等比数列知识点并附例题及解析.pdf

等比数列知识点并附例题及解析等比数列知识点并附例题及解析1 1、等比数列的定义：、等比数列的定义：，称为公比公比*12,nnaq qnnNa0且q2 2、通项公式：、通项公式：，首项：；公比：11110,0nnnnaaa qqA Ba qA Bq1aq推广：n mn mnnn mnmmmaaaa qqqaa3 3、等比中项：、等比中项：（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：,a A bAab或2AabAab 注意：同号的同号的两个数才有才有等比中项，并且它们的等比中项有两个有两个（2）数列是等比数列 na211nnnaaa4 4、等比数列的前、等比数列的前项和项和公式：公式：nnS（1）当时，1q 1nSna（2）当时，1q 11111nnnaqaa qSqq（为1111nnnaaqAA BA BAqq,A B A B常数）5 5、等比数列的判定方法：、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的，都有n为等比数列11(0)nnnnnnaaqaq qaaa或为常数，（2）等比中项：为等比数列21111(0)nnnnnnaaaaaa（3）通项公式：为等比数列0nnnaA BA Ba6 6、等比数列的证明方法：、等比数列的证明方法：依据定义：若或为等比数列*12,nnaq qnnNa0且1nnnaqaa7 7、等比数列的性质：、等比数列的性质：（2）对任何，在等比数列中，有。*,m nNnan mnmaa q（3）若，则。特别的，当时，*(,)mnst m n s tNnmstaaaa2mnk得 注：注：2nmkaaa12132nnna aaaa a（4）数列，为等比数列，则数列，na nbnkank aknannk ab（为非零常数）均为等比数列。nnabk（5）数列为等比数列，每隔项取出一项na*()k kN仍为等比数列23(,)mm kmkmkaaaa（6）如果是各项均为正数的等比数列等比数列，则数列是等差数列等差数列nalogana（7）若为等比数列，则数列，成等比数列nanS2nnSS32,nnSS（8）若为等比数列，则数列，na12na aa122nnnaaa成等比数列21223nnnaaa（9）当时，1q 1100nnaaaa，则为递增数列，则为递减数列当时，1q 01100nnaaaa，则为递减数列，则为递增数列当时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；1q 当时,该数列为摆动数列.0q（10）在等比数列中，当项数为时，na*2()n nN1SSq奇偶二二 例题解析例题解析【例例 1】1】已知 Sn是数列an的前 n 项和，Snpn(pR R，nN*)，那么数列an（）A是等比数列 B当 p0 时是等比数列BC当 p0，p1 时是等比数列 D不是等比数列【例例 2】2】已知等比数列 1，x1，x2，x2n，2，求x1x2x3x2n【例例3 3】a(1)a=4an25等比数列中，已知，求通项公12式；(2)已知 a3a4a58，求 a2a3a4a5a6的值【例例 4】4】求数列的通项公式：(1)an中，a12，an+13an2(2)an中，a1=2，a25，且 an+23an+12an0三、三、考点分析考点分析考点一：等比数列定义的应用考点一：等比数列定义的应用1、数列满足，则_ na1123nnaan 143a 4a 2、在数列中，若，则该数列的通项 na11a 1211nnaan_na 考点二：等比中项的应用考点二：等比中项的应用1、已知等差数列的公差为，若，成等比数列，则（na21a3a4a2a）A B C 468D102、若、成等比数列，则函数的图象与轴交点的个数为abc2yaxbxcx（）AB CD不确定0123、已知数列为等比数列，求的通项公式 na32a 24203aa na考点三：等比数列及其前考点三：等比数列及其前 n n 项和的基本运算项和的基本运算1、若公比为的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是（239813）A B C D34562、已知等比数列中，则该数列的通项 na33a 10384a_na 3、若为等比数列，且，则公比_ na4652aaaq 4、设，成等比数列，其公比为，则的值为（）1a2a3a4a2123422aaaaAB C D14121815、等比数列an中，公比 q=且 a2+a4+a100=30，则21a1+a2+a100=_.考点四：等比数列及其前考点四：等比数列及其前 n n 项和性质的应用项和性质的应用1、在等比数列中，如果，那么为（）na66a 99a 3aA B C D43216922、如果，成等比数列，那么（）1abc9A，B，3b 9ac 3b 9ac C，D，3b 9ac 3b 9ac 3、在等比数列中，则等于（）na11a 103a23456789a a a a a a a aABCD81527 2732434、在等比数列中，则等于（na9100aaa a1920aab99100aa）A B C D98ba9ba109ba10ba5、在等比数列中，和是二次方程的两个根，则的 na3a5a250 xkx246a a a值为（）ABCD255 55 55 56、若是等比数列，且，若，那么的值 na0na 243546225a aa aa a35aa等于 考点五：公式考点五：公式的应用的应用11,(1),(2)nnnSnaSSn1、若数列的前 n 项和 Sn=a1+a2+an，满足条件 log2Sn=n，那么an是()A.公比为 2 的等比数列 B.公比为的等比数列21C.公差为 2 的等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列2、等比数列前 n 项和 Sn=2n-1，则前 n 项的平方和为()A.(2n-1)2 B.(2n-1)2 C.4n-1 D.(4n-1)31313、设等比数列an的前 n 项和为 Sn=3n+r，那么 r 的值为_.一、等差和等比数列比较：一、等差和等比数列比较：二、二、等差数列的定义与性质等差数列的定义与性质定义：1nnaad（d为常数），通项：11naand等差中项：xAy，成等差数列2Axy前n项和：11122nnaann nSnad性质：na是等差数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa；（2）数列仍为等差数列，232nnnnnSSSSS，仍为等 12212,nnnaaa差数列，公差为；dn（3）若nnab，是等差数列，且前n项和分别为nnST，则2121mmmmaSbT（4）na为等差数列2nSanbn（ab，为常数，是关于n的常数项为 0 的等差数列等比数列定义daann1)0(1qqaann递推公式daann1；mdaanmnqaann1；mnmnqaa通项公式dnaan)1(111nnqaa（0,1qa）中项2knknaaA（0,*ff knNkn）)0(fknknknknaaaaG（0,*ff knNkn）前n项和)(21nnaanSdnnnaSn2)1(1)2(111)1(111qqqaaqqaqnaSnnn重要性质),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm二次函数，可能有最大值或最小值）（5）项数为偶数的等差数列 na，有n2),)()()(11122212为中间两项nnnnnnnaaaanaanaanSL，.ndSS奇偶1nnaaSS偶奇(6)项数为奇数的等差数列 na，有12 n，.)()12(12为中间项nnnaanSnaSS偶奇1nnSS偶奇三、等比数列的定义与性质三、等比数列的定义与性质定义：1nnaqa（q为常数，0q），通项：11nnaa q.等比中项：xGy、成等比数列2Gxy，或Gxy.前n项和：11(1)1(1)1nnna qSaqqq（要注意 q！）性质：na是等比数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa（2）232nnnnnSSSSS，仍为等比数列,公比为.nq四、数列求和的常用方法：四、数列求和的常用方法：1 1 、裂裂项项分分组组法法：、11111 22 33 4111111111()()()()122334111111n nnnnnnLL（）11111,2,3,4,n39278111111 2 3 4392781LLL前前前前前前+前+前+前2 2、错错位位相相减减法法：凡等等差差数列和等等比比数列对应项的 乘乘积积构成的数列求和时用此方法，例例：求：23n-2n-1nnS=x3x5x(2n-5)x(2n-3)x(2n-1)x (x1)L解：23n-2n-1nnS=x3x5x(2n-5)x(2n-3)x(2n-1)x (x1)L 234n-1nn+1nxS=x3x5x(2n-5)x(2n-3)x(2n-1)x(x1)L 减 得：23n-1nn+1n2n-1n+1(1x)S=x2x2x2x2x2n1 x2x1xx2n1 x1xL从而求出。nS错错位位相相减减法法 的的步步骤骤：(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出 式；(2)将式左右两边都乘以公比q，得到式；(3)用，错位相减；(4)化简计算。3 3、倒倒序序相相加加 法法：前两种方法不行时考虑倒序相加法例例：等差数列求和：n123n 2n 1nnnn 1n 2321S=aaaaaaS=aaaaaaLL两式相加可得：n1n2n 13n 23n 22n 11n2S=aaaaaaaaaaaaL即：1n2n aanS 所以等比数列等比数列例题解析例题解析【例例 1】已知 Sn是数列an的前 n 项和，Snpn(pR，nN*)，那么数列an 1nn aa2nSA是等比数列B当 p0 时是等比数列C当 p0，p1 时是等比数列D不是等比数列【例例 2】已知等比数列 1，x1，x2，x2n，2，求x1x2x3x2n【例例3 3】a(1)a=4an25等比数列中，已知，求通项公12式；(2)已知 a3a4a58，求 a2a3a4a5a6的值【例例 4】已知 a0，b0 且 ab，在 a，b 之间插入 n 个正数x1，x2，xn，使得 a，x1，x2，xn，b 成等比数列，求证x xxabnn122【例例 5】设 a、b、c、d 成等比数列，求证：(bc)2(ca)2(db)2(ad)2【例例 6】求数列的通项公式：(1)an中，a12，an+13an2(2)an中，a1=2，a25，且 an+23an+12an0【例例7 7】aaaa(aa)a2a(aa)aaa=0aaaa1234122242213422321234若实数、都不为零，且满足求证：、成等比数列，且公比为【例例 8】若 a、b、c 成等差数列，且 a1、b、c 与 a、b、c2 都成等比数列，求 b 的值【例例 9】已知等差数列an的公差和等比数列bn的公比都是 d，又知d1，且 a4=b4，a10=b10：(1)求 a1与 d 的值；(2)b16是不是an中的项？【例例1 10 0】a b=(12)bbb=218b b b=18nnan123123设是等差数列，已知，求等差数列的通项【例例 11】三个数成等比数列，若第二个数加 4 就成等差数列，再把这个等差数列的第 3 项加 32 又成等比数列，求这三个数【例例 12】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和是 12，求这四个数【例例 13】已知三个数成等差数列，其和为 126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84求这两个数列【例例 14】已知在数列an中，a1、a2、a3成等差数列，a2、a3、a4成等比数列，a3、a4、a5的倒数成等差数列，证明：a1、a3、a5成等比数列【例例 15】已知(bc)logmx(ca)logmy(ab)logmz=0(1)设 a，b，c 依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z 成等比数列(2)设正数 x，y，z 依次成等比数列，且公比不为 1，求证：a，b，c 成等差数列等比数列等比数列例题解析例题解析【例例 1】已知 Sn是数列an的前 n 项和，Snpn(pR，nN*)，那么数列an A是等比数列B当 p0 时是等比数列C当 p0，p1 时是等比数列D不是等比数列分析分析 由 Snpn(nN*)，有 a1=S1p，并且当 n2 时，an=SnSn-1pnpn-1(p1)pn-1故，因此数列成等比数列 a=(p1)pa p0p10(p1)p2nn 1()()ppp ppn212但满足此条件的实数 p 是不存在的，故本题应选 D说明说明 数列an成等比数列的必要条件是 an0(nN*)，还要注意对任，都为同一常数是其定义规定的准确含义n*n2Naann1【例例 2】已知等比数列 1，x1，x2，x2n，2，求x1x2x3x2n解解 1，x1，x2，x2n，2 成等比数列，公比 q21q2n+1x1x2x3x2nqq2q3q2n=q1+2+3+2n=q2n(1+2n)2qnnn()212【例例3 3】a(1)a=4an25等比数列中，已知，求通项公12式；(2)已知 a3a4a58，求 a2a3a4a5a6的值解解 (1)a=a q q=525 212aa q4()()(2)aaa aaaa=8n2n 2n 2n 43542345431212a42又a aa aaa a a a a=a=322635423456452【例例 4】已知 a0，b0 且 ab，在 a，b 之间插入 n 个正数x1，x2，xn，使得 a，x1，x2，xn，b 成等比数列，求证x xxabnn122证明证明 设这 n2 个数所成数列的公比为 q，则 b=aqn+1qbax xxaqaqaqaqababnnnnnn1122122【例例 5】设 a、b、c、d 成等比数列，求证：(bc)2(ca)2(db)2(ad)2证法证法一 a、b、c、d 成等比数列abbccdb2ac，c2bd，adbc左边=b22bcc2c22aca2d22bdb2=2(b2ac)2(c2bd)(a22bcd2)a22add2(ad)2右边证毕证法二证法二 a、b、c、d 成等比数列，设其公比为 q，则：baq，caq2，d=aq3左边(aqaq2)2(aq2a)2(aq3aq)2a22a2q3a2q6=(aaq3)2(ad)2=右边证毕说明说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目证法一是抓住了求证式中右边没有 b、c 的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的 b、c的路子证法二则是把 a、b、c、d 统一化成等比数列的基本元素 a、q 去解决的证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性【例例 6】求数列的通项公式：(1)an中，a12，an+13an2(2)an中，a1=2，a25，且 an+23an+12an0思路：转化为等比数列解解 (1)a=3a2a1=3(a1)n+1nn+1nan1是等比数列an1=33n-1 an=3n1(2)a3a2a=0aa=2(aa)n+2n+1nn+2n+1n+1nan+1an是等比数列，即an+1an=(a2a1)2n-1=32n-1再注意到 a2a1=3，a3a2=321，a4a3=322，anan-1=32n-2，这些等式相加，即可以得到a=31222=3=3(21)n2n-2n 1 21211n说明说明 解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知(1)中发现an1是等比数列，(2)中发现an+1an是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现【例例7 7】aaaa(aa)a2a(aa)aaa=0aaaa1234122242213422321234若实数、都不为零，且满足求证：、成等比数列，且公比为证证 a1、a2、a3、a4均为不为零的实数为实系数一元二次方程等式说明上述方程有实数根(aa)x2a(aa)xaa=0(aa)a2a(aa)aaa=0a122222132232122242213422324上述方程的判别式 0，即2a(aa)4(aa)(aa)=4(aa a)0(aa a)02132122222322213222132又a1、a2、a3为实数必有即(aa a)0aa a=0a=a a2213222132213因而 a1、a2、a3成等比数列又a=2a42()()()aaaaaaaaa aaa1312222131213212a4即为等比数列 a1、a2、a3的公比【例例 8】若 a、b、c 成等差数列，且 a1、b、c 与 a、b、c2 都成等比数列，求 b 的值解解 设 a、b、c 分别为 bd、b、bd，由已知 bd1、b、bd 与bd、b、bd2 都成等比数列，有b=(bd1)(bd)b=(bd)(bd2)22 整理，得b=bdbdb=bd2b2d222222 bd=2b2d 即 b=3d代入，得9d2=(3dd1)(3dd)9d2=(2d1)4d解之，得 d=4 或 d=0(舍)b=12【例例 9】已知等差数列an的公差和等比数列bn的公比都是 d，又知d1，且 a4=b4，a10=b10：(1)求 a1与 d 的值；(2)b16是不是an中的项？思路：运用通项公式列方程解解 (1)a=ba=b3d=a da9d=a da(1d)=3da(1d)=9d4410101131191319由a dd2=063舍 或ddadd1231331222()(2)b16=b1d15=32b1且a=a3d=2 2=bb=bd=2b=2 2b=a=2413441313113b16=32b1=32a1，如果 b16是an中的第 k 项，则32a1=a1(k1)d(k1)d=33a1=33dk=34 即 b16是an中的第 34 项【例例1 10 0】a b=(12)bbb=218b b b=18nnan123123设是等差数列，已知，求等差数列的通项解解 设等差数列an的公差为 d，则 an=a1(n1)db=(12)b b=(12)(12)=(12)bna13aa+2d2(a+d)221111()nd1由，解得，解得，代入已知条件整理得b b b=18b=18b=12b b b=18b b=14bb=1781232321231313bbb123218解这个方程组，得b=2b=18b=18b=21313，或，a1=1，d=2 或 a1=3，d=2当 a1=1，d=2 时，an=a1(n1)d=2n3当 a1=3，d=2 时，an=a1(n1)d=52n【例例 11】三个数成等比数列，若第二个数加 4 就成等差数列，再把这个等差数列的第 3 项加 32 又成等比数列，求这三个数解法一解法一 按等比数列设三个数，设原数列为 a，aq，aq2由已知：a，aq4，aq2成等差数列即：2(aq4)=aaq2a，aq4，aq232 成等比数列即：(aq4)2=a(aq232)aq2=4a，两式联立解得：或这三数为：，或，a=2q=3a=29q=5261829109509解法二解法二 按等差数列设三个数，设原数列为 bd，b4，bd由已知：三个数成等比数列即：(b4)2=(bd)(bd)8bd=162bd，b，bd32 成等比数列即 b2=(bd)(bd32)32bd32d=02、两式联立，解得：或三数为，或，b=269d=83b=10d=8261829109509解法三解法三 任意设三个未知数，设原数列为 a1，a2，a3由已知：a1，a2，a3成等比数列得：a=a a2213a1，a24，a3成等差数列得：2(a24)=a1a3a1，a24，a332 成等比数列得：(a24)2=a1(a332)、式联立，解得：或a=29a=109a=509a=2a=6a=18123123说明说明 将三个成等差数列的数设为 ad，a，ad；将三个成等比数列的数设为，或，是一种常用技巧，可起到aaqaq(aaq)2aq简化计算过程的作用【例例 12】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和是 12，求这四个数分析分析 本题有三种设未知数的方法方法一方法一 设前三个数为 ad，a，ad，则第四个数由已知条件可推得：()ada2方法二方法二 设后三个数为 b，bq，bq2，则第一个数由已知条件推得为2bbq方法三方法三 设第一个数与第二个数分别为 x，y，则第三、第四个数依次为12y，16x由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，解解法法一一 adaad设前三个数为 ，则第四个数为()ada2依题意，有 ad=16a(ad)=12()ada2解方程组得：或a=4d=4a=9d=61122所求四个数为：0，4，8，16 或 15，9，3，1解法二解法二 设后三个数为：b，bq，bq2，则第一个数为：2bbq依题意有：2bbqbq=16bbq=122解方程组得：或b=4q=2 b=9q=131122所求四个数为：0，4，8，16 或 15，9，3，1解法三解法三 设四个数依次为 x，y，12y，16x依题意有x(12y)=2yy(16x)=(12y)2解方程组得：或x=0y=4x=15y=91122这四个数为 0，4，8，16 或 15，9，3，1【例例 13】已知三个数成等差数列，其和为 126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到 85，76，84求这两个数列解解 设成等差数列的三个数为 bd，b，bd，由已知，bdbbd=126b=42这三个数可写成 42d，42，42d再设另三个数为 a，aq，aq2由题设，得a42d=85ap42=76aq42d=842整理，得 ad=43aq=34aqd=422解这个方程组，得a1=17 或 a2=68当 a=17 时，q=2，d=26当时，a=68q=12d=25从而得到：成等比数列的三个数为 17，34，68，此时成等差的三个数为68，42，16；或者成等比的三个数为 68，34，17，此时成等差的三个数为17，42，67【例例 14】已知在数列an中，a1、a2、a3成等差数列，a2、a3、a4成等比数列，a3、a4、a5的倒数成等差数列，证明：a1、a3、a5成等比数列证明证明 由已知，有2a2=a1a3a=aa3224211435aaa由，得由，得代入，得a=2aaa+aa=a+a2a=a+a243535213321323535aaaa整理，得a=a(a+a)a+a351235即 a3(a3a5)=a5(a1a3)aa a=a aa aa=aa323515353215所以 a1、a3、a5成等比数列【例例 15】已知(bc)logmx(ca)logmy(ab)logmz=0(1)设 a，b，c 依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z 成等比数列(2)设正数 x，y，z 依次成等比数列，且公比不为 1，求证：a，b，c 成等差数列证明证明 (1)a，b，c 成等差数列，且公差 d0bc=ab=d，ca=2d代入已知条件，得：d(logmx2logmylogmz)=0logmxlogmz=2logmyy2=xzx，y，z 均为正数x，y，z 成等比数列(2)x，y，z 成等比数列且公比 q1y=xq，z=xq2代入已知条件得：(bc)logmx(ca)logmxq(ab)logmxq2=0变形、整理得：(ca2b)logmq=0q1 logmq0ca2b=0 即 2b=ac即 a，b，c 成等差数列