高等数学讲义(一).doc

高等数学基础

高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz）。用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。
第1讲 函数

1.2 函数
要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。
一、常量与变量
先看几个例子：
圆的面积公式

自由活体的下落距离

在上述讨论的问题中，是常量，是变量。变量可以视为实属集合（不止一个元素）。
二、函数的定义
定义1.1 设是一个非空数集。如果有一个对应规则，使得对每一，都能对应于唯一的一个数，则此对应规则称为定义在集合上的一个函数，并把数与对应的数之间的对应关系记为

并称为该函数的自变量，为函数值或因变量，为定义域。
实数集合

称为函数的值域。
看看下面几个例子中哪些是函数：

f

是函数，且
，，
定义域，值域，一般地。

f

不是函数。

f

是函数，且
，，
定义域，值域。

f

不是函数。
由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有轴上的点。
例1 求函数的定义域。
解 在实数范围内要使等式有意义，有

即

所以函数的定义域为。
例2 求函数的定义域。
解 在实数范围内要使第一个等式有意义，有

即

在实数范围内要使第二个等式有意义，有
或
即
或
所以函数的定义域为。
三、函数表示法
函数表示法主要有以下三种
⒈解析法
用数学式子表示变量之间的对应关系，这种表示函数的方法称为解析法。例如

⒉图形法

在平面直角坐标系中满足一定条件的曲线图形，也可以确定一个函数关系，这种表示函数的方法称为图形法。例如

表示一天内温度随时间变化的函数关系。
⒊列表法
在实际应用中把一系列自变量值及其相对应的函数值列成表，这种表示函数的方法称为列表法。如对数函数表、三角函数表等等。
四、函数的几种属性
⒈单调性
请看下面两个图

左边的图形表示，函数值随自变量的增加而增加，就称函数单调增加，数学上描述为：如果当任意的且时，恒有

则称函数在区间内是单调上升的或单调增加的。
右边的图形表示，函数值随自变量的增加而减少，就称函数单调减少，数学上描述为：如果当任意的且时，恒有

则称函数在区间内是单调下降的或单调减少的。
⒉奇偶性

请看下面两个图

左边的函数图形关于轴对称，就称函数是偶函数，数学上描述为：如果函数的定义域以原点为对称，且恒满足等式，则称是偶函数。
右边的函数图形关于原点对称，就称函数是奇函数，数学上描述为：如果函数的定义域以原点为对称，且恒满足等式，则称是奇函数。
例3 判断下列函数的奇偶性：
⑴； ⑵
解 ⑴由绝对值的性质，对任意有

由此可知是偶函数。
⑵由对数函数的性质，对任意有

由此可知是奇函数。
判断函数的奇偶性也可以利用以下结论：
偶函数加减偶函数是偶函数
奇函数加减奇函数是奇函数
偶函数乘偶函数是偶函数
奇函数乘奇函数是偶函数
奇函数乘偶函数是奇函数
例如，是奇函数，也是奇函数。
1.3 初等函数
要了解初等函数，首先从以下开始

一、基本初等函数
我们将以下几类函数称为基本初等函数，它们是
⒈常数函数
常数函数的图形如下

⒉幂函数
幂函数的图形如下

⒊指数函数
指数函数的图形如下

⒋对数函数

对数函数的图形如下

⒌三角函数
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数

正弦、余弦、和正切函数的图形分别是

⒍反三角函数
反正弦函数
反余弦函数
反正切函数
反正弦、反余弦、和反正切函数的图形分别是

二、函数的复合运算
在介绍函数的复合运算之前，先介绍函数的四则运算：设，是两个函数，定义域分别为，，如果不是空集，那么在上可以得到以下函数

这里要注意，最后一个函数的定义域要在中去掉使的点。
除了函数的四则运算外，再看下面复杂一些的运算，如函数

可以看作由函数和构成的，这种构成方式就是一种新的运算。一般地，由两个函数和构成的对应规则称为和这两个函数的复合函数。
三、初等函数
由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算而成，能用一个解析式表示的函数称为初等函数。
函数

不是初等函数，这类函数称为分段函数。

第2讲 极限与连续

微积分的主要研究对象是函数，它所使用的一个重要工具就是我们要在下面介绍的——极限。极限的严格描述奠定了微积分的理论基础，而微积分学几乎所有的重要概念都以不同的极限形式来表示。

2.2 函数的极限

一、极限的概念
首先让我们看看反正切函数的图形

当自变量向变化时，函数值在向靠近。而且向充分接近时，函数值可以和任意靠近。我们将向充分接近说成趋于，记为。一般地，当自变量趋于时，如果函数的函数值和某个常数任意靠近，我们就称函数当趋于时以为极限（或称当趋于时，的极限是）。记为
或
如我们在开始看到的情形就是

类似可以得到，仍以反正切函数为例，有

再一次观察反正切函数的图形，当自变量向点变化时，函数值在向靠近。而且向点充分接近时，函数值可以和任意靠近。我们将向点充分接近说成趋于，记为。一般地，当自变量趋于时，如果函数的函数值和某个常数任意靠近，我们就称函数当趋于时以为极限（或称当趋于时，的极限是）。记为
或
这样我们就得到

极限的直观意义可以用下面的图形说明

函数在一点的极限可能存在，也可能不存在，如函数当时的极限就不存在，我们也可以从图形中看出

再看下面这个图形

可以看出，这个函数当时没有极限，但当从大于的方向趋于时，函数值与任意接近。一般地，当自变量从大于的方向趋于时，如果函数的函数值和某个常数任意靠近，就称为在点的右极限，记为

类似可以给出在点的左极限，记为。如此一来我们就有了以下结论
存在的充分必要条件是和都存在，且

二、极限的运算法则
为了方便地计算函数的极限，我们不加证明地给出极限的运算法则：
若，存在，则有

为常数
（假定）
例1 求。
解 观察发现本题不能直接应用极限的四则运算法则，但对表达式经适当整理后就可以应用极限的四则运算法则，

例2 求。
解 观察发现本题不能直接应用极限的四则运算法则，但对表达式经适当整理后就可以应用极限的四则运算法则，

只有极限的四则运算法则对解决的计算还是不够的，接下来我们大家介绍两个重要的极限。

2.3 两个重要极限
我们先给出两个重要的极限公式

之所以说这是两个重要极限，一方面因为它们出自于两个极限存在定理，另外在后面求基本初等函数的导数时需要用到。
在这里我们只给出第一个极限的证明，为此先不加证明地给出一个极限存在定理
夹逼定理 设在的某领域内（可不包含点）有

且，则存在且

下面就来证明第一个重要极限，先看一下下面这张图

图中的圆周是单位圆周，圆心角的弧度是，则有
线段的长度为
弧的长度为
线段的长度为
当时，有

从而有

从而有

当时，，由夹逼定理得

由于都是奇函数，因此当时，有

即

从而有

从而有

当时，，由夹逼定理得

最后得到

例3 求。
解 本题不能直接应用第一个重要极限公式，需要作适当变换。注意到趋于0时，也趋于0，有

例4 求。
解 本题不能直接应用第一个重要极限公式，需要作适当变换。注意到趋于3时，趋于0，有

2.4 无穷小量与无穷大量
定义2.5 极限为零的量称为无穷小量。
定理2.1 的充分必要条件是

其中是无穷小量。
利用极限的运算法则很容易得到无穷小量的如下性质
⒈有限个无穷小量的代数和是无穷小量。
⒉有限个无穷小量的乘积是无穷小量。
⒊无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量。
⒋任意常数与无穷小量的乘积是无穷小量。
例5 求。
解 前面我们已经知道，当时极限不存在，但它是有界变量，而是无穷小量。由无穷小量的性质3知是无穷小量，即

如果都是无穷小量，而仍然是无穷小量，这是称是关于的高阶无穷小量，记为。
如果是无穷小量，那么称为无穷大量。例如当时就是无穷大量。

2.5 函数的连续性

先看看下面的图形

以上几个函数的图形在点都存在不同形式的“断裂”，但归纳起来，这些情况属于要么在的极限不存在，要么在的极限不等于在该点的函数值。
定义2.6 设函数在的一个邻域内有定义，且等式成立，则称在点处连续，称为函数的连续点。若不是的连续点，则称为函数的间断点。
例6 判断设函数

在点处是否连续。
解 因为在点处有

可知不存在，由定义2.6可知在点处不连续，即是的间断点。
如果函数在区间内的每个点都连续，则称在区间内连续。
可以证明基本初等函数在它们的定义域内都是连续的，而函数的四则运算和复合运算仍保持函数的连续性，因此我们可以得出结论：初等函数在其定义域内是连续的。