等比数列知识点并附例题及解析.pdf
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1、等比数列知识点并附例题及解析等比数列知识点并附例题及解析1 1、等比数列的定义:、等比数列的定义:,称为公比公比*12,nnaq qnnNa0且q2 2、通项公式:、通项公式:,首项:;公比:11110,0nnnnaaa qqA Ba qA Bq1aq推广:n mn mnnn mnmmmaaaa qqqaa3 3、等比中项:、等比中项:(1)如果成等比数列,那么叫做与的等差中项,即:,a A bAab或2AabAab 注意:同号的同号的两个数才有才有等比中项,并且它们的等比中项有两个有两个(2)数列是等比数列 na211nnnaaa4 4、等比数列的前、等比数列的前项和项和公式:公式:nnS(
2、1)当时,1q 1nSna(2)当时,1q 11111nnnaqaa qSqq(为1111nnnaaqAA BA BAqq,A B A B常数)5 5、等比数列的判定方法:、等比数列的判定方法:(1)用定义:对任意的,都有n为等比数列11(0)nnnnnnaaqaq qaaa或为常数,(2)等比中项:为等比数列21111(0)nnnnnnaaaaaa(3)通项公式:为等比数列0nnnaA BA Ba6 6、等比数列的证明方法:、等比数列的证明方法:依据定义:若或为等比数列*12,nnaq qnnNa0且1nnnaqaa7 7、等比数列的性质:、等比数列的性质:(2)对任何,在等比数列中,有。*
3、,m nNnan mnmaa q(3)若,则。特别的,当时,*(,)mnst m n s tNnmstaaaa2mnk得 注:注:2nmkaaa12132nnna aaaa a(4)数列,为等比数列,则数列,na nbnkank aknannk ab(为非零常数)均为等比数列。nnabk(5)数列为等比数列,每隔项取出一项na*()k kN仍为等比数列23(,)mm kmkmkaaaa(6)如果是各项均为正数的等比数列等比数列,则数列是等差数列等差数列nalogana(7)若为等比数列,则数列,成等比数列nanS2nnSS32,nnSS(8)若为等比数列,则数列,na12na aa122nnn
4、aaa成等比数列21223nnnaaa(9)当时,1q 1100nnaaaa,则为递增数列,则为递减数列当时,1q 01100nnaaaa,则为递减数列,则为递增数列当时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列);1q 当时,该数列为摆动数列.0q(10)在等比数列中,当项数为时,na*2()n nN1SSq奇偶二二 例题解析例题解析【例例 1】1】已知 Sn是数列an的前 n 项和,Snpn(pR R,nN*),那么数列an()A是等比数列 B当 p0 时是等比数列BC当 p0,p1 时是等比数列 D不是等比数列【例例 2】2】已知等比数列 1,x1,x2,x2n,2,求x1x2x3x2n【例
5、例3 3】a(1)a=4an25等比数列中,已知,求通项公12式;(2)已知 a3a4a58,求 a2a3a4a5a6的值【例例 4】4】求数列的通项公式:(1)an中,a12,an+13an2(2)an中,a1=2,a25,且 an+23an+12an0三、三、考点分析考点分析考点一:等比数列定义的应用考点一:等比数列定义的应用1、数列满足,则_ na1123nnaan 143a 4a 2、在数列中,若,则该数列的通项 na11a 1211nnaan_na 考点二:等比中项的应用考点二:等比中项的应用1、已知等差数列的公差为,若,成等比数列,则(na21a3a4a2a)A B C 468D1
6、02、若、成等比数列,则函数的图象与轴交点的个数为abc2yaxbxcx()AB CD不确定0123、已知数列为等比数列,求的通项公式 na32a 24203aa na考点三:等比数列及其前考点三:等比数列及其前 n n 项和的基本运算项和的基本运算1、若公比为的等比数列的首项为,末项为,则这个数列的项数是(239813)A B C D34562、已知等比数列中,则该数列的通项 na33a 10384a_na 3、若为等比数列,且,则公比_ na4652aaaq 4、设,成等比数列,其公比为,则的值为()1a2a3a4a2123422aaaaAB C D14121815、等比数列an中,公比
7、q=且 a2+a4+a100=30,则21a1+a2+a100=_.考点四:等比数列及其前考点四:等比数列及其前 n n 项和性质的应用项和性质的应用1、在等比数列中,如果,那么为()na66a 99a 3aA B C D43216922、如果,成等比数列,那么()1abc9A,B,3b 9ac 3b 9ac C,D,3b 9ac 3b 9ac 3、在等比数列中,则等于()na11a 103a23456789a a a a a a a aABCD81527 2732434、在等比数列中,则等于(na9100aaa a1920aab99100aa)A B C D98ba9ba109ba10ba5
8、、在等比数列中,和是二次方程的两个根,则的 na3a5a250 xkx246a a a值为()ABCD255 55 55 56、若是等比数列,且,若,那么的值 na0na 243546225a aa aa a35aa等于 考点五:公式考点五:公式的应用的应用11,(1),(2)nnnSnaSSn1、若数列的前 n 项和 Sn=a1+a2+an,满足条件 log2Sn=n,那么an是()A.公比为 2 的等比数列 B.公比为的等比数列21C.公差为 2 的等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列2、等比数列前 n 项和 Sn=2n-1,则前 n 项的平方和为()A.(2n-1)2 B.(2n-
9、1)2 C.4n-1 D.(4n-1)31313、设等比数列an的前 n 项和为 Sn=3n+r,那么 r 的值为_.一、等差和等比数列比较:一、等差和等比数列比较:二、二、等差数列的定义与性质等差数列的定义与性质定义:1nnaad(d为常数),通项:11naand等差中项:xAy,成等差数列2Axy前n项和:11122nnaann nSnad性质:na是等差数列(1)若mnpq,则mnpqaaaa;(2)数列仍为等差数列,232nnnnnSSSSS,仍为等 12212,nnnaaa差数列,公差为;dn(3)若nnab,是等差数列,且前n项和分别为nnST,则2121mmmmaSbT(4)na
10、为等差数列2nSanbn(ab,为常数,是关于n的常数项为 0 的等差数列等比数列定义daann1)0(1qqaann递推公式daann1;mdaanmnqaann1;mnmnqaa通项公式dnaan)1(111nnqaa(0,1qa)中项2knknaaA(0,*ff knNkn))0(fknknknknaaaaG(0,*ff knNkn)前n项和)(21nnaanSdnnnaSn2)1(1)2(111)1(111qqqaaqqaqnaSnnn重要性质),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm二次函数,可能有最大值或最小值)(5)项数为偶数的等差数列
11、na,有n2),)()()(11122212为中间两项nnnnnnnaaaanaanaanSL,.ndSS奇偶1nnaaSS偶奇(6)项数为奇数的等差数列 na,有12 n,.)()12(12为中间项nnnaanSnaSS偶奇1nnSS偶奇三、等比数列的定义与性质三、等比数列的定义与性质定义:1nnaqa(q为常数,0q),通项:11nnaa q.等比中项:xGy、成等比数列2Gxy,或Gxy.前n项和:11(1)1(1)1nnna qSaqqq(要注意 q!)性质:na是等比数列(1)若mnpq,则mnpqaaaa(2)232nnnnnSSSSS,仍为等比数列,公比为.nq四、数列求和的常用
12、方法:四、数列求和的常用方法:1 1 、裂裂项项分分组组法法:、11111 22 33 4111111111()()()()122334111111n nnnnnnLL()11111,2,3,4,n39278111111 2 3 4392781LLL前前前前前前+前+前+前2 2、错错位位相相减减法法:凡等等差差数列和等等比比数列对应项的 乘乘积积构成的数列求和时用此方法,例例:求:23n-2n-1nnS=x3x5x(2n-5)x(2n-3)x(2n-1)x (x1)L解:23n-2n-1nnS=x3x5x(2n-5)x(2n-3)x(2n-1)x (x1)L 234n-1nn+1nxS=x3
13、x5x(2n-5)x(2n-3)x(2n-1)x(x1)L 减 得:23n-1nn+1n2n-1n+1(1x)S=x2x2x2x2x2n1 x2x1xx2n1 x1xL从而求出。nS错错位位相相减减法法 的的步步骤骤:(1)将要求和的杂数列前后各写出三项,列出 式;(2)将式左右两边都乘以公比q,得到式;(3)用,错位相减;(4)化简计算。3 3、倒倒序序相相加加 法法:前两种方法不行时考虑倒序相加法例例:等差数列求和:n123n 2n 1nnnn 1n 2321S=aaaaaaS=aaaaaaLL两式相加可得:n1n2n 13n 23n 22n 11n2S=aaaaaaaaaaaaL即:1n
14、2n aanS 所以等比数列等比数列例题解析例题解析【例例 1】已知 Sn是数列an的前 n 项和,Snpn(pR,nN*),那么数列an 1nn aa2nSA是等比数列B当 p0 时是等比数列C当 p0,p1 时是等比数列D不是等比数列【例例 2】已知等比数列 1,x1,x2,x2n,2,求x1x2x3x2n【例例3 3】a(1)a=4an25等比数列中,已知,求通项公12式;(2)已知 a3a4a58,求 a2a3a4a5a6的值【例例 4】已知 a0,b0 且 ab,在 a,b 之间插入 n 个正数x1,x2,xn,使得 a,x1,x2,xn,b 成等比数列,求证x xxabnn122【
15、例例 5】设 a、b、c、d 成等比数列,求证:(bc)2(ca)2(db)2(ad)2【例例 6】求数列的通项公式:(1)an中,a12,an+13an2(2)an中,a1=2,a25,且 an+23an+12an0【例例7 7】aaaa(aa)a2a(aa)aaa=0aaaa1234122242213422321234若实数、都不为零,且满足求证:、成等比数列,且公比为【例例 8】若 a、b、c 成等差数列,且 a1、b、c 与 a、b、c2 都成等比数列,求 b 的值【例例 9】已知等差数列an的公差和等比数列bn的公比都是 d,又知d1,且 a4=b4,a10=b10:(1)求 a1与
16、 d 的值;(2)b16是不是an中的项?【例例1 10 0】a b=(12)bbb=218b b b=18nnan123123设是等差数列,已知,求等差数列的通项【例例 11】三个数成等比数列,若第二个数加 4 就成等差数列,再把这个等差数列的第 3 项加 32 又成等比数列,求这三个数【例例 12】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和是 12,求这四个数【例例 13】已知三个数成等差数列,其和为 126;另外三个数成等比数列,把两个数列的对应项依次相加,分别得到85,76,84求这两个数列【例例 14】已知在数列a
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