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数列部分易错题选
一、选择题
1．设s是等差数列｛a｝的前n项和，已知s=36, s=324, s=144 (n>6),则n=( )
A 15 B 16 C 17 D 18
正确答案：D 错因：学生不能运用数列的性质计算a+a=
2．已知s是等差数列｛a｝的前n项和，若a+a+a是一个确定的常数，则数列｛s｝中是常数的项是（ ）
A s B s C s D s
正确答案: D 错因：学生对等差数列通项公式的逆向使用和等差数列的性质不能灵活应用。
3．设｛a｝是等差数列，｛b｝为等比数列，其公比q≠1, 且b＞0(i=1、2、3 …n) 若a=b,a=b则 ( )
A a=b B a＞b C a＜b D a＞b或 a＜b
正确答案 B 错因：学生不能灵活运用等差中项和等比中项的定义及基本不等式。
4．已知非常数数列｛a｝，满足 a-aa+a=0且a≠a, i=1、2、3、…n,对于给定的正整数n,a=a,则等于（ ）
A 2 B -1 C 1 D 0

正确答案：D 错因：学生看不懂题目，不能挖掘题目的隐含条件，｛a｝的项具有周期性。
5．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期，到2008年将所有的存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为（ ）．
A a(1+p) B a(1+p) C D ]
正确答案：D 错因： 学生对存款利息的计算方法没掌握。
6．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于（ ）
A. 22 B. 21 C. 19 D. 18
解：设该数列有项
且首项为，末项为，公差为
则依题意有

可得

代入(3)有
从而有
又所求项恰为该数列的中间项，

故选D
说明：虽然依题意只能列出3个方程，而方程所涉及的未知数有4个，但将作为一个整体，问题即可迎刃而解。在求时，巧用等差中项的性质也值得关注。知识的灵活应用，来源于对知识系统的深刻理解。
7． 是成等比数列的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解：不一定等比
如
若成等比数列
则
选D
说明：此题易错选为A或B或C，原因是等比数列中要求每一项及公比都不为零。
8．已知Sk表示{an}的前K项和，Sn—Sn+1=an（n∈N+），则{an}一定是_______。
A、等差数列 B、等比数列 C、常数列 D、以上都不正确
正确答案：D
错误原因：忽略an=0这一特殊性
9．已知数列—1，a1，a2，—4成等差数列,—1，b1,b2,b3,—4成等比数列，则的值为___________。
A、 B、— C、或— D、
正确答案：A
错误原因：忽略b2为等比数列的第三项，b2符号与—1、—4同号
10．等比数列{an}的公比为q，则q＞1是“对于任意n∈N+”都有an+1＞an的_______条件。
A、必要不充分条件 B、充分不必要条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
正确答案：D
错误原因：忽略a1与q共同限制单调性这一特性
11．数列的前n项和为s=n2+2n-1，
则a1+a3+a5+……+a25=( )
A 350 B 351 C 337 D 338
正确答案：A
错因：不理解该数列从第二项起向后成等差数列。
12．在等差数列，则在Sn中最大的负数为（ ）
A．S17 B．S18 C．S19 D．S20
答案：C
错因：等差数列求和公式应用以及数列性质分析错误。
13．已知三个互不相等实数成等差数列，那么关于的方程
A，一定有两个不相等的实数根 B，一定有两个相等的实数根
C, 一定没有实数根 D，一定有实数根
正确答案：D
错因：不注意ａ＝０的情况。
14．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
正确答案：D
错因：误认为公比一定为整数。
15．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”，设是公比为q的无穷等比数列，下列四组量中，一定能成为数列“基本量”的是（ ）
（1），（2）（3），，（4）
A.（1）（3） B .（1） （4） C.（2） （3） D.（2）（4）
正确答案(B)
错因:题意理解不清
16．已知等差数列｛an,｝的前n项和为sn，且S2=10,S5=55,则过点P(n,)，Q(n+2,)(n∈N+*)的直线的斜率为
A、4 B、3 C、2 D、1
正确答案： D
错因：不注意对和式进行化简。
17．在之间插入n个正数，使这n+2个正数成等比数列，则插入的n个正数之积为._______.
正确答案：
错因：无法探求问题实质，致使找不到解题的切入点。
18．数列满足 ，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
正确答案：C
错因：缺研究性学习能力
19．已知数列的前n项和为，，现从前m项：，，…，中抽出一项（不是，也不是），余下各项的算术平均数为37，则抽出的是
A．第6项　　 　　　B．第8项 　　C．第12项　　　　 D．第15项
正确答案：B
20．某种细菌在细菌的作用下完成培养过程，假设一个细菌与一个细菌可繁殖为2个细菌与0个细菌,今有1个细菌和512个细菌,则细菌最多可繁殖的个数为
A．511 B.512 C.513 D.514
正确答案：C
21．等比数列中，，公比，用表示它前n项的积：，则中最大的是（ ）
A B C D
正确答案：C
22．已知，对于，定义，假设，那么解析式是（ ）
A B C D
正确答案：B

23．如图①，②，③，……是由花盆摆成的图案，

① ② ③
根据图中花盆摆放的规律，猜想第个图形中花盆的盆数= .
正确答案：
24． 是实数构成的等比数列，Sn是其前n项和，则数列中 （ ）
A、任一项均不为0 B、必有一项为0
C、至多有有限项为0 D、或无一项为0，或无穷多项为0
正确答案：D
25． 是a，x，b成等比数列的（ ）
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件
C、充要条件 D、既不充分又不必要条件
答案：D
点评：易错选A或B。
26．数列1，1+2，1+2+4，…，1+2+4+…+2n各项和为（ ）
A、2n+1－2－n B、2n－n－1
C、2n+2－n－3 D、2n+2－n－2
答案：C
点评：误把1+2+4+…+2n当成通项，而忽略特值法排除，错选A。
27．已知数列{an}的通项公式为an=6n－4，数列{bn}的通项公式为bn=2n，则在数列{an}的前100项中与数列{bn}中各项中相同的项有（ ）
A、50项 B、34项 C、6项 D、5项
点评：列出两个数列中的项，找规律。
28．已知数列中，若≥2)，则下列各不等式中一定成立的是（ ）。
A. ≤
B.
C. ≥
D.
正解：A
由于≥2)，为等差数列。
而 ≤0 ≤
误解：判断不出等差数列，判断后，是否选用作差法。
29．某工厂第一年年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则（ ）。
E.
F. ≤
G. >
H. ≥
正解：B
设平均增长率为，

≤
误解：
30．计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如（1101）2表示二进制数，将它转换成十进制形式，是，那么二进制数转换成十进制形式是（ ）
I. 217-2
J. 216-2
K. 216-1
L. 215-1
正解：C
=
误解：①没有弄清题意；②=
31．在数列{}中，，则等于（ ）。
M.
N. 10
O. 13
P. 19
正解：C。由2得，∴{}是等差数列
∵
误解：A、B、D被式子的表面所迷惑，未发现{}是等差数列这个本质特征，而只由表面的递推关系得到，从而计算繁琐，导致有误。
32．已知等比数列{}的首项为，公比为q，且有，则首项的取值范围是（ ）。
Q.
R.
S.
T.
正解：D。 ①时，，；
②且时
且，。选。
误解：①没有考虑，忽略了；
②对，只讨论了或，或，而得到了错误解答。
33．在ABC中，为的对边，且，则（ ）。
U. 成等差数列
V. 成等差数列
W. 成等比数列
X. 成等比数列
正解：D。

即
，

注意：切入点是将恒等变形，若找不准，将事倍功半。
34． x=是a、x、b成等比数列的(
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
错解：C或A
错因：①误认为x=与。②忽视为零的情况。
正解：D
35．若成等比数列，则下列三个数：①
② ③，必成等比数列的个数为（ ）
A、3 B、2 C、1 D、0
错解: A.
错因:没有考虑公比和的情形,将①③也错认为是正确的.
正解: C.
36．已知是递增数列，且对任意都有恒成立，则实数的取值范围 （D）
A、( B、( C、( D、(
错解：C
错因：从二次函数的角度思考，用
正解：D。
37．等比数列中，若，，则的值
（A）是3或－3 （B） 是3 （C） 是－3 （D）不存在
错解：A
错因：直接，，成等比数列，，忽视这三项要同号。
正解：C
38．数列的前n项和 .
A、350 B、351 C、337 D、338
答案：A
错解：B
错因：首项不满足通项。
39．在等差数列中，，若它的前n项和Sn有最大值，那么中的最小正数是（ ）
A、S17 B、S18 C、S19 D、S20
答案：C
错解：D
错因：化简时没有考虑a10的正负。
40．若a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且，则m 的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：C
错解：B
错因：对数函数的性质不熟。
41．已知数列的通项公式为，则关于an的最大，最小项，叙述正确的是（ ）
A、最大项为a1,最小项为a3 B、最大项为a1,最小项不存在
C、最大项不存在，最小项为a3 D、最大项为a1,最小项为a4
答案：A
错解：C
错因：没有考虑到时，
42．等比数列的等比中项为（ ）
A、16 B、±16 C、32 D、±32
正确答案：（B）
错误原因：审题不清易选（A），误认为是，实质为±。
43．已知的前n项之和…的值为 （　 　）
Ａ、67　　　　　　　Ｂ、65 　　　Ｃ、61 Ｄ、55
正确答案：A
错误原因：认为为等差数列，实质为
二填空题：
1．在等比数列中，若则的值为____________
[错解]或
[错解分析] 没有意识到所给条件隐含公比为正
[正解]
2．实数项等比数列的前项的和为，若，则公比等于________-
[错解]
[错解分析]用前项的和公式求解本题,计算量大,出错,应活用性质
[正解]
3．从集合中任取三个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数列最多有_________
[错解]90个
[错解分析]没有考虑公差为负的情况,思考欠全面
[正解]180个
4．设数列满足，则为等差数列是为等比数列的____________条件
[错解]充分
[错解分析] 对数运算不清,判别方法没寻求到或半途而废
[正解]充要
5．若数列是等差数列，其前项的和为，则也是等差数列，类比以上性质，等比数列，则=__________，也是等比数列
[错解]
[错解分析] 没有对仔细分析,其为算术平均数,
[正解]
6．已知数列中，则等于______________
[错解]或 或
[错解分析] 盲目下结论,没能归纳出该数列项的特点
[正解]
7．已知数列中，（是与无关的实数常数），且满足，则实数的取值范围是___________
[错解]
[错解分析]审题不清,若能结合函数分析会较好
[正解]
8．一种产品的年产量第一年为件，第二年比第一年增长﹪，第三年比第二年增长﹪，且，若年平均增长﹪，则有___(填)
[错解]
[错解分析]实际问题的处理较生疏,基本不等式的使用不娴熟
[正解]
9．给定，定义使为整数的叫做“企盼数”，则在区间(1，62)内的所有企盼数的和是___________.
正确答案：52
错因：大部分学生难以读懂题意，也就难以建立解题数学模型。
10．数列{an}的前n项和Sn=n2+1，则an=____________
答案：an=
点评：误填2n－1，忽略“an=Sn－Sn－1”成立的条件：“n≥2”。
11．已知{an}为递增数列，且对于任意正整数n，an=－n2+λn恒成立，则λ的取值范围是____________
答案：λ>3
点评：利用二次函数单调性讨论较繁，且易错，利用an+1>an恒成立较方便。
12．关于数列有下列四个判断：
1) 若成等比数列，则也成等比数列；
2) 若数列{}既是等差数列也是等比数列，则{}为常数列；
3) 数列{}的前n项和为，且，则{}为等差或等比数列；
4) 数列{}为等差数列，且公差不为零，则数列{}中不会有，其中正确判断的序号是______（注：把你认为正确判断的序号都填上）
正解：(2)(4).
误解：(1)(3)。对于(1)a、b、c、d成等比数列。
也成等比数列，这时误解。因为特列：时，成等比数列，但，，，即不成等比。
对于（3）可证当时，为等差数列，时为等比数列。时既不是等差也不是等比数列，故（3）是错的。
13．关于的方程的所有实根之和为_____。
正解：168
方程有实根，
≥0
解得：≤n≤

所有实根之和为
误解：没能根据条件具体确定n的取值，只得出一个关于n的多项式结果。
14．有四个命题：
1) 一个等差数列{}中，若存在，则对于任意自然数，都有；
2) 一个等比数列{}中，若存在，则对于任意，都有；
3) 一个等差数列{}中，若存在，则对于任意，都有；
4) 一个等比数列{}中，若存在自然数，使，则对于任意，都有，其中正确命题的序号是_____。
正解：由等差数列和等比数列的性质得①②④。
误解：“对于等比数列，若，各项同号（同正或同负），若，各项正，负相间”，学生对此性质把握不清，故认为②④错。
15．已知数列｛an｝的前n项和Sn=an－1(a),则数列｛an｝_______________
A.一定是等差数列 B.一定是等比数列
C.或者是等差数列或者是等比数列 D.既非等差数列又非等比数列
错解：B
错因：通项中忽视的情况。
正解：C
16．设等差数列中，，且从第5项开始是正数，则公差的范围是

错解：
错因：忽视，即第4项可为0。
正解：
17．方程的四个实数根组成一个首项为的等比数列，则
正解: .
错因:设方程的解为;方程的解为,则,不能依据等比数列的性质准确搞清的排列顺序.
18．等差数列｛an｝中, a1=25, S17=,则该数列的前__________项之和最大，其最大值为_______。
错解：12
错因：忽视
正解：12或13 ，
19．若，则数列的前n项和Sn= 。
答案：
错解：
错因：裂项求和时系数2丢掉。
20．已知数列是非零等差数列，又a1,a3,a9组成一个等比数列的前三项，则的值是 。
答案：1或
错解：
错因：忘考虑公差为零的情况。
21．对任意正整数n, 满足数列是递增数列，则的取值范围是 。
答案：
错解：
错因：利用二次函数的对称轴，忽视其与的关系。
22．数列的前n项之和为，若将此数列按如下规律编组：（）、(,)、（，，）、……，则第n组的n个数之和为 。
正确答案：
错误原因：未能明确第n组各项的构成规律，尤其是首项和最后一项，从而找不到合适的解法，应转化为：
23．若an=1+2+3+…+n，则数列的前n项之和= 。
正确答案：
错误原因：未能将an先求和得不强。
24．若数列为等差数列且，则数列，类比上述性质，相应地若数列＞0， ，则有
正确答案：
错误原因：类比意识不强
三、解答题：
1．设数列的前项和为，求这个数列的通项公公式
[错解]
[错解分析]此题错在没有分析的情况，以偏概全．误认为任何情况下都有
[正解]
因此数列的通项公式是
2．已知一个等比数列前四项之积为，第二、三项的和为，求这个等比数列的公比．
[错解]四个数成等比数列，可设其分别为
则有，解得或，
故原数列的公比为或
[错解分析]按上述设法，等比数列公比，各项一定同号，而原题中无此条件
[正解]设四个数分别为
则，

由时，可得
当时，可得
3． 已知正项数{an}满足a1= a (0<a<1) ，且，求证：
(I) ； (II) .
解析：(I) 将条件变形，得.
于是，有，，，…….
将这n-1个不等式叠加，得，故.
(II) 注意到0<a<1，于是由(I)得=，
从而，有.
4． 已知数列的前项和满足，求数列的通项公式。
解：

当时，
当时，
的通项公式为

说明：此题易忽略的情况。应满足条件。
5．等比数列的前项和为，求公比。
解：若
则

矛盾

说明：此题易忽略的情况，在等比数列求和时要分公比两种情况进行讨论。
6．求和。
解：若
则
若
则
若
且
令
则
两式相减得

说明：此题易忽略前两种情况。数列求和时，若含有字母，一定要考虑相应的特殊情况。

7．已知数列{an}的前n项和Sn=n2—16n—6，求数列{|an|}的前n项和Sn’
正确答案：Sn’= —n2+16n+6 n≤8时
n2—16n+134 n＞8时
错误原因：运用或推导公式时，只考虑一般情况，忽视特殊情况，导致错解。
8． 已知函数f(x)= —Sin2x—aSinx+b+1的最大值为0，最小值—4 ，若实数a＞0，求a、b的值。
正确答案：a=2 b= —2
错误原因：忽略对区间的讨论。
9．数列{an}的前n项和Sn=n2—7n—8求数列通项公式
正确答案：an= —14 n=1
2n—8 n≥2
错误原因： n≥2时，an=Sn—Sn—1 但n=1时，不能用此式求出a1
10．求和(x+)2+（x2+）2+……(xn+)2
正确答案：当x2=1时 Sn=4n
当x2≠1时 Sn=+2n
错误原因：应用等比数列求和时未考虑公比q是否为1
11．学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有A、B两样特色菜可供选择（每个学生都将从二者中选一），调查资料表明，凡是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20％改选B，而选B菜的，下周星期一则有30％改选A，若用A、B分别表示在第n个星期一选A、B菜的人数。（1）试以A表示A；（2）若A=200，求{A}的通项公式；（3）问第n个星期一时，选A与选B的人数相等？
正确答案：（1）由题可知，，又；
所以整理得：。（2）若A=200，且，则设则，
∴即{A-600}可以看成是首项为-400，公比为的等比数列。
∴；（3）∵，又 则， 由得。即第3个星期一时，选A与选B的人数相等。
错因：不会处理非等差非等比数列。
12．设二次函数f(x)=x2+x,当x[n,n+1](n+)时，f(x)的所有整数值的个数为g(n).
(1) 求g(n)的表达式；
(2) 设an=( n+),Sn=a1-a2+a3-a4+…+(-1)n-1an,求Sn;
(3) 设bn=,Tn=b1+b2+…+bn, 若Tn<L( L),求L的最小值。
正确答案：（1）当x[n,n+1](n+)时，函数f(x)=x2+x的值随x的增大而增大，则f(x)的值域为(n+)(n+)
（2）
① 当n为偶数时

=
②当n为奇数时

=
∴
（3）由，得 ①
①×得：②
①-②得
则由﹤L( L),L的最小值为7。
错因：1、①中整数解的问题
2、②运算的技巧
3、运算的能力
12．已知数列中，a1=8, a4=2且满足（1）求数列的
通项公式（2）设，求Sn
（3）设，是否存在最大的整数m，使得对任意均有成立？若存在，求出m，若不存在，请说明理由。
答案：(1)
(2)Sn=
(3)由（1）可得
由Tn为关于n的增函数，故，于是欲使对恒成立，则存在最大的整数m=7满足题意。
错因：对（2）中表达式不知进行分类讨论；对（3）忽视讨论Tn的单调性。
13．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn—1=0（n≥2），a1=，
（1）求证：成等差数列；（2）求an的表达式。
解：（1）当n≥2时，an=Sn－Sn－1，又an+2SnSn－1=0，∴Sn－Sn－1+SnSn－1=0
若Sn=0，则a1=S1=0与a1=矛盾，∴Sn≠0，∴，又
∴ 成等差数列。
（2）由（1）知：，
当n≥2时，an=－2SnSn－1=－，当n=1时，a1=
∴
点评：本题易错点忽视公式an=Sn－Sn－1成立的条件“n≥2”，导致（2）的结果
14．设为常数，且
1) 证明对任意≥；
2) 假设对任意n≥1有，求的取值范围
证明：①设
用代入，解出：
是公比为－2，首项为的等比数列。
，即
②若成立，特别取有

下面证明时，对任意，有
由通项公式
，
i） 当时，

ii） 当时，
≥0
故的取值范围为
误解：①对于等比数列：先构造出求，难度较大，若用数学归纳法证明同学容易想到。
②通过对n为奇数或为偶数的讨论找出的取值范围有难度。

12．关于数列有下列四个判断：
5) 若成等比数列，则也成等比数列；
6) 若数列{}既是等差数列也是等比数列，则{}为常数列；
7) 数列{}的前n项和为，且，则{}为等差或等比数列；
8) 数列{}为等差数列，且公差不为零，则数列{}中不会有，
其中, 正确判断的序号是______
9．给定，定义使为整数的叫做“企盼数”，则在区间(1，62)内的所有企盼数的和是___________.
14．有四个命题：
5) 一个等差数列{}中，若存在，则对于任意自然数，都有；
6) 一个等比数列{}中，若存在，则对于任意，都有；
7) 一个等差数列{}中，若存在，则对于任意，都有；
8) 一个等比数列{}中，若存在自然数，使，则对于任意，都有，其中正确命题的序号是_____。
16．方程的四个实数根组成一个首项为的等比数列，则
17．等差数列｛an｝中, a1=25, S17=,则该数列的前__________项之和最大，其最大值为_______。
19．已知数列是非零等差数列，又a1,a3,a9组成一个等比数列的前三项，则的值是 。
20．对任意正整数n, 满足数列是递增数列，则的取值范围是 。
21．数列的前n项之和为，若将此数列按如下规律编组：（）、(,)、（，，）、……，则第n组的n个数之和为 。
23．若数列为等差数列且，则数列，类比上述性质，相应地若数列＞0， ，则有.
三、解答题：
1．设数列的前项和为，求这个数列的通项公式
2．已知一个等比数列前四项之积为，第二、三项的和为，求这个等比数列的公比．
3． 已知正项数{an}满足a1= a (0<a<1) ，且，求证：
(I) ； (II) .
10．求和(x+)2+（x2+）2+……(xn+)2
11．学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有A、B两样特色菜可供选择（每个学生都将从二者中选一），调查资料表明，凡是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20％改选B，而选B菜的，下周星期一则有30％改选A，若用A、B分别表示在第n个星期一选A、B菜的人数。（1）试以A表示A；（2）若A=200，求{A}的通项公式；（3）问第n个星期一时，选A与选B的人数相等？
12．设二次函数f(x)=x2+x,当x[n,n+1](n+)时，f(x)的所有整数值的个数为g(n).
(4) 求g(n)的表达式；
(5) 设an=( n+),Sn=a1-a2+a3-a4+…+(-1)n-1an,求Sn;
(6) 设bn=,Tn=b1+b2+…+bn, 若Tn<L( L),求L的最小值。
13．已知数列中，a1=8, a4=2且满足
（1）求数列的通项公式； （2）设，求Sn
（3）设，是否存在最大的整数m，使得对任意均有成立？若存在，求出m，若不存在，请说明理由。
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn—1=0（n≥2），a1=，
（1）求证：成等差数列； （2）求an的表达式。
15．设为常数，且
3) 证明对任意≥；
4) 假设对任意n≥1有，求的取值范围。

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