全等三角形证明题(含答案版).doc

1、如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.
(1)证明：△ABE≌△DAF；
（2）若∠AGB=30°，求EF的长.

【解析】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
在△ABE和△DAF中，，
∴△ABE≌△DAF.
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠1+∠4=90o
∵∠3=∠4,
∴∠1+∠3=90o
∴∠AFD=90o
在正方形ABCD中， AD∥BC,
∴∠1=∠AGB=30o
在Rt△ADF中，∠AFD=90o AD=2 ,
∴AF= , DF =1,
由(1)得△ABE≌△ADF,
∴AE=DF=1,
∴EF=AF-AE=.

2、如图， ，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．

【解析】
（1）、、、、
（写出其中的三对即可）.
（2）以为例证明．
证明：
在Rt和Rt中，

Rt≌Rt.
3、在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;
(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.

A
B
C
E
F
第22题图

【解析】
（1）∵∠ABC=90° ∴∠CBF=∠ABE=90°
在Rt△ABE和Rt△CBF中
∵AE=CF, AB=BC ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)
(2)∵AB=BC, ∠ABC=90° ∴ ∠CAB=∠ACB=45°
∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.
由（1）知 Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF=∠BAE=15°
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°
4、已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE,
求证：AE=BD．

题20图
【解析】
∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC，
∵∠ACD=∠BCE,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
即∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD.
5、如图10，已知，,
与相交于点，连接．
（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；（2）求证：．

【解析】
（1）,
（2）证法一：连接

∵
∴
∴
又∵
∴
∴
即
∴
证法二：∵
∴,
∴
即
∴
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
6、如图，点F是CD 的中点，且AF⊥CD，BC＝ED，∠BCD＝∠EDC．
A
B
C
D
E
F
（1）求证：AB=AE；
（2）连接BE，请指出BE与AF、BE与CD分别有怎样的关系？
（只需写出结论，不必证明）．
【解析】
（1）证明：联结AC、AD
∵点F是CD 的中点，且AF⊥CD，∴AC=AD
∴∠ACD=∠ADC
∵∠BCD＝∠EDC
∴∠ACB＝∠ADE
∵BC=DE，AC=AD
∴△ABC≌△AED
∴AB=AE
（2）BE⊥AF,BE//CD,AF平分BE
7、如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMBE，垂足为M，AM交BD于点F．
(1)求证：OE=OF；
(2)如图2，若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

【解析】
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴BOE=AOF＝90．OB＝OA
又∵AMBE，∴MEA+MAE＝90=AFO+MAE
∴MEA＝AFO
∴Rt△BOE≌ Rt△AOF
∴OE=OF
(2)OE＝OF成立
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BOE=AOF＝90．OB＝OA
又∵AMBE，∴F+MBF＝90=B+OBE
又∵MBF＝OBE
∴F＝E
∴Rt△BOE≌ Rt△AOF
∴OE=OF
8、如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边∆ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时∆PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
A
P
B
Q
C
M
图2
A
P
B
Q
C
M
图1

【解析】
（1）不变。

又由条件得AP=BQ，∴≌(SAS)
∴
∴
（2）设时间为t，则AB=BQ=t，PB=4-t
当
当
∴当第秒或第2秒时，∆PBQ为直角三角形
（3）不变。
∴
又由条件得BP=CQ，∴≌(SAS)
∴ 又
∴
9、如图：ACB与DCE是全等的两个直角三角形，其中ACB=DCE=900，AC=4，BC=2，点D、C、B在同一条直线上，点E在边AC上.
（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？请证明你的结论；
（2）如图（1）若DCE沿着直线DB向右平移多少距离时，点E恰好落在边AB上，求平移距离DD，；
（3）在DCE沿着直线DB向右平移的过程中，使DCE与ACB的公共部分是四边形，设平移过程中的平移距离为，这个四边形的面积为，求与的函数关系式，并写出它的定义域.
D
E
A
B
C
（1）
D，
D
E
A
B
C
备用图
D
E
A
B
C

【解析】
解：（1）点 M
（2）经过t秒时，， 则，
∵==
∴
∴ ∴
∴
∵∴当时，S的值最大．
（3）存在．
设经过t秒时，NB=t，OM=2t 则，
∴==
①若，则是等腰Rt△底边上的高
∴是底边的中线 ∴
∴∴
∴点的坐标为（1，0）
②若，此时与重合
∴
∴
∴
∴点的坐标为（2，0）
10、如图，四点共线，，，，。求证：。

【解析】
，

在与中

∴(HL)

，即
在与中

(SAS)
11、如图，是的边上的点，且，，是的中线。求证：。

【解析】
延长至点，使，连接
在与中

(SAS)

，
又

，

在与中

(SAS)

又
。

12、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

【解析】
在AE上取F，使EF＝EB，连接CF
∵CE⊥AB
∴∠CEB＝∠CEF＝90°
∵EB＝EF，CE＝CE，
∴△CEB≌△CEF
∴∠B＝∠CFE
∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°
∴∠D＝∠CFA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC＝∠FAC
∵AC＝AC
∴△ADC≌△AFC（SAS）
∴AD＝AF
∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE

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