湘教版七年级数学下册第二章--整式的乘法知识点.doc

七年级下册第二章 整式的乘法
1. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。an•am=am+n(m,n是正整数)
例：
2. 幂的乘方，底数不变，指数相乘。(an)m=amn(m,n是正整数)
例：
3.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 (ab)n=anbn(m,n是正整数)
例：
4.单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘。
例：
5. 单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
a（m+n）=am+an
6. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn
例：
7. 平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
（a+b）（a-b）=a2-b2 (公式右边：符号相同项的平方-符号相反项的平方)
例：
8.完全平方公式口诀：头平方和尾平方，头尾两倍在中央，中间符号是一样。
（a+b）2=a2+2ab+b2
=a2+b2+2ab
（a-b）2=a2-2ab+b2
=a2+b2-2ab

例：
9.公式的灵活变形：
（a+b）2+（a-b）2=（a2+2ab+b2）+（a2-2ab+b2）=2a2+2b2，
‚（a+b）2-（a-b）2=（a2+2ab+b2）-（a2-2ab+b2）=2ab+2ab=4ab，
ƒa2+b2=（a+b）2-2ab，
④a2+b2= （a-b）2+2ab，
⑤（a+b）2=（a-b）2+4ab,
⑥（a-b）2=（a+b）2-4ab
01各个击破
命题点1　幂的运算
【例1】　若am＋n·am＋1＝a6，且m＋2n＝4，求m，n的值．
【思路点拨】　已知m＋2n＝4，只要再找到一个关于m，n的二元一次方程即可组成方程组求解．可根据同底数幂的乘法法则，由等式左右两边a的指数相等即可得到．
【解答】　

【方法归纳】　对于乘方结果相等的两个数，如果底数相等，那么指数也相等．

1．(徐州中考)下列运算正确的是( )
A．3a2－2a2＝1 B．(a2)3＝a5
C．a2·a4＝a6 D．(3a)2＝6a2
2．若2x＝3，4y＝2，则2x＋2y的值为________．
命题点2　多项式的乘法
【例2】　化简：2(x－1)(x＋2)－3(3x－2)(2x－3)．
【解答】　

【方法归纳】　在计算多项式乘法时，要注意不漏项，不重项．多项式与多项式相乘，结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积．

3．(佛山中考)若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则m＋n＝( )
A．1　　　　　　　　　　 B．－2
C．－1 D．2
4．下列各式中，正确的是( )
A．(－x＋y)(－x－y)＝－x2－y2
B．(x2－1)(x－2y2)＝x3－2x2y2－x＋2y2
C．(x＋3)(x－7)＝x2－4x－4
D．(x－3y)(x＋3y)＝x2－6xy－9y2
命题点3　适用乘法公式运算的式子的特点
【例3】　下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是( )
A．(2a＋b)(2a－3b) B．(x＋1)(1＋x)
C．(x－2y)(x＋2y) D．(－x－y)(x＋y)
【方法归纳】　能用平方差公式进行计算的两个多项式，其中一定有完全相同的项，剩下的是互为相反数的项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．

5．下列多项式相乘，不能用平方差公式的是( )
A．(－2y－x)(x＋2y)
B．(x－2y)(－x－2y)
C．(x－2y)(2y＋x)
D．(2y－x)(－x－2y)
6．下列各式：①(3a－b)2；②(－3a－b)2；③(－3a＋b)2；④(3a＋b)2，适用两数和的完全平方公式计算的有________(填序号)．
命题点4　利用乘法公式计算
【例4】　先化简，再求值：(2a－b)(b＋2a)－(a－2b)2＋5b2.其中a＝－1，b＝2.
【思路点拨】　把式子的前两部分分别运用平方差公式和完全平方公式化简．
【解答】　

【方法归纳】　运用平方差公式时，要看清两个因式中的相同项和相反数项，其结果是相同项的平方减去相反数项的平方．

7．下列等式成立的是( )
A．(－a－b)2＋(a－b)2＝－4ab
B．(－a－b)2＋(a－b)2＝a2＋b2
C．(－a－b)(a－b)＝(a－b)2
D．(－a－b)(a－b)＝b2－a2
8．若(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)＝15，那么a2＋b2的值是________．
9．计算：
(1)(a＋b)2－(a－b)2－4ab；

(2)[(x＋2)(x－2)]2；

(3)(a＋3)(a－3)(a2－9)．

命题点5　乘法公式的几何背景
【例5】　(1)如图，请用两种不同的方式表示图中的大正方形的面积；
(2)你根据上述结果可以得到一个什么公式？
(3)利用这个公式计算：1022.
【思路点拨】　根据图形可以得到：图形的面积有两种计算方法，一种是根据正方形的面积等于边长的平方计算；另一种方法是图形中两个长方形面积与两个正方形的面积的和，即可得到公式；然后利用公式计算即可．
【解答】　

【方法归纳】　根据同一个图形的面积的两种表示，所得到的代数式的值相等，由此可得到对应的代数恒等式．

10．将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a、b的恒等式为( )

　　　　　 图1　　　　　 　　　图2
A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
D．a(a－b)＝a2－ab
11．(枣庄中考)图1是一个长为2a，宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是( )

A．2ab B．(a＋b)2
C．(a－b)2 D．a2－b2
02整合集训
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．(钦州中考)计算(a3)2的结果是( )
A．a9 B．a6
C．a5 D．a
2．(巴彦淖尔中考)下列运算正确的是( )
A．x3·x2＝x5 B．(x3)2＝x5
C．(x＋1)2＝x2＋1 D．(2x)2＝2x2
3．如果a2n－1·an＋5＝a16，那么n的值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
4．下列各式中，与(1－a)(－a－1)相等的是( )
A．a2－1 B．a2－2a＋1
C．a2－2a－1 D．a2＋1
5．如果(x－2)(x＋3)＝x2＋px＋q，那么p、q的值为( )
A．p＝5，q＝6 B．p＝－1，q＝6
C．p＝1，q＝－6 D．p＝5，q＝－6
6．(－x＋y)(　　　)＝x2－y2，其中括号内的是( )
A．－x－y B．－x＋y
C．x－y D．x＋y
7．一个长方体的长、宽、高分别是3a－4、2a、a，它的体积等于( )
A．3a3－4a2 B．a2
C．6a3－8a D．6a3－8a2
8．已知a＝814，b＝275，c＝97，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．a＜b＜c D．b＞c＞a
二、填空题(每小题4分，共16分)
9．若ax＝2，ay＝3，则a2x＋y＝________．
10．计算：3m2·(－2mn2)2＝________．
11．(福州中考)已知有理数a，b满足a＋b＝2，a－b＝5，则(a＋b)3·(a－b)3的值是________．
12．多项式4x2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，请写出所有可能的单项式为________．
三、解答题(共60分)
13．(12分)计算：
(1)(－2a2b)3＋8(a2)2·(－a)2·(－b)3；

(2)a(a＋4b)－(a＋2b)(a－2b)－4ab；

(3)(2x－3y＋1)(2x＋3y－1)．

14．(8分)已知a＋b＝1，ab＝－6，求下列各式的值．
(1)a2＋b2；

(2)a2－ab＋b2.

15．(10分)先化简，再求值：
(1)(常州中考)(x＋1)2－x(2－x)，其中x＝2；

(2)(南宁中考)(1＋x)(1－x)＋x(x＋2)－1，其中x＝.

16．(10分)四个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad－bc，这个记号就叫做2阶行列式. 例如：＝1×4－2×3＝－2 . 若＝10，求x的值．

17．(10分)如图，某校有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，学校计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．

(1)用含a、b的代数式表示绿化面积并化简；

(2)求出当a＝5米，b＝2米时的绿化面积．

18．(10分)小华和小明同时计算一道整式乘法题(2x＋a)(3x＋b)．小华把第一个多项式中的“a”抄成了－a，得到结果为6x2＋11x－10；小明把第二个多项式中的3x抄成了x，得到结果为2x2－9x＋10.
(1)你知道式子中a，b的值各是多少吗？

(2)请你计算出这道题的正确结果．

参考答案
各个击破
【例1】　由已知得a2m＋n＋1＝a6，所以2m＋n＋1＝6，即2m＋n＝5.又因为m＋2n＝4，所以m＝2，n＝1.
【例2】　原式＝2(x2＋2x－x－2)－3(6x2－9x－4x＋6)＝－16x2＋41x－22.
【例3】　C
【例4】　原式＝(4a2－b2)－(a2－4ab＋4b2)＋5b2＝3a2＋4ab.当a＝－1，b＝2时，原式＝3×(－1)2＋4×(－1)×2＝－5.
【例5】　(1)方法一：(a＋b)2.方法二：a2＋2ab＋b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.(3)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22＝10 404.
题组训练
1．C　2.6　3.C　4.B　5.A　6.②④　7.D　8.4　
9.(1)原式＝a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2－4ab＝0.　
(2)原式＝(x2－4)2＝x4－8x2＋16.　
(3)原式＝(a2－9)(a2－9)＝a4－18a2＋81.　10.C　11.C
整合集训
1．B　2.A　3.B　4.A　5.C　6.A　7.D　8.A　9.12　10.12m4n4　11.1 000　12.±4x或4x4　
13.(1)原式＝－8a6b3－8a6b3＝－16a6b3.　
(2)原式＝a2＋4ab－(a2－4b2)－4ab＝a2＋4ab－a2＋4b2－4ab＝4b2.　
(3)原式＝[2x－(3y－1)][2x＋(3y－1)]＝4x2－(3y－1)2＝4x2－(9y2－6y＋1)＝4x2－9y2＋6y－1.　
14.(1)原式＝(a＋b)2－2ab＝1＋12＝13.　
(2)原式＝(a＋b)2－3ab＝12－3×(－6)＝1＋18＝19.　
15.(1)原式＝x2＋2x＋1－2x＋x2＝2x2＋1.当x＝2时，原式＝8＋1＝9.　
(2)原式＝1－x2＋x2＋2x－1＝2x.当x＝时，原式＝2×＝1.　
16.(x＋1)2－(x－2)(x＋2)＝2x＋5＝10，解得x＝2.5.　
17.(1)S阴影＝(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋3ab＋2ab＋b2－a2－2ab－b2＝5a2＋3ab(平方米)．
(2)当a＝5，b＝2时，5a2＋3ab＝5×25＋3×5×2＝125＋30＝155(平方米)．　
18.(1)根据题意，得(2x－a)(3x＋b)＝6x2＋(2b－3a)x－ab＝6x2＋11x－10；(2x＋a)(x＋b)＝2x2＋(a＋2b)x＋ab＝2x2－9x＋10，所以　解得
(2)正确的算式为：(2x－5)(3x－2)＝6x2－19x＋10.