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第一章 集合与常用逻辑用语
第一节　集合
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求
真题举例
命题角度
1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系；能用列举法或描述法表示集合；
2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义；
3.理解并会求并集、交集、补集；能用Venn(韦恩)图表达集合的关系与运算。
2016，全国卷Ⅰ，1,5分(集合的交集)
2016，全国卷Ⅱ，2,5分(集合的并集)
2015，全国卷Ⅱ，1,5分(集合的交集)
2014，全国卷Ⅰ，1,5分(集合的交集)
2014，全国卷Ⅱ，1,5分(集合的交集)
主要考查具体集合(能确定集合中元素)的基本运算，偶尔涉及集合间的关系及新定义问题。

微知识　小题练

自|主|排|查
1．集合的含义与表示方法
(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合。集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性。
(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉。
(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。
(4)常用数集的记号：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R。

2．集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
记法
基本关系
子集
集合A中的元素都是集合B中的元素
x∈A⇒x∈B
A⊆B
或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A
A⊆B，且∃x0∈B，x0∉A
AB或
BA
相等
集合A，B的元素完全相同
A⊆B，B⊆A
A＝B
空集
不含任何元素的集合。空集是任何集合A的子集
∀x，x∉∅，∅⊆A
∅
3.集合的基本运算
表示
运算
文字语言
符号语言
图形语言
记法
交集
属于集合A且属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A，且x∈B}

A∩B
并集
属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A，或x∈B}

A∪B
补集
全集U中不属于集合A的元素组成的集合
{x|x∈U，x∉A}

∁UA
微点提醒
1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件。
2．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身。
3．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心。
4．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性\”而导致解题错误。
5．记住以下结论
(1)若集合A中有n个元素，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n－1。
(2)A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝A⇔A⊆B。
小|题|快|练
一 、走进教材
1．(必修1P12B组T4改编)满足{0,1}⊆A{0,1,2,3}的集合A的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】　由题意得A可为{0,1}，{0,1,2}，{0,1,3}。故选C。
【答案】　C
2．(必修1P12B组T1改编)已知集合A＝{0,1,2}，集合B满足A∪B＝{0,1,2}，则集合B有________个。
【解析】　由题意知B⊆A，则集合B有8个。
【答案】　8
二、双基查验
1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝(　　)
A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2} D．{0,1}
【解析】　M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}。故选B。
【答案】　B
2．设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝(　　)
A．[0,1] B．[0,1)
C．(0,1] D．(0,1)
【解析】　∵x2<1，∴－1<x<1。
∴N＝{x|－1＜x＜1}。
∴M∩N＝{x|0≤x<1}。故选B。
【答案】　B
3．设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA＝(　　)
A．∅ B．{2}
C．{5} D．{2,5}
【解析】　由题意知U＝{x∈N|x≥2}，A＝{x∈N|x≥}，所以∁UA＝{x∈N|2≤x＜}＝{2}。故选B。
【答案】　B
4．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________。
【解析】　∵A∪B＝{x|2<x<10}，
∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}。
【答案】　{x|x≤2或x≥10}
5．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________。
【解析】　集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素。
【答案】　2

微考点　大课堂

考点一
集合的基本概念
【典例1】　(1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　 B．3
C．5 D．9
(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
【解析】　(1)当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；
当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；
当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；
当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；
当x＝2，y＝2时，x－y＝0。根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个。故选C。
(2)由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，故m＝－。
【答案】　(1)C　(2)－
反思归纳 用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合。
集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意。分类讨论的思想方法常用于解决集合问题。
【变式训练】　(1)已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
(2)已知集合A＝{x2＋x,4x}，若0∈A，则x＝____。
【解析】　(1)若1∈A，则1－2＋a>0，解得a>1。因为1∉A，所以a≤1。故选B。
(2)由题意，得或
解得x＝－1。
【答案】　(1)B　(2)－1
考点二
集合的基本关系…………母题发展
【典例2】　(1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为(　　)
A．7 B．8
C．15 D．16
(2)(2017·襄阳模拟)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________。
【解析】　(1)A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1,2,3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个。
或因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)。故选A。
(2)当B＝∅时，满足B⊆A，此时有m＋1≥2m－1，即m≤2，
当B≠∅时，要使B⊆A，则有
解得2<m≤4。
综上可得m≤4。
【答案】　(1)A　(2)(－∞，4]
【母题变式】　本典例(2)中，是否存在实数m，使A⊆B？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由。
【解析】　由A⊆B，得即
不等式组无解，故不存在实数m，使A⊆B。
【答案】　不存在，理由见解析
反思归纳 根据集合的关系求参数的关键点及注意点
1.根据两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且常要对参数进行讨论。
2.注意点：注意区间端点的取舍。
提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况。
【拓展变式】　(1)(2016·辽宁师大附中测试)已知集合A＝{0,1}，B＝{x|x⊆A}，则下列集合A与B的关系中正确的是(　　)
A．A⊆B B．AB
C．BA D．A∈B
(2)(2016·银川二中考试)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是(　　)
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
【解析】　(1)因为x⊆A，所以B＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，则集合A＝{0,1}是集合B中的元素，所以A∈B。故选D。
(2)解法一：由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)。
由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1。故选B。
解法二：因为A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，取c＝1，则B＝(0,1)，所以A⊆B成立，可排除C，D；取c＝2，则B＝(0,2)，所以A⊆B成立，可排除A。故选B。
【答案】　(1)D　(2)B
考点三
集合的运算…………多维探究
角度一：两个集合的交集、并集、补集运算
【典例3】　(1)(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝(　　)
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
(2)(2016·天津高考)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝(　　)
A．{1} B．{4}
C．{1,3} D．{1,4}
(3)设全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{y|y＝lg(x2＋1)}，则(∁UA)∩B＝(　　)
A．{x|x≤－1或x≥0}
B．{(x，y)|x≤－1，y≥0}
C．{x|x≥0}
D．{x|x＞－1}
【解析】　(1)由已知可得B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，∴A∪B＝{0,1,2,3}，故选C。
(2)由题意得，B＝{1,4,7,10}，所以A∩B＝{1,4}。故选D。
(3)∵全集U＝R，
集合A＝＝{x|x≤－1}，
∴∁UA＝{x|x＞－1}，
∵B＝{y|y＝lg(x2＋1)}＝{y|y≥0}，
∴(∁UA)∩B＝{x|x≥0}。故选C。
【答案】　(1)C　(2)D　(3)C
角度二：根据集合运算结果求参数
【典例4】　(1)已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于(　　)
A．0或 B．0或3
C．1或 D．1或3
(2)集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{y|y<a}，若M∩N≠∅，则实数a的取值范围一定是(　　)
A．－1≤a<2 B．a≤2
C．a≥－1 D．a>－1
【解析】　(1)由A∪B＝A得B⊆A，有m∈A，所以有m＝或m＝3，即m＝3或m＝1或m＝0，又由集合中元素的互异性知m≠1。故选B。
(2)∵M＝{x|－1≤x<2}，N＝{y|y<a}，且M∩N≠∅，如图只要a>－1即可。故选D。

【答案】　(1)B　(2)D
角度三：抽象的集合运算
【典例5】　设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的(　　)
A．充分而不必要的条件
B．必要而不充分的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
【解析】　由图可知，若“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”，则一定有“A∩B＝∅”；反过来，若“A∩B＝∅”，则一定能找到集合C，使A⊆C且B⊆∁UC。故选C。

【答案】　C
反思归纳 集合的基本运算的关注点
1.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提。
2.有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决。
3.注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图。
4.根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解。
微考场　新提升

1．(2016·四川高考)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析　由集合A＝{x|－2≤x≤2}，易知A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}。故选C。
答案　C
2．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝(　　)
A. B.
C. D.
解析　由题意得，A＝{x|1<x<3}，B＝{x|x>}，
则A∩B＝。故选D。
答案　D

3.设全集U是自然数集N，集合A＝{x|x2>4，x∈N}，B＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)
A．{x|x>2，x∈N} B．{x|x≤2，x∈N}
C．{0,2} D．{1,2}
解析　由题图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩(∁UA)，∁UA＝{x|x2≤4，x∈N}＝{x|－2≤x≤2，x∈N}＝{0,1,2}，∵B＝{0,2,3}，∴B∩(∁UA)＝{0,2}。故选C。
答案　C
4．(2016·辽宁五校联考)已知集合M，N，P为全集U的子集，且满足M⊆P⊆N，则下列结论不正确的是(　　)
A．∁UN⊆∁UP B．∁NP⊆∁NM
C．(∁UP)∩M＝∅ D．(∁UM)∩N＝∅
解析　根据已知条件画出韦恩图结合各选项知，只有D不正确。故选D。
答案　D
5．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”。对于集合M＝{x|ax2－1＝0，a>0}，N＝{－，，1}，若M与N“相交”，则a＝________。
解析　M＝，由＝，得a＝4；由＝1，得a＝1。
当a＝4时，M＝{－，}，此时M⊆N，不合题意；当a＝1时，M＝{－1,1}，满足题意。
答案　1

微专题　巧突破

集合中新情境型问题
与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，是近几年高考的热点问题，这类试题的特点是：通过给出的新的数学概念或新的运算法则，在新的情境下完成某种推理证明，或在新的运算法则下进行运算。常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型。解决此类题的关键是理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则等的含义，然后分析题目中的条件，设法进行套用。
1．定义新概念、新公式
【典例1】　设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个。
【解析】　符合题意的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个。
【答案】　6
【变式训练1】　若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝{－1,0，，2,3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(　　)
A．1　　　 B．3　　　
C．7　　　 D．31
【解析】　具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，。故选B。
【答案】　B
2．定义新运算、新法则
【典例2】　设A，B是有限集，定义d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中的元素个数。
命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必要条件；
命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)，
A．命题①和命题②都成立
B．命题①和命题②都不成立
C．命题①成立，命题②不成立
D．命题①不成立，命题②成立
【解析】　命题①显然正确，通过如图韦恩图亦可知d(A，C)表示的区域不大于d(A，B)＋d(B，C)的区域，故命题②也正确，故选A。
【答案】　A
【变式训练2】　定义集合的差集运算为A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{y|y＝|x－1|－|x＋1|，x∈R}，B＝{y|y＝－，x∈R}，则A－B＝________。
【解析】　先求出集合A，B，再利用差集的定义求A－B。
依题意知，y＝|x－1|－|x＋1|＝
可知－2≤y≤2，所以A＝[－2,2]。易知y＝－＝在(1，＋∞)上单调递减，则0<－≤，即0<y≤，所以B＝(0，]。
于是A－B＝[－2,0]∪(，2]。
【答案】　[－2,0]∪(，2]

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求
真题举例
命题角度
1.理解命题的概念；
2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；
3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义。
2016，北京卷，4,5分(充要条件的判断)
2016，天津卷，5,5分(充要条件的判断)
2014，全国卷Ⅰ，9,5分(逻辑推理判断)
1.分析四种命题的相互关系；由原命题写另一种命题；
2.判定指定条件之间的关系；探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；与命题真假性结合。

微知识　小题练

自|主|排|查
1．命题
(1)命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
(2)四种命题及相互关系

(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。
2．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp
微点提醒
1．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，命题的否定只否定结论。
2．由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假。
3．“p是q的充分不必要条件”即为“p⇒q且qp”；“p的充分不必要条件是q”即为“q⇒p且pq”。
小|题|快|练
一 、走进教材
1．(选修1－1P10练习T3(2)改编)“(x＋1)(y－2)＝0”是“x＝－1且y＝2”的________条件。
【解析】　因为(x＋1)(y－2)＝0，
所以x＝－1或y＝2，
所以(x＋1)(y－2)＝0x＝－1且y＝2，
x＝－1且y＝2⇒(x＋1)(y－2)＝0，
所以是必要不充分条件。
【答案】　必要不充分
2．(选修1－1P8习题1.1A组T2(1)改编)“若a，b都是偶数，则ab必是偶数“的逆否命题为________。
【解析】　“a，b都是偶数”的否定为“a，b不都是偶数”，“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数”，故其逆否命题为“若ab不是偶数，则a，b不都是偶数”。
【答案】　若ab不是偶数，则a，b不都是偶数
二、双基查验
1．(2016·天津高考)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　)
A．充要条件　　　　　　 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】　由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件。故选C。
【答案】　C
2．命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是(　　)
A．若α≠，则tanα≠1 B．若α＝，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α＝
【解析】　以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”。故选C。
【答案】　C
3．设集合A，B，则“A⊆B”是“A∩B＝A”成立的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B，因此，“A⊆B”是“A∩B＝A”成立的充要条件。故选C。
【答案】　C
4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：___________________________________________________。
【解析】　原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°。
结论：∠A，∠B都是锐角。否命题是否定条件和结论。
即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”。
【答案】　在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角
5．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________。
【解析】　由x2>1得x>1或x<－1。
由题意知{x|x<a}{x|x>1或x<－1}，结合数轴可知，a≤－1，从而a的最大值为－1。
【答案】　－1

微考点　大课堂

考点一
四种命题及其相互关系
【典例1】　(1)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(　　)
A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数
B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)
A．真，假，真　　　　　 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
【解析】　(1)由于“x，y都是偶数”的否定是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”。故选C。
(2)先证原命题为真：当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a－bi，则|z1|＝|z2|＝，∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假。故选B。
【答案】　(1)C　(2)B
反思归纳
1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：
(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提。
2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例。
3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假。
【变式训练】　(1)命题“若α＝，则cosα＝”的逆命题是(　　)
A．若α＝，则cosα≠
B．若α≠，则cosα≠
C．若cosα＝，则α＝
D．若cosα≠，则α≠
(2)已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3。关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是(　　)
①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；
②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；
③命题β是命题α的否命题，且命题γ 是命题α的逆否命题。
A．①③ B．②
C．②③ D．①②③
【解析】　(1)命题“若α＝，则cosα＝”的逆命题是“若cosα＝，则α＝”。故选C。
(2)命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定，然后交换条件与结论所得，因此①正确，②错误，③正确。故选A。
【答案】　(1)C　(2)A
考点二
充分条件与必要条件的判断……多维探究
角度一：用定义法判断充分条件、必要条件
【典例2】　(2016·北京高考)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】　取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|。由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|。故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件。故选D。
【答案】　D
角度二：用集合法判断充分条件、必要条件
【典例3】　设p：1<x<2，q：2x>1，则p是q成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】　由2x>20⇒x>0，且{x|1<x<2}{x|x>0}可知：由p能推出q，但由q不能得出p，所以p是q成立的充分不必要条件。故选A。
【答案】　A
角度三：用等价转化法判断充分条件、必要条件
【典例4】　(2017·锦州模拟)给定两个命题p，q。若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】　因为綈p是q的必要不充分条件，则q⇒綈p但綈pq，其逆否命题为p⇒綈q但綈qp，所以p是綈q的充分不必要条件。故选A。
【答案】　A
反思归纳 充要条件的三种判断方法
1.定义法：根据pq,qp进行判断。
2.集合法：根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断。
3.等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断。这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件。
考点三
根据充分条件、必要条件求参数的取值范围……母题发散
【典例5】　(1)(2016·南昌模拟)已知条件p：|x－4|≤6；条件q：(x－1)2－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是(　　)
A．[21，＋∞) B．[9，＋∞)
C．[19，＋∞) D．(0，＋∞)
(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}。若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________。
【解析】　(1)条件p：－2≤x≤10，条件q：1－m≤x≤m＋1，又因为p是q的充分不必要条件，所以有解得m≥9。故选B。
(2)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P。
则∴0≤m≤3。
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]。
【答案】　(1)B　(2)[0,3]
【母题变式】　1.本典例(2)条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件。
【解析】　若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴∴
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件。
【答案】　不存在
2．本典例(2)条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围。
【解析】　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，
∵綈P是綈S的必要不充分条件，
∴P⇒S且SP。
∴[－2,10][1－m,1＋m]。
∴或
∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)。
【答案】　[9，＋∞)
反思归纳 由充分条件、必要条件求参数。解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解。但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号是否能够取得，决定着端点的取值。
微考场　新提升
1．命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是(　　)
A．“若a，b，c成等比数列，则b2≠ac”
B．“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”
C．“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”
D．“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”
解析　根据原命题与其逆否命题的关系，易得命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”。故选D。
答案　D
2．已知向量a＝(sinα，cosα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a与b的夹角为θ，则“|a－b|＝1”是“θ＝60°”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析　由条件可知|a|＝|b|＝1，若|a－b|＝1，则(a－b)2＝1，即a2＋b2－2a·b＝1，所以1＋1－2cosθ＝1，即cosθ＝，故θ＝60°。同理，若θ＝60°，则|a－b|＝1也成立。故“|a－b|＝1”是“θ＝60°”的充分必要条件。故选C。
答案　C
3．设m，n为正实数，则“m<n”是“m2－<n2－”成立的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析　解法一：m，n为正实数是此题的大前提条件，所以可得m2－<n2－⇔m2－n2－<0⇔(m－n)(m＋n)<0⇔m<n，
故“m<n”是“m2－<n2－”成立的充要条件。故选C。
解法二：构造函数f(x)＝x2－(x>0)，易知f(x)＝x2－(x>0)是单调递增函数，任取m，n>0，当m<n时，f(m)<f(n)，即m2－<n2－；反之，当f(m)<f(n)时，易得m<n。故“m<n”是“m2－<n2－”成立的充要条件。故选C。
答案　C
4．已知在实数a，b满足某一前提条件时，命题“若a>b，则<”及其逆命题、否命题和逆否命题都是假命题，则实数a，b应满足的前提条件是________。
解析　显然ab≠0，当ab>0时，<⇔·ab<·ab⇔b<a，所以四种命题都是正确的。当ab<0时，若a>b，则必有a>0>b，故>0>，所以原命题是假命题；若<，则必有<0<，故a<0<b，所以其逆命题也是假命题；由命题的等价性可知，四种命题都是假命题。从而本题应填ab<0。
答案　ab<0
5．若x<m－1或x>m＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________。
解析　由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|x<m－1或x>m＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，
∴或∴0≤m≤2。
答案　[0,2]

第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求
真题举例
命题角度
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；
2.理解全称量词与存在量词的意义；
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
2016，浙江卷，4,5分(含有一个量词命题的否定)
2015，全国卷Ⅰ，3,5分(含有一个量词命题的否定)
2015，山东卷，12,5分(全称量词的应用)
2014，辽宁卷，5,5分(简单的逻辑联结词)
2014，重庆卷，6,5分(简单的逻辑联结词)
1.含有逻辑联结词的命题的真假判断；
2.判断全称命题、特称命题的真假；全称命题、特称命题的否定；已知全称(特称)命题真假，求参数取值范围。

微知识　小题练

自|主|排|查
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词。
(2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真

2．量词及含有一个量词的命题的否定
(1)全称量词和存在量词
①全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示。
②含有全称量词的命题，叫做全称命题。“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)。
③含有存在量词的命题，叫做特称命题。“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)。
(2)含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，綈p(x0)
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，綈p(x)
微点提醒
1．逻辑联结词“或”“且”“非”对应着集合运算中的“并”“交”“补”。因此，可以借助集合的“并、交、补”的意义来求解“或、且、非”三个逻辑联结词构成的命题问题。
2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q见真即真，p∧q见假即假，p与綈p真假相反。
3．全称命题(特称命题)的否定是特称命题(全称命题)。其真假性与原命题相反。要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”。
小|题|快|练
一 、走进教材
1．(选修1－1P26A组T3改编)命题∀x∈R，x2＋x≥0的否定是(　　)
A．∃x0∈R，x＋x0≤0
B．∃x0∈R，x＋x0<0
C．∀x∈R，x2＋x≤0
D．∀x∈R，x2＋x<0
【解析】　由全称命题的否定是特称命题知命题B正确。故选B。
【答案】　B
2．(选修1－1P18A组T1(3)改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(　　)
A．1　　　　 B．2　　　　
C．3　　　　 D．4
【解析】　p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题。故选B。
【答案】　B
二、双基查验
1．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为(　　)
A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1
B．∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1
C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1
D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1
【解析】　全称命题的否定规律是“改变量词、否定结论”，“∀x>0，总有(x＋1)ex>1”的否定是“∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1。”故选B。
【答案】　B
2．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是(　　)
A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝x
C．∃x0∉R，x≠x D．∃x0∈R，x＝x0
【解析】　全称命题“∀x∈R，x2≠x”的否定为特称命题，“∃x0∈R，x＝x0”。故选D。
【答案】　D
3．已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件。则