春学期八年级数学竞赛试题.doc

班级：_______________　　　　　　　　　　　　姓名：_______________
2017年春学期八年级数学竞赛试题
　一．选择题（每小题5分，共25分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，若CD=m，AB=2n，则△ABD的面积是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）
A．mn B．5mn C．7mn D．6mn
第1题

第3题

2．若满足不等式20＜5﹣2（2+2x）＜50的最大整数解为a，最小整数解为b，则a+b之值为何？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）
A．﹣15 B．﹣16 C．﹣17 D．﹣18
3．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，DE为BC的中垂线，BD为∠ADE的角平分线．若∠A=58°，则∠ABD的度数为何？　　　　　（　　）
A．58 B．59 C．61 D．62
4．若不等式组的解集为x＜2m﹣2，则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 B．m≥2 C．m＞2 D．m＜2
5．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为　　　　　　　　　　　　　（　　）
A．﹣1 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3　

二．填空题（每小题5分，共25分）
6．已知不等式组，在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图所示，则b﹣a的值为　　．

7．如图，△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，BC的垂直平分线交AB于点D，连结DC，如果AD=3，BD=8，那么△ADC的周长为　　．

第8题

第7题

8．如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，AB=3，BC=5，P是折线BAC上动点（不与B，C重合），过P作BC的垂线l交BC于D，连接AD．当△ACD是等腰三角形时，BP的长是　　．
第9题
9．如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动　　分钟后△CAP与△PQB全等．
10．若（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，
则m=　　．

三．解答题（每题10分，共50分）
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE=CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．

12．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．

15．某校高一新生中有若干住宿生，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有21人无房住；若每间住7人，则有一间不空也不满，已知住宿生少于55人，求住宿生人数．

13．如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，BC边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F
（1）若△CMN的周长为20cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．

14．为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买A、B两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨．
（1）求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？
（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？

2017年04月11日noname的初中数学组卷
参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）
1．（2017春•兰陵县校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，若CD=m，AB=2n，则△ABD的面积是（　　）

A．mn B．5mn C．7mn D．6mn
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，
∴DE=CD=m，
∴△ABD的面积=×2n×m=mn，
故选：A．

2．（2016•台湾）如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，DE为BC的中垂线，BD为∠ADE的角平分线．若∠A=58°，则∠ABD的度数为何？（　　）

A．58 B．59 C．61 D．62
【分析】根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义得到∠1=∠2=∠3，求出∠4和∠C，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵BD是∠ADE的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵DE是BC的中垂线，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2=∠3，又∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠1=∠2=∠3=60°，
∴∠4=∠C=90°﹣60°=30°，
∴∠ABD=180°﹣∠A﹣∠4﹣∠C=180°﹣58°﹣30°﹣30°=62°．
故选：D．

3．（2016•台湾）若满足不等式20＜5﹣2（2+2x）＜50的最大整数解为a，最小整数解为b，则a+b之值为何？（　　）
A．﹣15 B．﹣16 C．﹣17 D．﹣18
【分析】根据不等式20＜5﹣2（2+2x）＜50可以求得x的取值范围，从而可以得到a、b的值，进而求得a+b的值．
【解答】解：∵20＜5﹣2（2+2x）＜50，
解得，，
∵不等式20＜5﹣2（2+2x）＜50的最大整数解为a，最小整数解为b，
∴a=﹣5，b=﹣12，
∴a+b=（﹣5）+（﹣12）=﹣17，
故选C．

4．（2016•大庆校级自主招生）若不等式组的解集为x＜2m﹣2，则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 B．m≥2 C．m＞2 D．m＜2
【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据不等式和不等式组解集得出m≥2m﹣2，求出即可．
【解答】解：，
由①得：x＜2m﹣2，
由②得：x＜m，
∵不等式组的解集为x＜2m﹣2，
∴m≥2m﹣2，
∴m≤2．
故选A．

5．（2014•孝感）如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为（　　）

A．﹣1 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3
【分析】满足不等式﹣x+m＞nx+4n＞0就是直线y=﹣x+m位于直线y=nx+4n的上方且位于x轴的上方的图象，据此求得自变量的取值范围即可．
【解答】解：∵直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，
∴关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n的解集为x＜﹣2，
∵y=nx+4n=0时，x=﹣4，
∴nx+4n＞0的解集是x＞﹣4，
∴﹣x+m＞nx+4n＞0的解集是﹣4＜x＜﹣2，
∴关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为﹣3，
故选：D．

二．填空题（共5小题）
6．（2016•句容市一模）如图，△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，BC的垂直平分线交AB于点D，连结DC，如果AD=3，BD=8，那么△ADC的周长为　19　．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质证明CA=CD=DB=8，根据三角形周长公式计算即可．
【解答】解：∵BC的垂直平分线交AB于点D，
∴DB=DC，
∴∠DCB=∠B=40°，
∵∠A=80°，∠B=40°，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACD=20°，
∴∠ADC=80°，
∴CA=CD=DB=8，
∴△ADC的周长=AD+AC+CD=19，
故答案为：19．

7．（2016•驻马店模拟）如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，AB=3，BC=5，P是折线BAC上动点（不与B，C重合），过P作BC的垂线l交BC于D，连接AD．当△ACD是等腰三角形时，BP的长是　或　．

【分析】作AE⊥BC于E，由等腰三角形的性质得出BE=CE=BC=，分两种情况：①当DC=AC=3时，BD=BC﹣DC=2，证出PD∥AE，得出△PBD∽BE，得出对应边成比例，即可得出结果；
②当DA=DC时，由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=∠DAC，证出△DAC∽△ABC，得出比例式求出DC，得出BD，再证明△PBD∽△ABE，得出对应边成比例，即可得出结果．
【解答】解：作AE⊥BC于E，如图所示：
∵AB=AC，
∴BE=CE=BC=，
分两种情况：
①当DC=AC=3时，BD=BC﹣DC=5﹣3=2，
∵PD⊥BC，
∴PD∥AE，
∴△PBD∽△ABE，
∴，即，
解得：BP=；
②当DA=DC时，∠C=∠DAC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠C=∠DAC，
∴△DAC∽△ABC，
∴，即，
解得：DC=，
∴BD=BC﹣DC=5﹣=，
∵PD⊥BC，
∴PD∥AE，
∴△PCD∽△ACE，
∴，即，
解得：PD=，
∴PB==；
故答案为：或．

8．（2016秋•玉田县期末）如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动　4　分钟后△CAP与△PQB全等．

【分析】设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12﹣x）m，分两种情况：①若BP=AC，则x=4，此时AP=BQ，△CAP≌△PBQ；②若BP=AP，则12﹣x=x，得出x=6，BQ=12≠AC，即可得出结果．
【解答】解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；
则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12﹣x）m，
分两种情况：
①若BP=AC，则x=4，
AP=12﹣4=8，BQ=8，AP=BQ，
∴△CAP≌△PBQ；
②若BP=AP，则12﹣x=x，
解得：x=6，BQ=12≠AC，
此时△CAP与△PQB不全等；
综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；
故答案为：4．

9．（2016•烟台）已知不等式组，在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图所示，则b﹣a的值为　　．

【分析】根据不等式组，和数轴可以得到a、b的值，从而可以得到b﹣a的值．
【解答】解：，
由①得，x≥﹣a﹣1，
由②得，x≤b，
由数轴可得，原不等式的解集是：﹣2≤x≤3，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：．

10．（2016春•榆林校级月考）若（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，则m=　1　．
【分析】根据一元一次不等式的定义可知m+1≠0，|m|=1，从而可求得m的值．
【解答】解：∵（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，
∴m+1≠0，|m|=1．
解得：m=1．
故答案为：1．

三．解答题（共5小题）
11．（2017春•崇仁县校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE=CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．

【分析】连接BD，延长BF交DE于点G，根据线段的垂直平分线的性质得到AD=BD，求出∠CBD=45°，证明△ECD≌△FCB，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：DE=BF，DE⊥BF．理由如下：
连接BD，延长BF交DE于点G．
∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=22.5°．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=22.5°，
∴∠ABC=67.5°，
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC=DC．
在△ECD和△FCB中，
，
∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），
∴DE=BF，∠CED=∠CFB．
∵∠CFB+∠CBF=90°，
∴∠CED+∠CBF=90°，
∴∠EGB=90°，即DE⊥BF．

12．（2016秋•宁江区期末）如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．

【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM=90°，根据垂直的定义得到答案；
（2）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM=MN，MN=CM，等量代换得到答案．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD+2∠ADM=180°，
∴∠MAD+∠ADM=90°，
∴∠AMD=90°，
即AM⊥DM；
（2）作NM⊥AD交AD于N，
∵∠B=90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM=MN，MN=CM，
∴BM=CM，
即M为BC的中点．

13．（2016秋•宝应县期中）如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，BC边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F
（1）若△CMN的周长为20cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．

【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到MA=MC，NB=NC，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据四边形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠A+∠B=70°，由∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，计算即可．
【解答】解：（1）∵DM是AC边的垂直平分线，
∴MA=MC，
∵EN是BC边的垂直平分线，
∴NB=NC，
AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC=△CMN的周长=20cm；
（2）∵MD⊥AC，NE⊥BC，
∴∠ACB=180°﹣∠MFN=110°，
∴∠A+∠B=70°，
∵MA=MC，NB=NC，
∴∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，
∴∠MCN=40°．

14．（2016•凉山州）为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买A、B两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨．
（1）求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？
（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？
【分析】（1）根据1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨，可以列出相应的二元一次方程组，从而解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以得到购买方案，从而可以算出每种方案购买资金，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水y吨，

解得，
即A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨；
（2）设购买A型污水处理设备x台，则购买B型污水处理设备（20﹣x）台，
则
解得，12.5≤x≤15，
第一种方案：当x=13时，20﹣x=7，花费的费用为：13×12+7×10=226万元；
第二种方案：当x=14时，20﹣x=6，花费的费用为：14×12+6×10=228万元；
第三种方案；当x=15时，20﹣x=5，花费的费用为：15×12+5×10=230万元；
即购买A型污水处理设备13台，则购买B型污水处理设备7台时，所需购买资金最少，最少是226万元．

15．（2016春•衡阳县期中）某校高一新生中有若干住宿生，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有21人无房住；若每间住7人，则有一间不空也不满，已知住宿生少于55人，求住宿生人数．
【分析】假设宿舍共有x间，则住宿生人数是4x+21人，若每间住7人，则有一间不空也不满，说明住宿生若住满（x﹣1）间，还剩的人数大于或等于1人且小于7人，所以可列式1≤4x+21﹣7（x﹣1）＜7，解出x的范围分别讨论．
【解答】解：设有宿舍x间．住宿生人数 4x+21人．
由题意得 4x+21＜55，
∴x＜8.5
1≤4x+21﹣7（x﹣1）＜7
解得 7＜x≤9．
∴7＜x＜8.5．
因为宿舍间数只能是整数，所以宿舍是8间．
当宿舍8间时，住宿生53人，
答：住宿生53人．