑹当项数为，则；
当项数为，则.
3、等比数列
1.等比数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数
列，常数称为等比数列的公比.
2.通项公式与前项和公式
⑴通项公式：，为首项，为公比 .可推广：
⑵前项和公式：①当时，
②当时，.
3.等比中项
如果成等比数列，那么叫做与的等比中项.
即：是与的等差中项，，成等差数列.
4.等比数列的判定方法
⑴定义法：（，是常数）是等比数列；
⑵中项法：()且是等比数列.
(3) 是等比数列.
5.等比数列的常用性质
⑴数列是等比数列，则数列、（是常数）都是等比数列；
⑵在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为.
⑶
⑷若，则；
⑸若等比数列的前项和，则、、、是等比数列.
二、典型例题
A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）
1、根据基本量求解（方程的思想）
（1） 已知为等差数列的前项和，，求；

（2）等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．
（3）设是公比为正数的等比数列，若，求数列前7项的和.
（4）已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数.
2、根据数列的性质求解（整体思想）
（1）已知为等差数列的前项和，，则 ；
（2）设是等差数列的前n项和，若（ ）
（3）设、分别是等差数列、的前项和，，则 .
（4）等差数列,的前项和分别为,,若,则=（ ）
（5）在正项等比数列中，，则_______。
（6）已知数列是等差数列，若 ,且,则_________。
（7）已知为等比数列前项和，，，则 .
（8）在等差数列中，若，则的值为（ ）
（9）在等比数列中，已知，，则 .
（10）已知为等差数列，，则
（11）等差数列中，已知
B、求数列通项公式
1、给出前n项和求通项公式
（1）①；
②.
（2）设数列满足，求数列的通项公式
2、给出递推公式求通项公式
a、⑴已知关系式，可利用迭加法或迭代法；
例：已知数列中，，求数列的通项公式；
b、已知关系式，可利用迭乘法.
例、已知数列满足：，求求数列的通项公式；
c、构造新数列
1°递推关系形如“”，利用待定系数法求解
例、已知数列中，，求数列的通项公式.
2°递推关系形如",两边同除以
例1、已知数列中，，求数列的通项公式.
例2、数列中，，求数列的通项公式.
d、给出关于和的关系
例1、设数列的前项和为，，求数列的通项公式．
例2、设数列的前项和为，已知，设，
求数列的通项公式．
例3、设是数列的前项和，，.
⑴求的通项；
⑵设，求数列的前项和.
C、证明数列是等差或等比数列
1、证明数列等差
例1、已知为等差数列的前项和，.求证：数列是等差数列.
例2、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=.
求证：{}是等差数列；
2、证明数列等比
例1、设{an}是等差数列，bn＝，求证：数列{bn}是等比数列；
例2、数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，若an+Sn=n.设cn=an－1，求证：数列{cn}是等比数列；
例3、已知为数列的前项和，，
⑴设数列中，，求证：是等比数列；
⑵设数列中，，求证：是等差数列；
⑶求数列的通项公式及前项和.
例4、已知数列满足
⑴证明：数列是等比数列；
⑵求数列的通项公式；
D、求数列的前n项和
基本方法：
1、公式法，
2、拆解求和法.
例1、求数列的前项和.
例2、求数列的前项和.
3、裂项相消法，数列的常见拆项有：；；
例1、求和：S=1+
例2、求和：.
4、错位相减法，
例、若数列的通项，求此数列的前项和.
E、数列单调性最值问题
例1、数列中，，当数列的前项和取得最小值时， .
例2、已知为等差数列的前项和，当为何值时，取得最大值；
例3、是等差数列前项和，已知，为何值时，取得最大值；
例4、数列中，，求取最小值时的值.
例5、数列中，，求数列的最大项和最小项.
2012高考试题数列选编
一、选择题
1.【2012高考安徽文5】公比为2的等比数列{} 的各项都是正数，且 =16，则=
（A） 1 （B）2 （C） 4 （D）8
2.【2012高考全国文6】已知数列的前项和为，，，,则
（A） （B） （C） （D）
3.【2012高考辽宁文4】在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=
(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24
4.【2012高考湖北文7】定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x²；②f（x）=2x；③；④f（x）=ln|x |。则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
5.【2102高考福建文11】数列{an}的通项公式，其前n项和为Sn，则S2012= A.1006 B.2012 C.503 D.0
6.【2102高考北京文6】已知为等比数列，下面结论种正确的是
（A）a1+a3≥2a2 （B） （C）若a1=a3，则a1=a2（D）若a3＞a1，则a4＞a2
二、填空题
1.【2012高考重庆文11】首项为1，公比为2的等比数列的前4项和
2.【2012高考新课标文14】等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=_______
3.【2012高考江西文13】等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1。若a1=1，且对任意的都有an＋2＋an＋1-2an=0，则S5=_________________。
4.【2012高考辽宁文14】已知等比数列｛an｝为递增数列.若a1>0,且2（a n+a n+2）=5a n+1 ,则数列｛an｝的公比q = _____________________.
5.【2102高考北京文10】已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若，S2=a3，则a2=______，Sn=_______。
6.【2012高考广东文12】若等比数列满足，则 .
三、解答题
1.【2012高考浙江文19】已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=，n∈N﹡，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.
（1）求an，bn；
（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.
2．【2012高考四川文20】已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，，当为何值时，数列的前项和最大？
3.【2012高考重庆文16】已知为等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数。
4.【2012高考陕西文16】已知等比数列的公比为q=-.
（1）若=，求数列的前n项和；
（Ⅱ）证明：对任意，，，成等差数列。
5.【2012高考全国文18】已知数列中， ，前项和。
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）求的通项公式。
6.【2012高考广东文19】设数列前项和为，数列的前项和为，满足，.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式.
7.【2012高考江西文17】已知数列的前n项和（其中c，k为常数），且a2=4，a6=8a3
（1）求an；
（2）求数列{nan}的前n项和Tn。