相似三角形题型归纳.doc

三角形题型归纳
一、线段比例问题（构造平行）
1、下图中，E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，AE∶EC=1∶3，BE的延长线交CD的延长线于G，交AD于F，求证：BF∶FG=1∶2.

2、已知：如图，在直角三角形ABC中，∠BAC= 90°，AB= AC，D为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连结DG并延长交AE于F，若∠FGE= 45°，（1）求证：BD·BC= BG·BE；（2）求证：AG⊥BE；（3）若E为AC的中点，求EF∶FD的值。

3、如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．（1）求证：△ABF∽△COE；（2）当O为AC的中点，时，如图2，求的值；（3）当O为AC边中点，时，请直接写出的值．

4、如图，四边形和四边形都是平行四边形，点为的中点，分别交于点．（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求．

A
B
C
D
E
P
O
R

二、相似比乘积处理方法（逆向和正向分析找解题思路）
1、如下图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC,EM是AD的中垂线，交BC延长线于E.求证：DE2=BE·CE.

2、过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E，求证：AE∶ED=2AF∶FB.

3、如果四边形ABCD的对角线交于O，过O作直线OG∥AB交BC于E，交AD于F，交CD的延长线于G，求证：OG2=GE·GF.

4、已知如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。
求证：

5、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E.求证：（1）△AED∽△CBM；（2）

6、如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H。求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH

7、已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.求证：

8、（1）如图1，点在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交于点．求证：（2）如图2，图3，当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；

三、构造相似辅助线——A、X字型
1、如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。求证：

2、四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。求证：

3、如图，过平行四边形ABCD的顶点A的直线交BD于P，交CD于Q，并交BC的延长线于R，求证：

四、相似类定值问题
1、如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F．
求证：．

2、已知，在△ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a．求证：．

3、如图，在△ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。求证：．

4、如图所示，▱ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：．

5、一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：．

6、已知：P为▱ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：．

五、证明线段相等
1、在等腰，分别过点B、C作两腰的平行线，经过点A的直线与两平行线分别交于点D、E，连接DC，BE，DC与AB边相交于点M，BE与AC边相交于点N。(1)如图1，若，写出图中所有与AM相等的线段，并选取一条给出证明。(2)如图2，若DE与CB不平行，在(1)中与AM相等的线段中找出一条仍然与AM相等的线段，并给出证明。

2、在面积为24的△ABC中，矩形DEFG的边DE在AB上运动，点F、G分别在BC、AC上。
（1）若AE＝8，DE＝2EF，求GF的长；（2）若∠ACB＝90°，如图2，线段DM、EN分别为△ADG和△BEF的角平分线，求证：MG＝NF；（3）请直接写出矩形DEFG的面积的最大值。

3、在△ABC中，点D从A出发，在AB边上以每秒一个单位的速度向B运动，同时点F从B出发，在BC边上以相同的速度向C运动，过点D作DE∥BC交AC于点E．运动时间为t秒．
（1）若AB＝5，BC＝6，当t为何值时，四边形DFCE为平行四边形；（2）连接AF、CD．若BD＝DE，求证：∠BAF＝∠BCD；（3）AF交DE于点M，在DC上取点N，使MN∥AC，连接FN．
①求证：＝；②若AB＝5，BC＝6，AC＝4，当MN＝FN时，请直接写出t的值．

六、对应练习题
1、如下图，在△ABC中，D、E分别为BC的三等分点，CM为AB上的中线，CM分别交AE、AD于F、G，则CF∶FG∶GM=5∶3∶2

2、已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系。（1）如图1，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系是什么；（2）如图2，若AB＝BC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明；（3）如图3，若AB＝kBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明

3、在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；（2）拓展探究：若AC≠BC．①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．

4、（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证：． （2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证MN2=DM·EN．

图 1
5、已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求的值；（2）如图2，当OA=OB，=时，求tan∠BPC；
图 2

6、如图1，D是△ABC的 BC边上的中点，过点D的一条直线交AC于F，交BA的延长线于E，AG∥BC交EF于G，我们可以证明EG·DC=ED·AG成立（不要求考生证明）.（1）如图2，若将图1中的过点D的一条直线交AC于F，改为交CA的延长线于F，交BA的延长线于E，改为交BA于E，其它条件不变，则EG·DC=ED·AG还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（2）根据图2，请你找出EG、FD、ED、FG四条线段之间的关系,并给出证明;（3）如图3, 若将图1中的过点D的一条直线交AC于F，改为交CA的反向延长线于F.其它条件不变，则（2）得到的结论是否成立？
A
B
C
D
E
F
G
图1

A
B
C
D
E
F
G
图2

A
B
C
D
F
E
G
图3

7、已知：在△ABC中AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM．（1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AE＝MD；（2）如图2，当∠ABC＝60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为： 。（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝，求tan∠ACP的值．

8、如图13，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2a，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A.  （1）∠BEF=_____(用含a的代数式表示)；（2）当AB＝AD时，猜想线段EB、EF的数量关系，并证明你的猜想；（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB＝mDE，AD＝nDE”，其他条件不变（如图14），求EB/EF的值（用含m、n的代数式表示）。