锐角三角函数复习题带答案).doc

解直角三角形的应用复习　
1．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．
（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：=1.73，=1.41）；
（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．

2．如图，马路的两边CF，DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A，B两点分别表示车站和超市．CD与AB所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马路宽20米，A，B相距62米，∠A=67°，∠B=37°．
（1）求CD与AB之间的距离；
（2）某人从车站A出发，沿折线A→D→C→B去超市B．求他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走多少米．
（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）

3．2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：）

4．如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC=2m，CD=5.4m，∠DCF=30°，请你计算车位所占的宽度EF约为多少米？（，结果保留两位有效数字．）

5．某厂房屋顶呈人字架形（等腰三角形），如图所示，已知AC=BC=8m，∠A=30°，CD⊥AB于点D．
（1）求∠ACB的大小；
（2）求AB的长度．

6．如图，某风景区内有一古塔AB，在塔的一侧有一建筑物，当光线与水平面的夹角是30°时，塔在建筑物的墙上留下了高为3米的影子CD；而当光线与地面的夹角是45°时，塔尖A在地面上的影子E与建筑物的距离EC为15米（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度（结果保留根号）．

7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4，∠B=45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．
（1）求BC的长.
（2）当MN∥AB时，求t的值.
（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

8．如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=16km，∠A=53°，∠B=30°．桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？
（结果精确到0.1km．参考数据：，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）

9．如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF．（结果精确到0.1m，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

10．在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处（如图）．现已知风筝A的引线（线段AC）长20m，风筝B的引线（线段BC）长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°．
（1）试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？
（2）求风筝A与风筝B的水平距离．（精确到0.01m；参考数据：sin45°≈0.707，cos45°≈0.707，tan45°=1，sin60°≈0.866，cos60°=0.5，tan60°≈1.732）

参考答案与试题解析
1．解：（1）由題意得，
在Rt△ADC中，AD==36.33（米），…2分
在Rt△BDC中，BD==12.11（米），…4分
则AB=AD﹣BD=36.33﹣12.11=24.22≈24.2（米）…6分
（2）超速．
理由：∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），
∵12.1×3600=43560（米/时），∴该车速度为43.56千米/小时，…9分
∵大于40千米/小时，∴此校车在AB路段超速．
2．解：（1）CD与AB之间的距离为x，
则在Rt△BCF和Rt△ADE中，
∵=tan37°，=tan67°，∴BF==x，AE==x，
又∵AB=62，CD=20，∴x+x+20=62，解得：x=24，答：CD与AB之间的距离为24米；
（2）在Rt△BCF和Rt△ADE中，
∵BC===40，AD===26，∴AD+DC+CB﹣AB=40+20+26﹣62=24（米），
答：他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走24米．
3．解：过点C作CD⊥AB于点D，
设CD=x，在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
则AD=CD=x，
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，则BD=CD=x，
由题意得，x﹣x=4，解得：x==2（+1）≈5.5．答：生命所在点C的深度为5.5米．
4．解：在直角三角形DCF中，
∵CD=5.4m，∠DCF=30°，∴sin∠DCF===，∴DF=2.7，
∵∠CDF+∠DCF=90°∠ADE+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠DCF，
∵AD=BC=2，∴cos∠ADE===，∴DE=，∴EF=ED+DF=2.7+1.732≈4.4米．
5．解：（1）∵AC=BC，∠A=30°，∴∠A=∠B=30°． （1分）
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，（2分）
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣30°﹣30°=120°． （4分）
（2）∵AC=BC，CD⊥AB，∴AB=2AD． （5分）
在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=8，∴AD=AC•cosA （6分）
=8•cos30°=．∴． （8分）
6．解：如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴四边形BCDF是矩形，∴BC=DF，CD=BF，
设AB=x米，在Rt△ABE中，∠AEB=∠BAE=45°，∴BE=AB=x，
在Rt△ADF中，
∠ADF=30°，AF=AB﹣BF=x﹣3，∴DF==（x﹣3），
∵DF=BC=BE+EC，∴（x﹣3）=x+15，解得x=12+9，
答：塔AB的高度（12+9）米．
7．解：（1）如图①，过A、D分别作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，则四边形ADHK是矩形．
∴KH=AD=3．
在Rt△ABK中，AK=AB•sin45°=4•=4BK=AB•cos45°=4=4．
在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC==3．∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10．
（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形．
∵MN∥AB，∴MN∥DG．∴BG=AD=3．∴GC=10﹣3=7．
由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10﹣2t．
∵DG∥MN，∴∠NMC=∠DGC．
又∠C=∠C，∴△MNC∽△GDC．∴，即．解得，．

（3）分三种情况讨论：
①当NC=MC时，如图③，即t=10﹣2t，∴．

②当MN=NC时，如图④，过N作NE⊥MC于E．
解法一：
由等腰三角形三线合一性质得
EC=MC=（10﹣2t）=5﹣t．
在Rt△CEN中，cosC==，
又在Rt△DHC中，cosC=，∴．解得t=．
解法二：
∵∠C=∠C，∠DHC=∠NEC=90°，∴△NEC∽△DHC．∴，即．∴t=．
③当MN=MC时，如图⑤，过M作MF⊥CN于F点．FC=NC=t．
解法一：（方法同②中解法一），解得．
解法二：
∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，∴△MFC∽△DHC．∴，即，
∴．综上所述，当t=、t=或t=时，△MNC为等腰三角形．
8．解：作DG⊥AB于G，CH⊥AB于H，
则四边形CDGH为矩形，∴GH=CD，
在Rt△BCH中，
∵sin∠B=，BC=16km，∠B=30°，∴CH=8，cos∠B=，∴BH=8，
易得DG=CH=8，
在△ADG中，
∵sin∠A=，DG=8，∴AD=10，AG=6，∴（AD+DC+CB）﹣（AG+GH+HB）=20﹣8≈6.2（km）．答：现在从A地到达B地可比原来少走6.2km．
9．解：在Rt△CFD中DF=CD•sin40°≈5.4×0.64=3.456．
∵四边形ABCD是矩形．∴∠ADC=90°．
∵∠CDF=90°﹣40°=50°．∴∠ADE=180°﹣90°﹣50°=40°．
在Rt△DAE中DE=AD•cos40°≈2.2×0.77=1.694．
∴EF=DF+DE=3.456+1.694≈5.2（m）．
10．解：（1）分别过A，B作地面的垂线，垂足分别为D，E．
在Rt△ADC中，
∵AC﹦20，∠ACD﹦60°，∴AD﹦20×sin60°﹦10≈17.32．
在Rt△BEC中，
∵BC﹦24，∠BCE﹦45°，∴BE﹦24×sin45°﹦12≈16.97．
∵17.32＞16.97，∴风筝A比风筝B离地面更高． （3分）
（2）在Rt△ADC中，
∵AC﹦20，∠ACD﹦60°，∴DC﹦20×cos60°﹦10．
在Rt△BEC中，
∵BC﹦24，∠BEC﹦90°，∴EC=BC×cos45°≈24×0.707≈16.97（m），∴EC﹣DC≈16.97﹣10﹦6.97．
即风筝A与风筝B的水平距离约为6.97m． （3分）
11．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，AB=20，∠B=37°，
∴AD=AB•sin37°=20sin37°≈12，
BD=AB•cos37°=20cos37°≈16．
在Rt△ADC中，∠ACD=65°，
∴CD=≈≈5.61．
∴BC=BD+CD≈5.61+16=21.61≈21.6（海里）．
答：B、C之间的距离约为21.6海里．
8