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初中因式分解的基本方法

因式分解（factorization）
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．
⑴提公因式法
①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.
②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
am＋bm＋cm＝m（a+b+c）
③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.
⑵运用公式法
① 平方差公式：. a2－b2＝(a＋b)(a－b)
② 完全平方公式： a2±2ab＋b2＝(a±b)2
※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.
③立方和公式：a3+b3＝ (a+b)(a2-ab+b2).
立方差公式：a3- b3＝ (a-b)( a2+ab+ b2).
③ 完全立方公式： a3±3 a2b＋3a b2±b3＝(a±b)3
④ an-bn=(a-b)[a(n-1)+a(n-2)b+……+b(n-2)a+b(n-1)]
am + bm =(a+b)[a(m-1)-a(m-2)b+……-b(m-2)a+b(m-1)] (m为奇数)
⑶分组分解法
分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.
分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.
⑷拆项、补项法
拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.
例： 分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
⑸十字相乘法
① x2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）
这个很实用,但用起来不容易.
在无法用以上的方法进行分解时,可以用下十字相乘法.
例： x2+5x+6
首先观察,有二次项,一次项和常数项,可以采用十字相乘法.
一次项系数为1.所以可以写成1*1
常数项为6.可以写成1*6, 2*3, -1*-6, -2*-3　(小数不提倡)
然后这样排列
1 - 2
1 - 3
(后面一列的位置可以调换,只要这两个数的乘积为常数项即可)
然后对角相乘,1*2=2,1*3=3.再把乘积相加.2+3=5,与一次项系数相同(有可能不相等,此时应另做尝试),所以可一写为(x+2)(x+3) (此时横着来就行了)
我再写几个式子,楼主再自己琢磨下吧.
x2-x-2=(x-2)(x+1)
2 x2+5x-12=(2x-3)(x+4)
② mx2 +px+q型的式子的因式分解
对于mx2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m, c×d=q且ad+bc=p，则多项式可因式分解为(ax+ c)(bx+ d)
例： 分解因式7x2 -19x-6
分析： 1 　-　－3
7　 -　　2
1×2＋（－3×7）= －19
解：7 x2 -19x-6=(x-3)（7x+2）
⑸ 双十字相乘法
难度较之前的方法要提升许多。
用来分解形如＋bxy＋c＋dx＋ey＋f 的二次六项式
在草稿纸上，将分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。
则原式＝（mx＋py＋j）（nx＋qy＋k）

要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，
例：b＋＋－b－2分解因式
　　解：原式＝0×1×＋b＋＋－b－2
　　 ＝（0×＋b＋1）（＋b－2）
　　＝（b＋1）（＋b－2）
(7) 应用因式定理：
如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）= x2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x2+5x+6的一个因式。
经典例题：
1. 分解因式 (1＋y)2－2 x2 (1＋y2)＋x4(1－y)2
解：原式=(1＋y)2＋2(1＋y) x2 (1－y)＋ x4 (1－y)2－2(1＋y) x2 (1－y)－2 x2 (1＋y2)
=[(1+y)+ x2 (1－y)]2－2(1+y) x2 (1－y) －2 x2 (1+ y2)
=[(1+y)+ x2 (1－y)]2－(2x)2
=[(1+y)+ x2 (1－y)+2x] [(1+y)+ x2 (1－y) －2x]
=( x2－x2y+2x+y+1) ( x2－ x2y－2x+y+1)
=[(x+1)2－y(x2－1)] [(x-1)2－y(x2－1)]
=(x+1) (x+1－xy+y) (x－1) (x－1－xy－y)
2.证明：对于任何数x, y，下式的值都不会为33
x5＋3x4y－5x3y2－15x2y3＋4xy4＋12y5
解：原式=( x5+3x4y)－( 5x3 y2+15x2y3)+(4xy4+12y5)
= x4 (x+3y)－5 x2 y2 (x+3y)+4 y4 (x+3y)
=(x+3y)( x4－5 x2 y2+4 y4)
=(x+3y)( x2－4 y2)( x2－ y2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)
当y=0时，原式= x5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立
(8)、 换元法
整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上
例：-2(x+y)+1分解因式
考虑到x+y是以整体出现，展开是十分繁琐的，用代替x+y
那么原式=
=
回代
原式=
(9)、求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x1 , x2 , x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为
f(x)=(x- x1 )(x- x2 )(x- x3 )……(x- xn)
例8、分解因式2x4 +7 x3 -2 x2 -13x+6
解：令f(x)= 2x4 +7 x3 -2 x2 -13x+6=0
通过综合除法可知，f(x)=0根为 1，-3，-2，1
则2x4 +7 x3 -2 x2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
(10)、 图象法
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x1 , x2 , x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= (x- x1 )(x- x2 )(x- x3 )……(x- xn)
例：因式分解x3 +2 x2 -5x-6
解：令y= x3 +2 x2 -5x-6
作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2
则x3 +2 x2 -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
(11)、 主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
（备注：这种方法要难一些，多练即可
即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数）
例：分解因式a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b)
分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列
解：a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b) = a2 (b-c)-a(b2 - c2 )+( b2 c- c2 b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
(12)、 利用特殊值法
将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例11、分解因式x3 +9x2 +23x+15
解：令x=2，则x3 +9x2 +23x+15 =8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x3 +9x2 +23x+15 =（x+1）（x+3）（x+5）
(13)、待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
将式子看成方程，将方程的解代入
这时就要用到(1)中提到的知识点了
当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式
例： + x- 2
该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法
我们可以把它当方程做，+x-2=0
一眼看出，该方程有一根为x=1
那么必有一因式为(x-1)
结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2（因为乘-1要为-2）
一次项系数必为1（因为与1相乘要为1）
所以另一因式为（x+2）
原式分解为： + x- 2 =(x-1)(x+2)
(14) 、 列竖式法
原理和小学的除法差不多
要建立在待定系数法的方程法上
不足的项要用0补
除的时候，一定要让第一项抵消
例：3+5-2分解因式
提示：x=-1可以使该式=0，有因式（x+1）

解 原式=（x+1)(3+2x-2)
(15) 、 解方程法
此方法是对分解的万能方法，但在学过解方程后才会使用
设
解得方程得
∴
例：-x-1 分解因式
设
解得方程得
∴
※ 多项式因式分解的一般步骤：
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；
③ 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。
（1） （2）
（3） （4）xy＋6－2x－3y
（5） （6）12－29x＋15
（7）(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4) （8）x(y＋2)－x－y－1
（9）4＋4xy＋－4x－2y－3 （10）
（11） （12）
（13） （14）+2x-8 （15）+3x-10 （16）+x-6 （17）2+5x-3 （18）+4x-2
（19）-2x-3 （20）5ax+5bx+3ay+3by
（21）-+x-1 （22）
希望同学们能掌握因式分解，把因式分解看成一种乐趣~
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