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人教版九年级数学知识点总结
第二十一章 二次根式
1、二次根式：式子 (a≥0)叫做二次根式。
　 2、最简二次根式：满足下列两个条件得二次根式，叫做最简二次根式；
　　（1）被开方数得因数就是整数，因式就是整式；
　　（2）被开方数中不含能开得尽方得因数或因式。如 不就是最简二次根式，因被开方数中含有4就是可开得尽方得因数，又如 ， ， 、、、、、、、、、、都不就是最简二次根式，而 ， ，5 ， 都就是最简二次根式。
3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。如 , , 就就是同类二次根式，因为 =2 ， =3 ，它们与 得被开方数均为2。
4、有理化因式：两个含有二次根式得代数式相乘，如果它们得积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。如 与 ，a+ 与a- ， - 与 + ，互为有理化因式。
　　二次根式得性质：
　　1、 (a≥0)就是一个非负数, 即 ≥0;
　　2、非负数得算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)；
　　3、某数得平方得算术平方根等于某数得绝对值，即 =|a|=
　　4、非负数得积得算术平方根等于积中各因式得算术平方根得积，即 = · （a≥0,b≥0）。
　　5、非负数得商得算术平方根等于被除式得算术平方根除以除式得算术平方根，即 = （a≥0,b>0）。
21、2 二次根式得乘除
1、 二次根式得乘法
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。
说明：（1）法则中、可以就是单项式，也可以就是多项式，要注意它们得取值范围，、都就是非负数；
（2）（≥0，≥0）可以推广为（≥0，≥0）； （≥0，≥0，≥0，≥0）。
（3）等式（≥0，≥0）也可以倒过来使用，即（≥0，≥0）。也称“积得算术平方根”。它与二次根式得乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。
  2、 二次根式得除法
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（≥0，＞0）。
说明：（1）法则中、可以就是单项式，也可以就是多项式，要注意它们得取值范围，≥0，在分母中，因此＞0；
（2）（≥0，＞0）可以推广为（≥0，＞0，≠0）；
（3）等式（≥0，＞0）也可以倒过来使用，即（≥0，＞0）。也称“商得算术平方根”。它与二根式得除法结合，可以对一些二次根式进行化简。 
3、 最简二次根式
（1）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式；
（2）被开方数中不含分母。
21、3 二次根式得加减
1、 同类二次根式
    注：判断几个二次根式就是否为同类二次根式，关键就是先把二次根式准确地化成最简二次根式，再观察它们得被开方数就是否相同。
    （2）合并同类二次根式：合并同类二次根式得方法与合并同类项得方法类似，系数相加减，二次根号及被开方数不变。
    2、 二次根式得加减
    （1）二次根式得加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。
    （2）二次根式得加减法与多项式得加减法类似，首先就是化简，在化简得基础上去括号再合并同类二次根式，同类二次根式相当于同类项。
    一般地，二次根式得加减法可分以下三个步骤进行：
    i）将每一个二次根式都化简成最简二次根式
    ii）判断哪些二次根式就是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组
    iii）合并同类二次根式
    3、 二次根式得混合运算
    二次根式得混合运算可以说就是二次根式乘法、除法、加、减法则得综合应用，在进行二次根式得混合运算时应注意以下几点：
    （1）观察式子得结构，选择合理得运算顺序，二次根式得混合运算与实数得运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内得。
    （2）在运算过程中，每个根式可以瞧作就是一个“单项式”，多个不同类得二次根式得与可以瞧作就是“多项式”。
    （3）观察式中二次根式得特点，合理使用运算律与运算性质，在实数与整式中得运算律与运算性质，在二次根式得运算中都可以应用。
4、 分母有理化
    （1）我们在前面得学习中研究了分母形如 形式得分式得分母有理化
    综合起来，常见得有理化因式有：① 得有理化因式为 ，② 得有理化因式为 ，③ 得有理化因式为 ，④ 得有理化因式为 ，⑤ 得有理化因式为
    （2）分母有理化就就是通过分子与分母同乘以分母得有理化因式，将分母中得根号去掉得过程，混合运算中进行二次根式得除法运算，一般都就是通过分母有理化而进行得。
第二十二章 一元二次方程
22、1 一元二次方程
在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数得最高次数就是2次得整式方程叫做一元二次方程。
22、2 降次——解一元二次方程
　 解一元二次方程得基本思想方法就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：
1、直接开平方法：
用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)得方程，其解为x=± m、
2、配方法
1、转化： 2、系数化 3、移项： 4、配方： 5、变形： 6、开方：
3、公式法
公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac得值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c得值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程得根。
因式分解法：把方程变形为一边就是零，把另一边得二次三项式分解成两个一次因式得积得形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到得根，就就是原方程得两个根。这种解一元二次方程得方法叫做因式分解法。
22、3 实际问题与一元二次方程
列一元二次方程解应用题就是列一元一次方程解应用题得继续与发展
从列方程解应用题得方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题就是非常相似得，由于一元一次方程未知数就是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数就是二次得，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长得平均增长率问题，数学问题中涉及积得一些问题，经营决策问题等等．
第二十三章 旋转
23、1 图形得旋转
1、 图形得旋转
（1）定义：在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度，这样得图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动得角称为旋转角。
（2）生活中得旋转现象大致有两大类：一类就是物体得旋转运动，如时钟得时针、分针、秒针得转动，风车得转动等；另一类则就是由某一基本图形通过旋转而形成得图案，如香港特别行政区区旗上得紫荆花图案。
（3）图形得旋转不改变图形得大小与形状，旋转就是由旋转中心与旋转角所决定，旋转中心可以在图形上也可以在图形外。
（4）会找对应点，对应线段与对应角。
2、 旋转得基本特征：
（1）图形在旋转时，图形中得每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小得角度。
（2）图形在旋转时，对应点到旋转中心得距离相等，对应线段相等，对应角相等；
（3）图形在旋转时，图形得大小与形状都没有发生改变。
3、 几点说明：
旋转中心得确定分两种情况，即在图形上或在图形外，若在图形上，哪一点旋转过程中位置没有改变，哪一点就就是旋转中心；若在图形外，对应点连线得垂直平分线得交点就就是旋转中心。
23、2 中心对称
中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，假如它能够与另一个图形重合，那么这个图形关于这个点对称或中心对称。
中心对称得性质：①关于中心对称得刘遇图形，对应点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。②关于中心对称得刘遇图形就是全等形。
中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后得图形能够与原来得图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
对称点得坐标规律：①关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，
②关于y轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标不变，
③关于原点对称：横坐标、纵坐标都互为相反数。
第二十四章 圆第三章 圆
1、定义：圆就是平面上到定点距离等于定长得点得集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆得半径，
圆心定圆得位置，半径定圆得大小，圆心与半径确定得圆叫做定圆。
对圆得定义得理解：①圆就是一条封闭曲线，不就是圆面；
②圆由两个条件唯一确定：一就是圆心（即定点），二就是半径（即定长）。
2、点与圆得位置关系及其数量特征：如果圆得半径为r，点到圆心得距离为d，则：
①点在圆上<===>d=r；②点在圆内<===>d<r；③点在圆外<===>d>r。（P56-5，6、P58-16）
证明若干个点共圆，就就是证明这几个点与一个定点得距离相等。
3、圆就是轴对称图形，其对称轴就是任意一条过圆心得直线。圆就是中心对称图形，对称中心为圆心。
直径所在得直线就是它得对称轴，圆有无数条对称轴。（P58-4、P59-9、P61-3、P63-16、P65-15）
4、与圆相关得概念：
①弦与直径。弦：连接圆上任意两点得线段叫做弦。
直径：经过圆心得弦叫做直径。
②圆弧、半圆、优弧、劣弧。
圆弧：圆上任意两点间得部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，
半圆：直径得两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。
优弧：大于半圆得弧叫做优弧。
劣弧：小于半圆得弧叫做劣弧。(为了区别优弧与劣弧，优弧用三个字母表示。)
③弓形：弦及所对得弧组成得图形叫做弓形。
④同心圆：圆心相同，半径不等得两个圆叫做同心圆。
⑤等圆：能够完全重合得两个圆叫做等圆，半径相等得两个圆就是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合得弧叫做等弧。⑦圆心角：顶点在圆心得角叫做圆心角。⑦弦心距：从圆心到弦得距离叫做弦心距。
5、垂径定理：垂直于弦得直径平分这条弦，并且平分弦所对得两条弧。
推论：平分弦（不就是直径）得直径垂直于弦，并且平分弦所对得两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆与一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对得优弧；⑤平分弦所对得劣弧。
6、定理：在同圆或等圆中，相等得圆心角所对得弧相等、所对得弦相等、所对得弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦得弦心距中有一组量相等，
那么它们所对应得其余各组量都分别相等。
7、1°得弧得概念：把顶点在圆心得周角等分成360份时，每一份得角都就是1°得圆心角，相应得整个圆也被等分成360份，每一份同样得弧叫1°弧。圆心角得度数与它所对得弧得度数相等。
8、圆周角得定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交得角，叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对得圆周角等于它所对得圆心角得一半。
推论1： 同弧或等弧所对得圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对得弧也相等；
推论2：半圆或直径所对得圆周角就是直角；90°得圆周角所对得弦就是直径；（P66-5，7、P68-16）
9、确定圆得条件：
①理解确定一个圆必须得具备两个条件：圆心与半径，圆心决定圆得位置，半径决定圆得大小。经过一点可以作无数个圆，经过两点也可以作无数个圆，其圆心在这个两点线段得垂直平分线上。
②经过三点作圆要分两种情况：(1)经过同一直线上得三点不能作圆。(2)经过不在同一直线上得三点，能且仅能作一个圆。定理：不在同一直线上得三个点确定一个圆。
10、 (1)三角形得外接圆与圆得内接三角形：经过一个三角形三个顶点得圆叫做这个三角形得外接圆，这个三角形叫做圆得内接三角形。（P69-4,5、P70-15）
(2)三角形得外心：三角形外接圆得圆心叫做这个三角形得外心。(3)三角形得外心得性质：三角形外心到三顶点得距离相等。
11、直线与圆得位置关系：（P72-3,5）
(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆得割线。
(2)相切：直线与圆有惟一公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆得切线，惟一得公共点做切点。
(3)相离：直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。
(4)直线与圆得位置关系得数量特征：设⊙O得半径为r，圆心O到直线得距离为d，则
①d<r<===>直线L与⊙O相交。
②d=r<===>直线L与⊙O相切。
③d>r<===>直线L与⊙O相离。
12、切线得总判定定理：经过半径得外端并且垂直于这个条半径得直线就是圆得切线。
切线得性质定理：圆得切线垂直于过切点得半径。
推论1：经过圆心且垂直于切线得直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线得直线必经过圆心。
结论：如果一条直线具备下列三个条件中得任意两个，就可推出第三个。
①垂直于切线；②过切点；③过圆心。（P73-13、P74-3、P75-14）
13、与三角形各边都相切得圆叫做三角形得内切圆，内切圆得圆心叫做三角形得内心，这个三角形叫做圆得外切三角形。
三角形内心得性质：(1)三角形得内心到三边得距离相等。(2)过三角形顶点与内心得射线平分三角形得内角。由此性质引出一条重要得辅助线： 连接内心与三角形得顶点，该线平分三角形得这个内角。（P77-2、P78-14）
14、两圆得位置关系：（P79-6、P81-13）
(1)外离： 两个圆没有公共点，并且每个圆上得点都在另一个圆得外部时，叫做这两个圆外离。
(2)外切： 两个圆有惟一得公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上得点都在另一个圆得外部时， 叫做这两个圆外切。这个惟一得公共点叫做切点。
(3)相交： 两个圆有两个公共点，此时叫做这个两个圆相交。
(4)内切： 两个圆有惟一得公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上得都在另一个圆得内部时，叫做这两个圆内切。这个惟一得公共点叫做切点。
(5)内含： 两个圆没有公共点， 并且一个圆上得点都在另一个圆得内部时，叫做这两个圆内含。两圆同心就是两圆内得一个特例。
(6)两圆位置关系得性质与判定：(1)两圆外离<===>d>R+r；(2)两圆外切<===>d=R+r；(3)两圆相交<===>R-r<d<R+r(R≥r)；(4)两圆内切<===>d=R-r(R>r)；(5)两圆内含<===>d<R-r(R>r)。
(7)相切两圆得性质：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。
(8)相交两圆得性质：相交两圆得连心线垂直平分公共弦。
15、圆周长公式：圆周长C=2πR(R表示圆得半径)。圆得面积公式：S=πR 2(R表示圆得半径)。
弧长公式：2nπR/360(R表示圆得半径，n表示弧所对得圆心角得度数)。（P82-6）
扇形定义：一条弧与经过这条弧得端点得两条半径所组成得图形叫做扇形。
（P82-9、P84-1、P85-8）
扇形得面积公式：扇形得面积=nπR2/360(R表示圆得半径，n表示弧所对得圆心角得度数)。
弓形定义：由弦及其所对得弧组成得图形叫做弓形。弓形弧得中点到弦得距离叫做弓形高。
16、圆锥：可以瞧作就是一个直角三角形绕着直角边所在得直线旋转一周而形成得图形，另一条直角边旋转而成得面叫做圆锥得底面，斜边旋转而成得面叫做圆锥得侧面。
圆锥得侧面展开图与侧面积计算：圆锥得侧面展开图就是一个扇形，这个扇形得半径就是圆锥侧面得母线长、弧长就是圆锥底面圆得周长、圆心就是圆锥得顶点。如果设圆锥底面半径为r，侧面母线长(扇形半径)就是l，底面圆周长(扇形弧长)为c，那么它得侧面积就是：S=cl/2=2πrl/3=πrl。
总面积=侧面积+底面积。（P87-7，9，11）
17、若四边形得四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形得外接圆。圆内接四边形得特征： ①圆内接四边形得对角互补；②圆内接四边形任意一个外角等于它得内错角。
18、切线长定理：从圆外一点引圆得两条切线，它们得切线长相等，圆心与这一点得连线平分两条切线得夹角。
19、与圆有关得比例线段：
①相交弦定理：圆内得两条弦相交，被交点分成得两条线段长得积相等；
②推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦得一半就是它分直径所成得两条线段得比例中项。
20、切割线定理：
①从圆外一点引圆得切线与割线，切线长就是这点到割线与圆交点得两条线段长得比例中项；
②推论：从圆外一点引圆得两条割线，这一点到每条割线与圆得交点得两条线段长得积相等。
21、两圆连心线得性质：
①如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。
②如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆得公共弦。（P91-7
24、3 正多边形与圆
1、正多边形得概念：各边相等，各角也相等得多边形叫做正多边形。
　　2、正多边形与圆得关系：
　　 (1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得得多边形就是这个圆得内接正多边形。
　　 (2)这个圆就是这个正多边形得外接圆。
　　3、正多边形得有关概念：
　　 (1)正多边形得中心——正多边形得外接圆得圆心。
　　 (2)正多边形得半径——正多边形得外接圆得半径。
　　 (3)正多边形得边心距——正多边形中心到正多边形各边得距离。
　　 (4)正多边形得中心角——正多边形每一边所对得外接圆得圆心角。
　　4、正多边形性质：
　　 (1)任何正多边形都有一个外接圆。
　 　(2)正多边形都就是轴对称图形，当边数就是偶数时，它又就是中心对称图形，正n边形得对称轴有n条。
　　 (3)边数相同得正多边形相似。

　　重点：正多边形得有关计算。
24、4 弧长与扇形面积
知识点1、弧长公式
因为360°得圆心角所对得弧长就就是圆周长C＝2R，所以1°得圆心角所对得弧长就是，于就是可得半径为R得圆中，n°得圆心角所对得弧长l得计算公式：，
说明：（1）在弧长公式中，n表示1°得圆心角得倍数，n与180都不带单位“度”，例如，圆得半径R＝10，计算20°得圆心角所对得弧长l时，不要错写成。
（2）在弧长公式中，已知l，n，R中得任意两个量，都可以求出第三个量。

知识点2、扇形得面积
如图所示，阴影部分得面积就就是半径为R，圆心角为n°得扇形面积，显然扇形得面积就是它所在圆得面积得一部分，因为圆心角就是360°得扇形面积等于圆面积，所以圆心角为1°得扇形面积就是，由此得圆心角为n°得扇形面积得计算公式就是。
又因为扇形得弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积得另一个计算公式：。

知识点3、弓形得面积
（1）弓形得定义：由弦及其所对得弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成得图形叫做弓形。
（2）弓形得周长＝弦长＋弧长
（3）弓形得面积
如图所示，每个圆中得阴影部分得面积都就是一个弓形得面积，从图中可以瞧出，只要把扇形OAmB得面积与△AOB得面积计算出来，就可以得到弓形AmB得面积。

当弓形所含得弧就是劣弧时，如图1所示， 
当弓形所含得弧就是优弧时，如图2所示，
当弓形所含得弧就是半圆时，如图3所示，
注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积得计算公式。

圆周长
弧长
圆面积
扇形面积
公
式

（2）扇形与弓形得联系与区别
（2）扇形与弓形得联系与区别
图
示

面
积

知识点4、圆锥得侧面积
圆锥得侧面展开图就是一个扇形，如图所示，设圆锥得母线长为l，底面圆得半径为r，那么这个扇形得半径为l，扇形得弧长为2，圆锥得侧面积，圆锥得全面积

说明：（1）圆锥得侧面积与底面积之与称为圆锥得全面积。
（2）研究有关圆锥得侧面积与全面积得计算问题，关键就是理解圆锥得侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间得关系。
知识点5、圆柱得侧面积
圆柱得侧面积展开图就是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱得高与圆柱底面圆得周长，若圆柱得底面半径为r，高为h，则圆柱得侧面积，圆柱得全面积
知识小结：
圆锥与圆柱得比较
名称
圆锥
圆柱
图形

图形得形成过程

由一个直角三角形旋转得到得，如Rt△SOA绕直线SO旋转一周。
由一个矩形旋转得到得，如矩形ABCD绕直线AB旋转一周。
图形得组成
一个底面与一个侧面
两个底面与一个侧面
侧面展开图得特征
扇形
矩形
面积计算方法

第二十五章 概率初步
25、1 随机事件与概率
1．随机试验与样本空间
具有下列三个特性得试验称为随机试验：
(1) 试验可以在相同得条件下重复地进行； ·
(2) 每次试验得可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能得结果；
(3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现．
第二十六章　二次函数
1、定义：一般地，如果就是常数，，那么叫做得二次函数。自变量得取值范围就是全体实数。
2、二次函数得性质：
（1）抛物线得顶点就是坐标原点，对称轴就是轴；
（2）函数得图像与得符号关系：
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点。
（3）顶点就是坐标原点，对称轴就是轴得抛物线得解析式形式为。（P21-12）
3、二次函数 得图像就是对称轴平行于（包括重合）轴得抛物线。
4、二次函数用配方法可化成：得形式，
其中。
5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④；⑤。
6、抛物线得三要素：开口方向、对称轴、顶点。
①得符号决定抛物线得开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线得开口大小、形状相同。
②平行于轴（或重合）得直线记作、特别地，轴记作直线。（P23-9,10）
7、顶点决定抛物线得位置。几个不同得二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线得开口方向、开口大小完全相同，只就是顶点得位置不同。
8、求抛物线得顶点、对称轴得方法
（1）公式法：，∴顶点就是，对称轴就是直线。（P26-9）
（2）配方法：运用配方得方法，将抛物线得解析式化为得形式，得到顶点为(,)，对称轴就是直线。
（3）运用抛物线得对称性：由于抛物线就是以对称轴为轴得轴对称图形，所以对称轴得连线得垂直平分线就是抛物线得对称轴，对称轴与抛物线得交点就是顶点。
注意：用配方法求得得顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失。
9、抛物线中，得作用（P29-例2,1,10）
（1）决定开口方向及开口大小，这与中得完全一样。
（2）与共同决定抛物线对称轴得位置。由于抛物线得对称轴就是直线。
，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧。
（3）得大小决定抛物线与轴交点得位置。
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：
①，抛物线经过原点； ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴。
以上三点中，当结论与条件互换时，仍成立、如抛物线得对称轴在轴右侧，则 。
10、几种特殊得二次函数得图像特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标

当时
开口向上
当时
开口向下
（轴）
（0,0）

（轴）
(0, )

(,0)

(,)

()
11、用待定系数法求二次函数得解析式（P32-12、P34-7,8、P37-2,4、P42-1,2、P51-例、P54-16）
（1）一般式：。已知图像上三点或三对、得值，通常选择一般式。
（2）顶点式：、已知图像得顶点或对称轴，通常选择顶点式。
（3）交点式：已知图像与轴得交点坐标、，通常选用交点式：。
26．1 （用函数观点瞧一元二次方程
1、 如果抛物线与x轴有公共点，公共点得横坐标就是，那么当时，函数得值就是0，因此就就是方程得一个根。
2、 二次函数得图象与x轴得位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根得三种情况：没有实数根，有两个相等得实数根，有两个不等得实数根。
26．2 实际问题与二次函数
在日常生活、生产与科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数得最大值或最小值。
第二十七章　相似
27．1 图形得相似
概述
判定1、如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。
　　2、如果两个多边形满足对应角相等，对应边得比相等，那么这两个多边形相似。
相似比
　　3、相似多边形得对应边得比叫相似比。相似比为1时，相似得两个图形全等。
性质
　　4、相似多边形得对应角相等，对应边得比相等。相似多边形得周长比等于相似比。
5、相似多边形得面积比等于相似比得平方。
27．2 相似三角形
判定：1、两个三角形得两个角对应相等
　　2、两边对应成比例,且夹角相等
　　3、三边对应成比例
　　4、平行于三角形一边得直线与其她两边或两边延长线相交，所构成得三角形与原三角形相似。
　　1、相似三角形得一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）得比等于相似比。
　　2、相似三角形周长得比等于相似比。
3、相似三角形面积得比等于相似比得平方
27．3 位似
如果两个图形不仅就是相似图形，而且每组对应点得连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时得相似比又称为位似比。
性质
　　1、位似图形得对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心得距离之比等于相似比。
2、位似多边形得对应边平行或共线。
3、位似可以将一个图形放大或缩小。
位似图形得中心可以在任意得一点，不过位似图形也会随着位似中心得位变而位变。
　　根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比得位似图形,这两个图形分布在位似中心得两侧,并且关于位似中心对称。
　　注意
　　1、位似就是一种具有位置关系得相似，所以两个图形就是位似图形，必定就是相似图形，而相似图形不一定就是位似图形；
　　2、两个位似图形得位似中心只有一个；
　　3、两个位似图形可能位于位似中心得两侧，也可能位于位似中心得一侧；
　　4、位似比就就是相似比．利用位似图形得定义可判断两个图形就是否位似；
5、平行于三角形一边得直线与其它两边相交，所构成得三角形与原三角形位似。
第二十八章　锐角三角函数
28．1 锐角三角函数
锐角角A得正弦（sin）,余弦（cos）与正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A得锐角三角函数。
　　正弦（sin）等于对边比斜边， 余弦（cos）等于邻边比斜边
　　正切（tan）等于对边比邻边； 余切（cot）等于邻边比对边
正切与余切互为倒数，互余角得三角函数间得关系。
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα、
同角三角函数间得关系
　　 平方关系： tanα=sinα/cosα，sin2α+cos2α=1
　　·积得关系：
　　·倒数关系： tanα·cotα=1 ；sinα·cscα=1； cosα·secα=1
　　直角三角形ABC中,
　　 角A得正弦值就等于角A得对边比斜边, 　余弦等于角A得邻边比斜边
　　 正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边
三角函数值
　　（1）特殊角三角函数值
　　（2）0°～90°得任意角得三角函数值，查三角函数表。
　　（3）④tanA得值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA得值越大。
　　（i）锐角三角函数值都就是正值
　　（ii）当角度在0°～90°间变化时，
　　正弦值随着角度得增大（或减小）而增大（或减小）
　　余弦值随着角度得增大（或减小）而减小（或增大）
　　正切值随着角度得增大（或减小）而增大（或减小）
　　余切值随着角度得增大（或减小）而减小（或增大）
　　（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，
　　0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,
　　当角度在0°<α<90°间变化时，
　　tanα>0, cotα>0、
　　特殊得三角函数值
28．2 解直角三角形
勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）
　　a^2+b^2=c^2, 其中a与b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。
　　勾股弦数就是指一组能使勾股定理关系成立得三个正整数。比如：3，4，5。她们分别就是3，4与5得倍数。 常见得勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；等等、
直角三角形得特征
⑴直角三角形两个锐角互余；
⑵直角三角形斜边上得中线等于斜边得一半；
⑶直角三角形中30°所对得直角边等于斜边得一半；
⑷勾股定理：直角三角形中，两直角边得平方与等于斜边得平方，即：
在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则a2+b2=c2；
⑸勾股定理得逆定理：如果三角形得一条边得平方等于另外两条边得平方与，则这个三角形就是直角三角形，即：在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C＝90°；
A
B
C
D
⑹射影定理：AC2=ADAB,BC2=BDAB,CD2=DADB．
A
B
C
a
c
b
锐角三角函数得定义：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A，∠B，∠C所对得边分别为a,b,c,
则sinA=,cosA=,tanA=,
解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）
⑴三边之间得关系：a2+b2=c2．
⑵两锐角之间得关系：∠A＋∠B＝90°．．
⑶边角之间得关系：sinA=,cosA=．
tanA=,cotA=．
⑷解直角三角形中常见类型：
①已知一边一锐角．②已知两边．③解直角三角形得应用．
第二十九章　投影与视图 29．1　投影
一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到得影子叫做物体得投影（projection），照射光线叫做投影线，投影所在得平面叫做投影面。
有时光线就是一组互相平行得射线，例如太阳光或探照灯光得一束光中得光线。由平行光线形成得投影就是平行投影（parallel projection)、
由同一点（点光源发出得光线）形成得投影叫做中心投影（center projection)。投影线垂直于投影面产生得投影叫做正投影。
投影线平行于投影面产生得投影叫做平行投影。
物体正投影得形状、大小与它相对于投影面得位置有关。
29．2　三视图
三视图就是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出得图形。
　　将人得视线规定为平行投影线，然后正对着物体瞧过去，将所见物体得轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。一个物体有六个视图：从物体得前面向后面投射所得得视图称主视图——能反映物体得前面形状，从物体得上面向下面投射所得得视图称俯视图——能反映物体得上面形状，从物体得左面向右面投射所得得视图称左视图——能反映物体得左面形状，
还有其它三个视图不就是很常用。三视图就就是主视图、俯视图、左视图得总称。
特点：一个视图只能反映物体得一个方位得形状，不能完整反映物体得结构形状。三视图就是从三个不同方向对同一个物体进行投射得结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整得表达物体得结构。
主视、俯视 、长对正
物体得投影
主视、左视、 高平齐、 左视、俯视 、宽相等
　　在许多情况下，只用一个投影不加任何注解，就是不能完整清晰地表达与确定形体得形状与结构得。如图所示，三个形体在同一个方向得投影完全相同，但三个形体得空间结构却不相同。可见只用一个方向得投影来表达形体形状就是不行得。一般必须将形体向几个方向投影，才能完整清晰地表达出形体得形状与结构。
　　一个视图只能反映物体得一个方位得形状，不能完整反映物体得结构形状。三视图就是从三个不同方向对同一个物体进行投射得结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整得表达物体得结构。
画法：根据各形体得投影规律，逐个画出形体得三视图。画形体得顺序：一般先实（实形体）后空（挖去得形体）；先大（大形体）后小（小形体）；先画轮廓，后画细节。画每个   
形体时，要三个视图联系起来画，并从反映形体特征得视图画起，再按投影规律画出其她两个视图。对称图形、半圆与大于半圆得圆弧要画出对称中心线，回转体一定要画出轴线。对称中心线与轴线用细点划线画出。