江苏省南通市中考数学试卷Word版含解析.doc

南通市2018年初中毕业、升学考试试卷
数 学
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项
1. 本试卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡指定的位置。
3. 答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．6的相反数是（ ）
A．—6 B．6 C． D．
2．计算结果是（ ）
A． B． C． D．
3．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．2017年国内生产总值达到827000亿元，稳居世界第二．将数827000用科学记数法表示为（ ）
A．82.7×104 B．8.27×105 C．0.827×106 D．8.27×106
5．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12
6．如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数－2，—1，0，1，2，则表示数的点P应落在（ ）
A．线段AB上 B．线段BO上
C．线段OC上 D．线段CD上
7．若一个凸多边形形的内角和为720°，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．一个圆锥的主视图是边长为4cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于（ ）
A．16πcm2 B．12πcm2 C．8πcm2 D．4πcm2
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，按下列步骤作图：
步骤1：分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
步骤2：作直线MN，分别交AC，BC于点E，F；
步骤3：连接DE，DF．
若AC＝4，BC＝2，则线段DE的长为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠DCE=．设AB＝，△ABF的面积为，则与的函数图像大致为（ ）

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程）
11．计算3a2b－a2b＝ ．
12．某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为2：7：3，绘制成如图所示的扇形统计图，则甲地区所在扇形的圆心角度数为 度．

13．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为 cm．
14．如图，∠AOB＝40°，OP平分∠AOB，点C为射线OP上一点，作CD⊥OA于点D，在∠POB的内部作CE∥OB，则∠DCE＝ 度．
15．古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，则由题意，可列方程为 ．
16．如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是 （填序号）．
17．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
18．在平面直角坐标系中，已知A（2t，0），B（0，一2t），C（2t，4t）三点，其
中t＞0，函数的图像分别与线段BC，AC交于点P，Q．若S△PAB－S△PQB＝t，则t的值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题满分10分）
计算：（1）；
（2）．
20．（本题满分8分）
解方程．
21．（本题满分8分）
一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把他们分别标号为1，2，3．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球标号相同的概率．
22．（本题满分8分）
如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝520m，∠D＝30・那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上（取1.732，结果取整数）？

23．（本题满分9分）
某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：
17 18 16 13 24 15 28 26 18 19
22 17 16 19 32 30 16 14 15 26
15 32 23 17 15 15 28 28 16 19
对这30个数据按组距3进行分组，并整理、描述和分析如下．

请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若将月销售额不低于25万元确定为销售目标，则有 位营业员获得奖励；
（3）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由．
24．（本题满分8分）
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，且交⊙O于点E．连接OC，BE，相交于点F．
（1）求证：EF＝BF；
（2）若DC＝4，DE＝2，求直径AB的长．

25．（本题满分9分）
小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：

根据以上信息解答下列问题
（1）求A，B两种商品的单价；
（2）若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
26．（本题满分10分）
在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）．
（1）若抛物线经过点（1，），求的值；
（2）若抛物线经过点（，）和点（2，），且＞，求的取值范围；
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当时，新抛物线对应的函数有最小值，求的值．
27．（本题满分13分）
如图，正方形ABCD中，AB＝，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长；
（3）求线段OF长的最小值．

28．（本题满分13分）
【定义】
如图1，A，B为直线同侧的两点，过点A作直线的对称点A＇，连接A＇B交直线于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线的“等角点”．
【运用】
如图2，在平面直坐标系中，已知A（2，），B（－2，－）两点．
（1），，三点中，点 是点A，B关于直线的等角点；
（2）若直线垂直于轴，点P（m，n）是点A，B关于直线的等角点，其中m＞2，∠APB＝a，求证：；
（3）若点P是点A，B关于直线的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当∠APB＝60°时，求b的取值范围（直接写出结果）．

南通市2018年初中毕业、升学考试试卷
数学参考答案及解析

1．A 解析：本题考査了相反数的概念．6的相反数是－6，故选A．
2．B 解析：本题考査了积的乘方和同底数幂的乘法．，故选B．
3．D 解析：本题考査了二次根式有意义的条件．根据题意，得，解得，故选D．
4．B 解析：本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．将827000用科学记数法表示为．故选B．
5．A 解析：本题考查了直角三角形与勾股定理．A选项：32＋42＝52，正确；B选项：22＋32≠42，错误；C选项：42＋62≠72，错误；D选项：52＋112≠122，错误，故选A．
6．B 解析：本题考查了实数大小的比较和利用数轴表示数．2－3＜2－＜2－2，即一1＜2－＜0，所以点P应落在线段BO上．故选B．
7．C 解析：本题考査了多边形内角和的概念．由（n－2）×180°＝720°，得n＝6．故选C．
8．C 解析：本题考査了圆锥侧面积的计算．由题意，圆锥底面圆半径为2cm，母线长为4cm，圆锥侧面积＝＝＝8cm2，故选C．
9．D 解析：本题考査了角平分线，垂直平分线，平行线分线段成比例．
∵CD平分∠ACB．∴∠ECD＝∠DCF＝45°，
∵MN垂直平分CD，∴CE＝DE，∴∠ECD＝∠EDC＝45°，
∴∠CED＝90，又∵∠ACB＝90°，∴DE∥CB，∴△AED∽△ACB，，
设ED＝，则EC＝，AE＝，∴，解得．故选D．
10．D 解析：本题考查了三角函数，相似三角形，三角形面积计算和二次函数图像等知识．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，∠ABC＝90°，∵CD∥AB，∴∠CEB＝∠DCE．
∴tan∠CEB＝tan∠DCE＝＝，∵AB＝x，
∴BE＝，∴BC＝．
在Rt△CBE中，CE＝＝．由翻折知EF＝EB，BF⊥CE，
∴∠EFB＝∠EBF．∵E是AB中点，∴AE＝BE，又∵EF＝EB，∴AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，∴∠AFB＝∠EFA+∠EFB＝90°，∠FAB＋∠FBA＝90°，
又∵BF⊥CE，∴∠CEB＋∠FBA＝90°，∴∠FAB＝∠CEB，∴△AFB∽△EBC，
．，
∴的面积的图像是二次函数部分，时，．故选D．
11．2a2b 解析：本题考查整式的运算，3a2b一a2b＝2a2b，故答案为2a2b．
12．60 解析：本题考查了扇形统计图的相关知识，求甲地区的圆心角度数，只需求出甲所占的百分比，再乘以360°即可，所以甲所对应的圆心角度数为，故答案为60．
13．22 解析：本题考査了等腰三角形的性质．根据两边之和大于第三边，所以该等腰三角形的第三边只能是9，所以周长为4＋9＋9＝22cm，故答案为22．
14．130 解析：本题考查了相交线与平行线的相关知识，以及角平分线的性质，垂线和三角形内角和、外角和相关知识，由于CE与OB平行，所以∠PCE＝20°，根据外角和定理可得∠DCP＝110°，所以∠DCE＝130°，故答案为130．
15．240x＝150（x＋12） 解析：本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得，由于快马和慢马走的路程一样，根据这一等量关系可列方程为240x＝150（x＋12），故答
案为：240x＝150（x＋12）．
16．② 解析：本题考查了菱形的判定定理，根据②AB＝BC，可以推出△ABC是等腰三角形，由角平分线可推出AD＝DC，再结合四边形ADCE是平行四边形可证其是菱形．故答案为②．
17． 解析：本题考查了一元二次方程根的判别式以及整式的混合运算——化简求值．由题意得△＝b2－4ac＝0，即，整理得：．
原式＝，
将代入，即原式＝，故答案为．
18．4 解析：本题考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数的图像及其性质以及三角形的面积公式．如图，设BC交x轴于点D，BQ交x轴于点G，过P作PE⊥y轴于点E，并延长EP交AC于点H，过点Q作QD⊥y轴于点D．由B（0，-2t），C（2t，4t），易得BC的解析式为y＝3x-2t．令y＝0，得x＝，即F的坐标为（，0）．与
联列，可得3x－2t＝，解得x＝t，（舍），∴P点坐标为（t，t）．
由A（2t，0），C（2t，4t），易得Q点的横坐标为2t，代入中，即，
∴Q点坐标为（2t，）．由B（0，－2t），Q（2t，），
易得BQ的解析式为．令y＝0，得得x＝，即G的的坐标为（，0）．
由图可知，．
∵，∴，解得：t1=4，t2=0（舍去）．∴t=4．
19．（1）本题主要考查了实数的运算．在计算时，需对零指数幂、乘方、立方根、负指数幂分别进行计算，然后根据实数的运算法则，求得计算结果；（2）本题主要考查分式的化简，分别用平方差公式和完全平方公式，除法化为乘法，化简分式．
解：（1）原式＝4－4＋1－9＝一8．
（2）原式．
20．本题考査了分式方程的解法，可以采用去分母的方法把分式方程转化为整式方程再求解．
解：去分母可得3x＝2x＋（3x＋3），化简可得2x＝－3，解得．经检验是原方程的解．
21．解析：本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图适合两步或两步以上完成的事件．要熟练掌握：概率＝事件所包含的可能结果数与全部可能结果总数的比，即：如果一个事件有n种可能的情况，且它们们的可能性相同，其中事件A出现了m种结果，那么事件A的概率．
解：画树状图如下：

或列表如下：

根据树状图或列表可知满足情况的有3种，∴P＝．
22．解析：本题考查了解直角三角形的应用，三角函数的定义，利用三角函数解决实际问题．本题中若要使A、C、E三点共线，则三角形BDE是以∠E为直角的三角形，利用三角函数即可解得DE的长．
解：∵∠ABD＝120°，∴∠CBD＝60°，∵∠CED＝90°，
∴ED＝BD・sin∠EBD＝520×＝260≈450m．
答：当开挖点E离D450m时正好使A，C，E三点在同一直线上．
23．解析：本题考査了对样本数据进行分析的相关知识，考查了频数分布表、平均数、众数和中位数的知识，根据数据整理成频数分布表，会求数据的平均数、众数、中位数．并利用中位数的意义解决实际问题．
（1）根据数据可得到落在第四组、第六组的个数分别为3个、4个，所以a＝3，b＝4，再根据数据可得15出现了5次，出现次数最多，所以众数c＝15；（2）从频数分布表中可以看出月销售额不低于25万元的营业员有8个，所以本小题答案为：8；（3）本题是考查中位数的知识，根据中位数可以让一半左右的营业员达到销售目标．
解：（1）3，4，15；（2）8；（3）根据中位数为18可得，可把营业额定在18万元，就可以让一半左右的人达到销售目标．
24．解析：本题考査了切线的性质和判定、矩形判定和性质、垂径定理、解直角三角形等知识．
（1）根据切线的性质，易证四边形CDEF是一个矩形，即可推出OC与EB相互垂直，再根据垂径定理即可证明结论；
（2）由题意易得DC＝EF＝FB＝4，CF＝DE＝2，设半径为r，则OF＝r－2，在Rt△OBF中，利用勾股定理即可得到半径的长，从而求出直径AB的长．
解：（1）由于CD为圆的切线，可得OC⊥CD，∠OCD＝90°，又∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，可证四边形CDEF是矩形，∴OC⊥EB，EF＝FB．
（2）由（1）得DC＝EF＝FB＝4，CF＝DE＝2，设半径为r，则OF＝r—2，在Rt△OBF中，OF2＋FB2＝OB2，，解得得r＝5，所以AB＝10．
25．解析：本题考查了二元一次方程组的解法以及不等式的相关知识，解题的关键是掌握消元思想与解二元一次方程组的方法步骤．利用加减消元法解方程得出答案．
（1）列二元一次方程组，用代入法或加减法解方程即可；（2）将题目转化为一元一次不等式，利用一元一次不等式解即可．
解：（1）设A，B两种商品的价格分别为x，y，由题意可得
解得所以A，B两种商品的价格分别为20，15；
（2）设购买的A商品a件，则B商品为12－a件，所花钱数为m．
由于a≥2（12－a），可得8≤a≤12，
∵m＝20a+15（12-a）=5a+180，
∴当a＝8时所花钱数最少，即购买A商品8件，B商品4件．
26．解析：本题考査了二次函数的代入点求值、二次函数的最值、二次函数与一元二次不等式、方程的关系以及函数平移的问题，是二次函数的综合题，要求熟练掌握二次函数的相关知识．
（1）把（1，k2）代入抛物线解析式中并求解即可；（2）将点分别代入抛物线解析式中，由y1＞y2列出关于k的不等式，求解即可；（3）先求出新抛物线的解析式，然后分1≤k≤2，k＞2以及k＜1三种情况讨论，根据二次函数的顶点及增减性，分别确定三种情况下各自对应的最小值，然后列出方程并求出满足题意的k值即可．
解：（1）∵抛物线经过点（1，k2），
∴，解得k＝．
（2）∵抛物线经过（2k，y1）、点（2，y2），
∴，
，
∵，∴，解得k＞1．
（3）∵，
∴将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线为
，
当k＜1时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴x＝1时，y最小＝，∴，
解得，，都不合题意，舍去；
当1≤k≤2时y最小＝，∴，
解得k＝1；当k＞2时，1≤≤2对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∴x＝2时，y最小＝，∴，
解得k1＝3，k2＝（舍去），综上可知k＝1或3．
27．解析：本题考查了正方形的性质、几何图形旋转的性质、利用三角形全等解决问题的相关知识．（1）根据旋转的性质，对应线段、对应角相等，可证明△ADE≌△CDF，即可得到AE＝CF．（2）先利用△AEKC∽△AOB，求得AK，EK长，再利用△AEK≌△CFG，求得FG，CG长，即可求得OF的长；（3）本题考査了利用三角形全等转化的思想解决问题．
解：（1）∵线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，
∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠CDE+∠CDF＝90°，
在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°．
∴∠CDE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE与△CDF中，
∴△ADE≌△CDF，∴AE=CF
（2）如图，过F点作OC的垂线，交OC的延长线于G点，过E点作EK⊥AB于点K，
若A，E，O三点共线，可得△ AEK∽△AOB，∴，
已知AB＝2，BO＝，∴AO＝5，AE＝3，
∴， AK＝，EK＝，
∵∠DAE＝∠DCF，∴∠EAK＝∠FCG，
∵AE＝CF，∠AKE＝∠FGC＝90，
∴△AEK≌△CFG，FG＝，CG＝，
在Rt△OGF中，由勾股定理得OF＝．
（3）如图，由于OE＝2，所以E点可以看作是在以O为圆心，2为半径的半圆上运动，
延长BA至P点，使得AP＝OC，连接PE，
∵AE＝CF，∠PAE＝∠OCF，
∴△PAE≌△OCF，PE＝OF．
当PE最小时，为O，E，P三点共线，
OP＝＝＝，
∴PE＝OP－OE＝－2，∴OF最小值为－2．
28．解析：本题是一道开放性探究题，主要考查自主探究的能力，建立在直角坐标系的探究题目，里面涉及新的定义，利用了一次函数，三角函数的相关知识，要求我们把握定义，理解定义，严格按照定义解题．（1）根据“等角点”的定义找到A关于x＝4的对称点A＇，连接A＇B，求得与x＝4的交点即可；（2）根据“等角点”的定义和三角函数的知识，再利用△APG∽△BPH，即可得到；（3）构造辅助圆⊙O解题，当直线y＝ax＋b与⊙O相交的另一个交点为Q时，利用圆周角定理以及对称性可证明△ABQ为等边三角形，从而确定Q
为定点．再过A，Q分别作y轴的垂线，构造相似三角形（Rt△AMO∽Rt△ONQ），利用相似三角形对应边成比例即可求出Q的坐标，再利用待定系数法求出BQ和AQ的解析式，由此即可确定b的取值范围．
解：（1）C；
（2）如图，过点A作直线的对称点A＇，连接A＇B，交直线于点P，作BH⊥于点H．
∵点A和点A＇关于直线对称，∴∠APG＝∠A＇PG．
∵∠BPH＝∠A＇PG，∴∠APG＝∠BPH．
∵∠AGP＝∠BHP＝90°，∴△AGP∽△BHP．
∴，即．
∴，即．
∵∠APB＝，AP＝A＇P，∴∠A＝∠A＇＝．
在Rt△AGP中，．
（3）如图，当点P位于直线AB的右下方，∠APB＝60°时，点P在以AB为弦，所对的圆周角为60°，且圆心在AB下方的圆上．
若直线与圆相交，设圆与直线的另一个交点为Q．
由对称性可知：∠APQ＝∠A＇PQ，又∠APB＝60°，∴∠APQ＝∠A＇PQ＝60°．
∴∠ABQ＝∠APQ＝60°，∠AQB＝∠APB＝60°．
∴∠BAQ＝60°＝∠AQB＝∠ABQ．∴△ABQ是等边三角形．
∵线段AB为定线段，∴点Q为定点．
若直线与圆相切，易得点P与Q重合．
∴直线经过定点Q．
连接OQ，过点A，Q分别作AM⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为M，N．
∵A（2，），B（－2，－），∴OA＝OB＝．
∵△ABQ是等边三角形，∴∠AOQ＝∠BOQ＝90°，OQ＝OB＝．
∴∠AOM+∠NOQ＝90°，又∵∠AOM＋∠MAO＝90°，∠NOQ＝∠MAO．
又∵∠AMO＝∠ONQ＝90°，∴△AMO∽△ONQ．
∴．∴．
∴ON＝2，NQ＝3，∴Q（3，）．
设直线BQ的解析式为，
将B、Q两点代入得解得
∴直线BQ的解析式为．
设直线AQ的解析式为，
将A、Q两点代入得，解得
∴直线AQ的解析式为．
若点P与B点重合，则直线PQ与直线BQ重合，此时；若点P与点A重合，则直线PQ与直线AQ重合，此时b＝；∵a≠0，∴b≠－；又∵y＝ax＋b（a≠0），且点P位于AB的右下方，∴b＜－且b≠－2或b>7．