全国通用2018高考数学一轮复习不等式选讲第1节绝对值不等式教师用书文.doc

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选修4－5　不等式选讲
第一节　绝对值不等式
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[考纲传真]　1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)，|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.

1．绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法：
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|<a
{x|－a＜x＜a}
∅
∅
|x|>a
{x|x＞a或x＜－a}
{x∈R|x≠0}
R
(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解；
②利用零点分段法求解；
③构造函数，利用函数的图象求解．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．(　　)
(2)不等式|a|－|b|≤|a＋b|等号成立的条件是ab≤0.(　　)
(3)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0.(　　)
(4)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立．(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．(教材改编)若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，则实数a＝________.
－3　[依题意，知a≠0.
又|ax－2|＜3⇔－3＜ax－2＜3，
∴－1＜ax＜5.
由于|ax－2|＜3的解集为，
∴a＜0，＝－且－＝，则a＝－3.]
3．(教材改编)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－3]∪[3，＋∞)　[由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，
要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，
只需|a|≥3，∴a≥3或a≤－3.]
4．解不等式x＋|2x＋3|≥2.
[解]　当x≥－时，原不等式化为3x＋3≥2，3分
解得x≥－.6分
当x＜－时，原不等式化为－x－3≥2，
解得x≤－5.8分
综上，原不等式的解集是.10分
5．(2016·江苏高考)设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|<a.
[证明]　因为|x－1|<，|y－2|<，
所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|<＋＝a.
故原不等式得证.10分

绝对值不等式的解法
　(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|>1的解集．

图1
[解]　(1)由题意得f(x)＝
3分
故y＝f(x)的图象如图所示．

6分
(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，
当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.8分
故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}，
f(x)＜－1的解集为.
所以|f(x)|＞1的解集为.10分
[规律方法]　1.本题用零点分段法画出分段函数的图象，结合图象的直观性求出不等式的解集，体现数形结合思想的应用．
2．解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，零点分段法操作程序是：找零点，分区间，分段讨论．此外还常利用绝对值的几何意义求解．
[变式训练1]　(2016·吉林实验中学模拟)设函数f(x)＝|x－a|.
(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥4－|x－1|；
(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m＞0，n＞0)，求证：m＋2n≥4.
[解]　(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4，
①当x≥2时，不等式可化为x－2＋x－1≥4，解得x≥；
②当＜x＜时，不等式可化为2－x＋x－1≥4，
不等式的解集为∅；
③当x≤时，不等式可化为2－x＋1－x≥4，
解得x≤－.
综上可得，不等式的解集为∪.
(2)证明：因为f(x)≤1，即|x－a|≤1，
解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0,2]．
所以解得a＝1，
所以＋＝1(m＞0，n＞0)，
所以m＋2n＝(m＋2n)
＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当m＝2，n＝1时取等号.

绝对值三角不等式性质的应用

　对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，记实数M的最大值是m.
(1)求m的值；
(2)解不等式|x－1|＋|x－2|≤m.
[解]　(1)不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，
即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值.2分
因为|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，
当且仅当(a－b)(a＋b)≥0时等号成立，
|a|≥|b|时，≥2成立，
也就是的最小值是2，即m＝2.5分
(2)|x－1|＋|x－2|≤2.
法一：利用绝对值的意义得：≤x≤.10分
法二：①当x＜1时，不等式为－(x－1)－(x－2)≤2，
解得x≥，所以x的取值范围是≤x＜1.
②当1≤x≤2时，不等式为(x－1)－(x－2)≤2，
得x的取值范围是1≤x≤2.8分
③当x＞2时，原不等式为(x－1)＋(x－2)≤2,2＜x≤.
综上可知，不等式的解集是.10分
[规律方法]　1.(1)利用绝对值不等式性质定理要注意等号成立的条件：当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|；当(a－b)(b－c)≥0时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.
(2)对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．
2．第(2)问易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值符号还是利用几何意义，都要不重不漏．
[变式训练2]　对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．
【导学号：31222444】
[解]　因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，
所以|3a－3b|≤3，≤，4分
所以|4a－3b＋2|＝
≤|3a－3b|＋＋≤3＋＋＝6，8分
则|4a－3b＋2|的最大值为6，
所以m≥|4a－3b＋2|max＝6，m的取值范围是[6，＋∞).10分

绝对值不等式的综合应用
　(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a＞0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
[解]　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得<x<1；
当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x＜2.
所以f(x)>1的解集为.4分
(2)由题设可得f(x)＝
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)．因此△ABC的面积S＝|AB|·(a＋1)＝(a＋1)2.8分
由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞).10分
[规律方法]　1.研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．
2．第(2)问求解要抓住三点：(1)分段讨论，去绝对值符号，化f(x)为分段函数；(2)数形结合求△ABC的三个顶点坐标，进而得出△ABC的面积；(3)解不等式求a的取值范围．
[变式训练3]　(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围．
[解]　(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.4分
(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|(2x－a)＋(1－2x)|＋a＝|1－a|＋a，6分
当x＝时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.　①8分
当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．
当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以a的取值范围是[2，＋∞).10分

[思想与方法]
1．绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，几何法(利用绝对值几何意义)，构造函数法．前者体现了分类讨论思想，后者体现了数形结合思想的应用．
2．不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决．
[易错与防范]
1．利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件．
2．形如|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)的不等式，在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断，若c≤0，则不等式解集为R.
课时分层训练(六十九)　绝对值不等式
1．已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]．
(1)求m＋n的值；
(2)若|x－a|＜m，求证：|x|＜|a|＋1.
[解]　(1)由不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1，
得1≤x≤2，3分
∴m＝1，n＝2，m＋n＝3.5分
(2)证明：若|x－a|＜1，则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|＜|a|＋1.10分
2．若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，求实数a的值．
[解]　当a＝－1时，f(x)＝3|x＋1|≥0，不满足题意；
当a＜－1时，f(x)＝
3分
f(x)min＝f(a)＝－3a－1＋2a＝5，
解得a＝－6；5分
当a＞－1时，f(x)＝
7分
f(x)min＝f(a)＝－a＋1＋2a＝5，
解得a＝4.9分
综上所述，实数a的值为－6或4.10分
3．(2017·衡水中学调研)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. 【导学号：31222445】
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
[解]　(1)当a＝－3时，
不等式f(x)≥3化为|x－3|＋|x－2|≥3.(*)
若x≤2时，由(*)式，得5－2x≥3，∴x≤1.
若2＜x＜3时，由(*)式知，解集为∅.
若x≥3时，由(*)式，得2x－5≥3，∴x≥4.
综上可知，f(x)≥3的解集是{x|x≥4或x≤1}.4分
(2)原不等式等价于|x－4|－|x－2|≥|x＋a|，(**)
当1≤x≤2时，(**)式化为4－x－(2－x)≥|x＋a|，
解得－2－a≤x≤2－a.8分
由条件，[1,2]是f(x)≤|x－4|的解集的子集，
∴－2－a≤1且2≤2－a，则－3≤a≤0，
故满足条件的实数a的取值范围是[－3,0].10分
4．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．
(1)求M；

附件（二）：调查问卷设计(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.

（五）DIY手工艺品的“价格弹性化”[解]　(1)f(x)＝

PS:消费者分析当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1；

调研课题：当－＜x＜时，f(x)＜2；

随着社会经济、文化的飞跃发展，人们正从温饱型步入小康型，崇尚人性和时尚，不断塑造个性和魅力的现代文化价值观念，已成为人们的追求目标。因此，顺应时代的饰品文化显示出强大的发展势头和越来越广的市场，从事饰品销售是有着广阔的市场空间。当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1.
所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}.5分
(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.

目前，上海市创业培训中心已开办大学生创业培训班，共招收上海交通大学、上海商业职业技术学院等应届毕业生６２人。因此|a＋b|＜|1＋ab|.10分
5．(2017·湖南长郡中学模拟)已知正实数a，b满足：a2＋b2＝2.

这里有营业员们向顾客们示范着制作各种风格炯异的饰品，许多顾客也是学得不亦乐乎。据介绍，经常光顾“碧芝”的都是些希望得到世界上“独一无二”饰品的年轻人，他们在琳琅满目的货架上挑选，然后亲手串连，他们就是偏爱这种ＤＩＹ的方式，完全自助在现场，有上班族在里面精挑细选成品，有细心的小女孩在仔细盘算着用料和价钱，准备自己制作的原料。可以想见，用本来稀奇的原料，加上别具匠心的制作，每一款成品都必是独一无二的。而这也许正是自己制造所能带来最大的快乐吧。【导学号：31222446】
(1)求＋的最小值m；

（二）DIY手工艺品的“热卖化”(2)设函数f(x)＝|x－t|＋(t≠0)，对于(1)中求得的m是否存在实数x，使得f(x)＝成立，说明理由．

当然，在竞争日益激烈的现代社会中，创业是件相当困难的事。我们认为，在实行我们的创业计划之前，我们首先要了解竞争对手，吸取别人的经验教训，制订相应竞争的策略。我相信只要我们的小店有自己独到的风格，价格优惠，服务热情周到，就一定能取得大多女孩的信任和喜爱。[解]　(1)∵2＝a2＋b2≥2ab，
∴≥ab(a＞0，b＞0)，则≤1.

3、消费“多样化”又＋≥≥2，
当且仅当a＝b时取等号，
∴＋的最小值m＝2.5分
(2)函数f(x)＝|x－t|＋≥＝＝|t|＋≥2.
对于(1)中的m＝2，＝1＜2.
∴满足条件的实数x不存在.10分
6．(2017·郑州质检)已知函数f(x)＝|3x＋2|.
(1)解不等式|x－1|＜f(x)；
(2)已知m＋n＝1(m，n＞0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a＞0)恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　(1)依题设，得|x－1|＜|3x＋2|，
所以(x－1)2＜(3x＋2)2，则x＞－或x＜－，
故原不等式的解集为.4分
(2)因为m＋n＝1(m＞0，n＞0)，
所以＋＝(m＋n)＝2＋＋≥4，
当且仅当m＝n＝时，等号成立．
令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|
＝8分
则x＝－时，g(x)取得最大值＋a，
要使不等式恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4.
解得a≤.
又a＞0，因此0＜a≤.10分

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