八年级数学竞赛试卷第二试.doc

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八年级数学竞赛试卷
第 2 试
(考试时间：2010年12月18日9∶30—11∶30)

题号
1—5
6—10
11
12
13
总分
得分

评卷人

复评人

一．选择题（每小题6分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．有两堆数量相同的棋子．第一堆全为白色，第二堆全为黑色．现在从第一堆中取出若干个白棋子，将其放入第二堆中，充分混合后，从第二堆棋子中随机取出同样多的棋子（棋子中可能有黑有白）放到第一堆中，此时两堆棋子的数量又相同了，则下列说法正确的是（ ）
A．此时第一堆中黑棋子的数量大于第二堆中白棋子的数量
B．此时第一堆中黑棋子的数量等于第二堆中白棋子的数量
C．此时第一堆中黑棋子的数量小于第二堆中白棋子的数量
D．此时第一堆中黑棋子的数量与第二堆中白棋子的数量，两者大小关系无法确定
2．盒中原有8个小球，一位魔术师从中任意取几个小球，把每一个小球都变成了8个小球，将其放回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成了8个小球后放回盒中，如此进行到某一时刻魔术师停止取变球时，盒中球的总数可能是（ ）
A．2003个 B．2004个 C．2005个 D．2006个
3．某个游泳池有2个进水口和一个出水口，每个进水口的进水量与时间的关系如图1所示，出水口的出水量与时间的关系如图2所示，某天早上5点到10点，该游泳池的蓄水量与时间的关系如图3所示．

图3
图2
图1

在下面的论断中：①5点到6点，打开进水口，关闭出水口；
②6点到8点，同时关闭两个进水口和一个出水口；
③8点到9点，关闭两个进水口，打开出水口；
④10点到11点，同时打开两个进水口和一个出水口．
可能正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
4．如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，在斜边AB上取两点M、N，使∠MCN=45°．设MN=x，BN=n，AM=m，则以x、m、n为边的三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随x、m、n的值而定
5．一根长30厘米、宽3厘米的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠．为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等，则最初折叠时，MA的长应为（ ）．
A．7.5厘米 B．9厘米 C．10.5厘米 D．12厘米

_
B
_
A
_
P
_
M

二．填空 (每小题6分，共30分)
6．如图，已知△ABC是一个等边三角形，它的边AB长为3，D、E、
F分别是AB、BC、CA的三等分点，则△DEF的边长为＿＿＿。
7．魔术师要求一个游戏参加者想好一个三位数，然后调换所想
三位数的数字顺序，得到5个数并求出
这 5个数的和N。魔术师声称，只要游戏者告诉他N的大小，他就能知道游戏参加者所
想的数是多少。如果N=2630，那么的值可能是 ．
8．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图），
并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的
机会。如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（图
中未标注的都为白色区域），顾客就可以分别获得100元、50
元、20元的购物券，凭此券可以在该商场继续购物。如顾客不
愿意参加摇奖，可以直接获赠购物券10元。如果有足够多次的
机会参加活动，你愿意参加摇奖还是直接获赠购物券，哪种方
式更合算，说明理由：

9．已知a＊b＝ab（a＋1），则等式2＊x＝x＊5中的x= ．
10．桌上有五枚硬币，每次操作，选择其中4个硬币并将它们翻转过来，即如果原来含国徽的一面朝上，将盖面朝下，原来含国徽的一面朝下，将该面朝上。如果开始的时候，五枚硬币有国徽的一面都朝上，你能经过若干次操作将这些硬币都翻转过来吗？如能，写出你的翻转过程，如不能，说明理由：
。

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三．解答题（第11、12題各15分，13題30分，共60分）
11．某租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台．现将这50台联合收割机派往A、B两地收割小麦，其中30台派往A地，20台派往B地．两地区与该租赁公司商定的每天的租赁价格如下：

甲型收割机的租金
乙型收割机的租金
A地
1800元/台
1600元/台
B地
1600元/台
1200元/台
（1）设派往A地x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），请用x表示y，并注明x的范围．
（2）若使租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案写出．

12．对于任意线段AB，可以构造以AB为对角线的矩形ACBD。连接CD，与AB交于A1点，过A1作BC的垂线段A1C1，垂足为C1；连接C1D，与AB交于A2点，过A2作BC的垂线段A2C2，垂足为C2；连接C2D，与AB交于A3点，过A3作BC的垂线段A3C3，垂足为C3，……，如此下去，可以依次得到点A4，A5，……，An.如果设AB的长为1，则
（1）A1B，A2B，A3B的长依次是多少？你是怎么得到的，写出你的过程。
（2）一般地，你能猜想出AnB的长（用n的代数式表示）吗？并说明你猜想的正确性。
D
A

A1

A2

A4
A3

C3
C2
C1
B
C

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13．如图的格点图中，每行（列）相邻两个格点之间都相距1个长度单位。
（1）如图，格点C与格点A、B构成的三角形ABC的面积是2，还有一些格点与格点A、B构成的三角形面积也是2，请找出所有这样的格点，并在图上标示出来。

（2）有些格点与格点A、B可以构成等腰三角形ABD，请你找出所有这样的格点D，并在图中标出。

（3）问题（2）所得到的等腰三角形中有没有等边三角形？如有，将它们标示出来；
如没有，思考：在下面的8*8格点图中，是否存在以格点为顶点的等边三角形，如果存在，请标示出来，如果不存在，说明理由，一般地，对于任意大的格点图（如100*100个点的格点图），这个结论是否成立？
为了说明方便，可以建立适当的坐标系，在坐标系中说明哟！

（4）问题（2）所得到的等腰三角形中有没有以AB为腰的等腰直角三角形，有没有以AB为底的等腰直角三角形？
一般地，在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，是否一定存在以这两个格点所在线段为腰的等腰直角三角形？如果一定有，说明你的构造方法；如果不一定有，思考：对于什么样的两点（即两点的坐标之间满足什么条件时）有。
在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，是否一定存在以这两个格点所在线段为底的等腰直角三角形？如果一定有，说明你的构造方法；如果不一定有，思考：对于什么样的两点（即两点的坐标之间满足什么条件时）有。

2005年宁波市蛟川杯初二数学竞赛试卷第2试
参考答案及评分意见

一、 选择题（每小题6分，共30分）
1．B 2．A 3．D 4．B 5．C
二、 填空题（每小题6分，共30分）
6． 7．256
8．参加摇奖更合算，因为大量次数摇奖的平均收益为100*5%+50*10%+20*20%=14，大于直接获得奖券的10元。
9．0或1/5
10．不能。记国徽朝上的状态为1，朝下为－1，每次操作改变4个数字的符号，5个数字的积不变。因此目标状态不可能由1变为－1．
注意 也可用奇数、偶数知识说明。
三、 解答题（60分）
11．（1） 7分
9分
（2）三种方案，依次为x＝28，29，30的情况 15分
12．（1）A1B A2B= A3B (解答应有过程) 8分
（2）AnB= 10分
说理 (略) 15分
13．（1）C1、C2、C3、C4，如图：

（2）D1、D2、D3、D4 等9点，如图：
13分
（3）问题（2）所得到的等腰三角形中没有等边三角形。在8*8格点图乃至任意大的格点图中，都没有格点为顶点的等边三角形。
说理方式很多，如可以将其中一个顶点选为坐标原点，分析另外两个顶点坐标的奇偶性，分别给予排除；也可以将其中一个顶点选为坐标原点后，分别设另两个顶点的坐标为（a,b）,(c,d),证明a2+b2=c2+d2=(a-c)2+(b-d)2无整数解。
（4）问题（2）所得到的等腰三角形中有以AB为腰的等腰直角三角形，有以AB为底的等腰直角三角形。
一般地，在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，一定存在以这两个格点所在线段为腰的等腰直角三角形。如果所给定两个格点的坐标为（a,b）,(c,d),符合条件的第3个点有几个，如其中一个可以是（a+d-b,b+a-c）。
在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，不一定存在以这两个格点所在线段为底的等腰直角三角形。如果所给定两个格点的坐标为（a,b）,(c,d),只有当a+d与b+c具有相同的奇偶性时，才存在以该两点所在线段为底的等腰直角三角形。 30分