分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题.doc

分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题
第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布(理)　概率(文)
第一节　分类加法计数原理与分步乘法计数原理(理)
时间：45分钟　分值：75分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到四层共有走法种数为(　　)
A．6 B．23
C．42 D．44
解析　由一层到二层有2种选择，二层到三层有2种选择，三层到四层有2种选择，∴23＝8.
答案　B
2．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一，依血型遗传学，当父母的血型中没有AB型时，子女的血型有可能是O型，若某人的血型是O型，则其父母血型的所有可能情况有(　　)
A．6种 B．9种
C．10种 D．12种
解析　找出其父母血型的所有情况分两步完成，第一步找父亲的血型，依题意有3种；第二步找母亲的血型也有3种，由分步乘法计数原理得：其父母血型的所有可能情况有3×3＝9(种)．
答案　B
3．(2014·惠州月考)2012年奥运会上，8名运动员争夺3项乒乓球冠军，获得冠军的可能有(　　)
A．83种 B．38种
C．A种 D．C种
解析　把8名运动员看作8家“店”，3项冠军看作3位“客”，它们都可住进任意一家“店”，每位“客”有8种可能．根据乘法原理，共有8×8×8＝83(种)不同的结果．
答案　A
4．若三角形的三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b、c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有(　　)
A．10个 B．14个
C．15个 D．21个
解析　当b＝1时，c＝4；当b＝2时，c＝4,5；当b＝3时，c＝4,5,6；当b＝4时，c＝4,5,6,7.故共有10个这样的三角形．
答案　A
5．(2014·湘潭月考)25人排成5×5方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法有(　　)
A．60种 B．100种
C．300种 D．600种
解析　5×5的方阵中，先从中任意取3行，有C＝10(种)方法，再从中选出3人，其中任意2人既不同行也不同列的情况有CCC＝60(种)，故所选出的3人中任意2人既不同行也不同列的选法共有10×60＝600(种)．
答案　D
6．(2013·山东卷)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)
A．243 B．252
C．261 D．279
解析　0～9能组成的三位数的个数为9×10×10＝900(个)，能组成的无重复数字的三位数个数为9×9×8＝648(个)，故能组成的有重复数字的三位数的个数为900－648＝252(个)，故选B.
答案　B
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．

解析　把与正八边形有公共边的三角形分为两类：
第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)；
第二类，有两条公共边的三角形共有8个．
由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．
答案　40
8．有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现从三名工人中选两名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有__________种．
解析　若选甲、乙两人，则有甲操作A车床，乙操作B车床或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法；若选甲、丙两人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法；若选乙、丙两人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法．
∴共有2＋1＋1＝4(种)不同的选派方法．
答案　4
9．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________(用数字作答)．
解析　
①
②
③
④
⑤
⑥

若1在①或⑥号位，2在②或⑤号位，方法数各4种．若1在②、③、④、⑤号位，2的排法有2种，方法数各8种，故有4＋4＋8＋8＋8＋8＝40(个)．
答案　40
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)
10．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
解　从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人共有7种不同的选法，从B型血的人中选1人共有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人共有3种不同的选法．
(1)任选1人去献血，即不论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情就已完成，所以用分类加法计数原理，有28＋7＋9＋3＝47(种)不同选法．
(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，有28×7×9×3＝5 292(种)不同的选法．

11．编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？
解　根据A球所在位置分三类：
(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步乘法计数原理得，3×2×1＝6(种)不同的放法；
(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步乘法计数原理得，3×2×1＝6(种)不同的放法；
(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C、D、E，根据分步乘法计数原理得，3×3×2×1＝18(种)不同方法．
综上所述，由分类加法计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30(种)．
12．用n种不同颜色为广告牌着色(如图1)，要求在①、②、③、④4个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色．

(1)当n＝6时，为图1着色共有多少种不同的着色方法？
(2)若为图2着色时共有120种不同的着色方法，求n.
解　(1)为①着色有6种方法，为②着色有5种方法，为③着色有4种方法，为④着色也有4种方法．
所以共有6×5×4×4＝480(种)着色方法．
(2)图2与图1的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块，同理，不同的着色方法数是
n(n－1)(n－2)(n－3)．
由n(n－1)(n－2)(n－3)＝120
⇒(n2－3n)(n2－3n＋2)－120＝0
⇒(n2－3n)2＋2(n2－3n)－12×10＝0
⇒n2－3n－10＝0或n2－3n＋12＝0
又n∈N＋即n＝5.

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